高三数学12月月考试题 理 4

卜人入州八九几市潮王学校陆川县2021年
秋季期高三12月月考
理科数学试题
第I 卷(选择题，一共60分〕
一、选择题〔本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕
1．集合
{}{}2|20,|3,0x A x x x B y y x =--<==≤，那么=B A
A ．)2,1(-
B ．)1,2(-
C ．]1,1(-
D ．(0,1] 2.复数z 满足111
121z i i
=+
+-，那么复数z 的虚部是〔〕 A ．
15B ．15i C ．15-D ．15
i - 3.向量,a b 是互相垂直的单位向量，且1c a c b ⋅=⋅=-，那么()
35a b c b -+⋅=〔〕 A ．1-B ．1C ．6D ．6- 4.变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据
那么变量x 与
y 之间的线性回归方程可能为〔〕
A ．0.7 2.3y x =-
B ．0.710.3y x =-+
C ．10.30.7y x =-+
D ．10.30.7y x =-
5.设()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中,,,a b αβ都是非零实数，假设()20171f =-，那么
()2018f =〔〕
A ．1
B ．2
C ．0
D ．1- 6.假设01m <<，那么〔〕
A ．()()11m m log m log m +>-
B ．(10)m log m +> C.()2
11m m ->+
D ．()()1
132
11m m ->-
7.一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下列图,那么该截面的面积为〔〕
A ．
9
2
B ．4C.3D
8.假设函数()3
2
4f x x x ax =+--在区间()1,1-内恰有一个极值点，那么实数a 的取值范围为〔〕 A ．()1,5B ．[)1,5 C.(]1,5D ．()(),15,-∞⋃+∞
9.如图，将45︒直角三角板和30︒直角三角板拼在一起，其中45︒直角三角板的斜边与30︒直角三角板的30︒角所对的直角边重合.假设,0,0DB xDC yDA x y =+>>，那么x y +=〔〕 A
．1+
．1+
C.2 D
．10.
,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，那
么该球的体积为〔〕
A
．B ．48πC.24πD ．16π
11.抛物线2
:4C x y =，直线:1l y =-，,PA PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，那么“点P 在
l 上〞是“PA PB ⊥〞的〔〕
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件
12. 函数()2
1ln 1
f x x =-
+〔, 2.71828x e e >=是自然对数的底数〕.假设(
)()f m f n =，
那么()f mn 的取值范围为〔〕 A ．5,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．9,110⎡⎫⎪⎢
⎣⎭C.5,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
二、填空题〔本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分〕
〔13〕x ，y 满足2040330x y x y x y -+-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≤⎩
那么3z x y =-+的最小值为．
〔14〕双曲线22
221x y a b
-=〔0,0a b >>〕的一条渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，那么
该双曲线的离心率为．
〔15〕设数列
}{n a 的前n 项和为n S ,假设31=a 且12n n n a S S -=⋅那么}{n a 的通项公式=n a ．
〔16〕如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为
,,a b c ，cos cos sin a C c A b B +=，且6
CAB π
∠=
.
假设点D 是ABC ∆外一点，2,3DC DA ==，那么当四边
形
ABCD 面积最大值时，sin D =．
三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤) 17.数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-. 〔1〕证明：{}n a 是等比数列，并求其通项公式；
〔2〕求数列1n n a ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T . 18. (本小题总分值是12分)
在ABC ∆中，角
A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且A b c B a cos )3(cos -=.
〔1〕求A cos 的值；
〔2〕假设3=b ，点M 在线段BC 上，
→→→=+AM AC AB 2，23||=→
AM ,求ABC ∆的面积.
19. (本小题总分值是12分)
为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原那么上以住宅为单位〔一套住宅为一户〕.
阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯
月用电范围〔度〕
〔0,210]
〔210,400]
),400(+∞
某随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用电量〔度〕
53 86 90 124 132 200 215 225 300 410
（1）假设规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的局部每度0.6元，第三阶梯超出第二阶
梯的局部每度0.8元，试计算A 居民用电户用电410度时应交电费多少元？
（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；
（3）以表中抽到的10户作为样本估计全．
的居民用电，现从全中依次抽取10户，假设抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值.
20．(本小题总分值是12分)函数
x b bx x x f 21)()(2-⋅++=
（1）当1-=b 时，求函数)(x f 的单调区间； （2）求函数)(x f 在]0,1[-上的最大值.
21．(本小题总分值是12分)函数)1ln()(+=x x f . (1)当)0,1(-∈x 时，求证：)()(x f x x f --<<；
(2)设函数a x f e x g x --=)()
()(R a ∈，且)(x g 有两个不同的零点21,x x )(21x x <，
①务实数a 的取值范围；②求证：021>+x x .
请考生在22,23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分. 22．〔本小题总分值是10分〕选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位一样，
曲线C
的参数方程为11x y α
α
⎧=-+⎪⎨
=+⎪⎩〔α为参数〕，直线l 过点(1,0)-，且斜率为
1
2
,射线
OM
〔1〕求曲线C 和直线l 的极坐标方程；
〔2〕射线OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
23.〔本小题总分值是10分〕选修4-5：不等式选讲
〔1〕函数
|3|)(-=x x f ，假设存在实数x ，使得)1()4(2-+≤+x f m x f 成立，务实数m 的
取值范围；
〔2〕设R z y x ∈,,，假设422=-+z
y x ，求2224z y x ++的最小值．
理科数学试题参考答案及评分HY
1-5:DCDBA6-10:DABBA11、12：CC
13．0
14
．
2
15．3,118
,2(53)(83)
n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩
16
．
7
17.〔1〕证明：当1n =时，12a =，
由1122,22n n n n S a S a ++=-=-得1122n n n a a a ++=-， 即12n n a a +=， 所以
1
2n n
a a +=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，于是2n
n a =. 〔2〕解：令11
2
n n n n n b a ++==， 那么123
2341
2222
n n n T +=++++
，① ①12⨯
得2341
12341
2222
22n n n n n T ++=+++++
，② ①﹣②，得
231111
11122222n n n n T ++=++++
+1
33
22n n ++=-
所以3
32n n
n T +=-
. 17. 〔1〕因为A b c B a cos )3(cos -=，由正弦定理得：A B C B A cos )sin sin 3(cos sin -=
即
A C A
B B A cos sin 3cos sin cos sin =+,A
C C cos sin 3sin =
在ABC ∆中，0sin ≠C
，所以3
1
cos =
A ………………5分
（2）→
→
→
=+AM AC AB 2，两边平方得：2
2
2
42→
→
→
→→=⋅++AM AC AB AC AB
由3=b ，23||=→
AM ，31cos =
A 得1843
13292
⨯=⨯⨯⨯++c c 解得：（舍）或97-==c c
所以ABC ∆的面积
273
2
23721=⨯⨯⨯=S ………………12分 19. 〔1〕2278.0)400410(6.0)210400(5.0210=⨯-+⨯-+⨯元…………2分
（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，那么ξ可取0,1,2,3
故ξ的分布列是
所以10
1203402401240)(=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ………………7分 （3）可知从全中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足)5
3
,10(~B X ，可知
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥≥-----+-++-)
1(1011101010)1(1011101010)52()53()52()53()52()53()52()53(k k k k k k k k k k k k C C C C ,解得533528≤≤k ，*
N k ∈ 所以当6=k
时，概率最大，所以6=k ………………12分
20. 〔1〕函数的定义域为]2
1
,(-∞，当1-=b 时，x
x x x f 21)
1(5)(---=
'……3分
由
0)(='x f 得，0=x 或者1=x 〔舍去〕。

当]0,(-∞∈x 时，
0)(≥'x f ，]21
,0[∈x 时，0)(≤'x f
所以函数的单调减区间是]0,(-∞，增区间是]2
1
,0[………………5分
〔2〕因为
x
b x x x f 21)235()(--+-=
'，由由0)(='x f 得，0=x 或者532b
x -=
①当
1532-≤-b 时，即3
7
≥b 时，在]0,1[-上，0)(≥'x f ，即)(x f 在]0,1[-上递增，所以b f x f ==)0()(max
②当05321≤-<
-b 时，即3732<≤b 时，在]532,1[b --上，0)(≤'x f ，在]0,5
32[b
-上，0)(≥'x f 即)(x f 在]532,1[b --上递减，在]0,532[b
-递增；
因为
b f f ==-)0(,3)1(，
所以当
332≤≤b 时，3)1()(max =-=f x f ；当3
7
3<<b 时，b f x f ==)0()(max
③当
0532>-b 时，即3
2
<b 时，在]0,1[-上，0)(≤'x f ，即)(x f 在]0,1[-上递减，所以3)1()(max =-=f x f
综上可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>=)3(3)3()(max b b b x f ………………12分
21：〔1〕记)1ln()(+-=x x x q ，那么1
111)(+=+-=x x
x x q ，在)0,1(-上，0)(<'x q 即)(x q 在)0,1(-上递减，所以0)0()(=>q x q ，即
)()1ln(x f x x =+>恒成立
记)1ln()(+-+=
x x x m ，那么1
111)(-=--+
='x x
x x m ，在)0,1(-上，0)(>'x m 即)(x m 在)0,1(-上递增，所以0
)0()(=<m x m ，即
0)1ln(<+-+x x 恒成立
)()1ln(x f x x --=+--<………………5分
（2）①a x e x g x
-+-=)1ln()(，定义域：),1(+∞-，那么1
1
)(+-
='x e x g x 易知)(x g '在),1(+∞-递增，而0)0(='g ，所以在)0,1(-上，
0)(<'x g
)(x g 在]0,1(-递减，在),0[+∞递增，+∞→-→+y x ,1,+∞→+∞→y x ,
要使函数有两个零点，那么01)0()(<-==a g x g 极小值
故实数a 的取值范围是),1(+∞………………7分 ②由①知2101x x <<<
-，记)0,1(),()()(-∈--=x x g x g x h
当)0,1(-∈x 时，由①知：)
1ln(+--<x x ，那么
11
)1ln(+-=<+--x e e x x
再由)1ln(+>x x 得，
11)
1ln(+=<+--x e e x x
011<+--
x e x ，01
1
<+--x e x
故
0)(<'x h 恒成立，)0,1()()()(-∈--=x x g x g x h 在单调递减
0)0()(=>h x h ，即)()(x g x g ->，而011<<-x ，)()(11x g x g ->
0)()(21==x g x g ，所以)()(12x g x g ->，由题知，),0(,21+∞∈-x x ，)(x g 在),0[+∞递增，
所以12
x x ->，即021>+x x ………………12分
C
的参数方程为11x y αα⎧=-⎪⎨
=+⎪
⎩〔α为参数〕，所以消参α后的
普通方程是：2)1()1(22
=-++y x
将θρθρsin ,cos ==
y x 代入整理得：0sin 2cos 2=-+θθρ
即曲线C 的极坐标方程为0sin 2cos 2=-+θθ
ρ
直线l 过点(1,0)-，且斜率为
1
2
，
直线l 的普通方程为012=+-y x
将θρθρsin ,cos ==y x 代入整理得：01sin 2cos =+-θρθρ………………5分
（2）将4
3πθ=
代入曲线C 和直线l 的极坐标方程可得，224
3cos 243sin
2||=-=ππOP ，
3
2
4
3cos 43sin
21||=
-=
π
πOQ 所以线段PQ 的长为3
253222
=-
………………10分
23.解：令
)1()4(2)(--+=x f x f x g ，那么|4||1|2)(--+=x x x g ，即
作出的图像，如下列图，易知其最小值为-5………………5分
所以
5)(min -=≥x g m ，实数的取值范围是),5[+∞-
（2）由柯西不等式：2
2
2
2
2
2
2
)22(])2([])2(11[z y x z y x -+≥++⋅-++
即16)22()4(62222
=-+≥++z y x z y x
，故3
8
4222≥++z y x
当且仅当2121-=
=z y x 时，即3
4
,31,32-===z y x 时等号成立， 所以2
224z y x ++的最小值为3
8.………………10分。