人教A版高中数学必修五高二上学期期中考试(文)试卷.docx

2014-2015学年湖南省岳阳县一中高二上学期期中考试
数学（文）试卷
时量 120分钟 满分150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的)
1. 椭圆13
42
2=+y x 的焦点坐标为（ ） A ．)0,1(± B ．)0,2(± C ．)0,2(± D ．)1,0(±
2. 命题“0,sin 0x x ∃>=”的否定为（ ）
A ．0,sin 0x x ∃>≠
B ．0,sin 0x x ∀≤≠
C ．0,sin 0x x ∃≤≠
D ．0,sin 0x x ∀>≠
3. 某市有大型超市100家、中型超市200家、小型超市700家.为掌握各类超市的营业情况，现按
分层抽样方法抽取一个容量为80的样本，应抽取中型超市家数为（ ）.
A.15
B. 16
C. 13
D. 18
4. 已知回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x ，如果x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么
回归直线方程是（ ）
A ． y ^＝x ＋14
B ． y ^＝-x ＋14
C ． y ^＝x -14
D ． y ^＝2x ＋14
5. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽
到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的
概率为( )
A ．0.7
B ．0.65
C ．0.35
D ．0.3
6. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取
自AED ∆或BEC ∆内部的概率等于 （ ） A.12 B.13 C.14 D.23 7. 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的离心率4
5=e ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．430x y ±= B ．340x y ±= C ．530x y ±= D ．350x y ±=
A B
8. 设3,0,k k <≠则二次曲线 ） A ．不同的顶点 B ．相同的离心率 C ．相同的焦点 D ．以上都不对
9. “a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10. 已知21,F F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．4
C ．2
D ．6
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11. 命题“若p 则q ”的逆命题是 .
12.设)0,1(),0,1(B A -是平面两定点，点P 满足6||||=+PB PA ，则P 点的轨迹方程
是 .
13. 已知f (x )＝x 2
＋2x －m ，如果f (1)＞0是假命题，f (2)＞0是真命题，则实数m 的取值范围是
________．
14．设一直角三角形两直角边的长a ，b 均是区间(0,1)的随机数，则斜边c 的长小于1的概率为
15. 在下列四个结论中，正确的序号是________．
①“x ＝1”是“x 2＝x ”的充分不必要条件；
②“k ＝1”是“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；
③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；
④“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的必要不充分条件．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16. 一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同．
（1）求搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，求至
少有一次摸出的球是红球的概率．
17. (本小题满分12分) 设命题p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2≤9，x ∈R ，m ∈R }．
(1)若A ∩B ＝[2,3]，求实数m 的值．
(2)若p 是非q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
y 18. （本题满分12分）
(1) 已知双曲线与椭圆22
12736
x y +=有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．
(2)
求双曲线22
143
x y -=有相同的渐近线且过点（2，3）的双曲方程. 19.（本题满分13分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”
活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，
满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，
[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列
出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生
参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率．
20. ：22221(0)x y a b a
b
+=>>的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点l 交椭圆C 于P 、Q 两点，OP OQ ⊥.求直线l 的方程及椭圆C 的方程. 21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次满足
2MN OM ON k k k =⋅，求△OMN 面积的取值范围.
2015高二期中考试文科试题参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的)
1. 椭圆13
42
2=+y x 的焦点坐标为（ ） A ．)0,1(± B ．)0,2(± C ．)0,2(± D ．)1,0(± 【答案】A
2. 命题“0,sin 0x x ∃>=”的否定为（ ）
A ．0,sin 0x x ∃>≠
B ．0,sin 0x x ∀≤≠
C ．0,sin 0x x ∃≤≠
D ．0,sin 0x x ∀>≠ 【答案】D
3. 某市有大型超市100家、中型超市200家、小型超市700家.为掌握各类超市的营业情况，现按
分层抽样方法抽取一个容量为80的样本，应抽取中型超市家数为（ ）.
A.15
B. 16
C. 13
D. 18 【答案】B
4. 已知回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x ，如果x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那
么回归直线方程是（ ）．
A ． y ^＝x ＋14
B ． y ^＝-x ＋14
C ． y ^＝x -14
D ． y ^＝2x ＋14 【答案】A
5. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽
到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的概
率为( )
A ．0.7
B ．0.65
C ．0.35
D ．0.3 【答案】D
6. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取
自AED ∆或BEC ∆内部的概率等于 （ ） A.12 B.13 C.14 D.23
【答案】A 7. 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的离心率4
5=e ，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．430x y ±= B ．340x y ±= C ．530x y ±= D ．350x y ±= 【答案】B
8. 设3,0,k k <≠则二次曲线 ） A ．不同的顶点 B ．相同的离心率 C ．相同的焦点 D ．以上都不对 【答案】C
9. “a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
10. 已知21,F F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．4
C ．2
D ．6 【答案】A
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11. 命题“若p 则q ”的逆命题是 . 【答案】若q 则p
12.设)0,1(),0,1(B A -是平面两定点，点P 满足6||||=+PB PA ，则P 点的轨迹方程是 . 【答案】18
92
2=+y x 13. 已知f (x )＝x 2
＋2x －m ，如果f (1)＞0是假命题，f (2)＞0是真命题，则实数m 的取值范围是
________．
【解析】 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝3－m ≤0f (2)＝8－m ＞0，∴3≤m ＜8. 【答案】 [3,8)
14．设一直角三角形两直角边的长均是区间(0,1)的随机数，则斜边的长小于1的概率为
【解析】 设两直角边分别是x ，y ，∴试验包含的基本事件是{(x ，y )|0<x <1,0<y <1}，对应的
正方形的面积是1，满足条件的事件对应的集合为{(x ，y )|x 2＋y 2<1，x >0，y >0}，该区域为14
个圆，面积为π4.∴ 【答案】 P ＝π41＝π4
. 15. 在下列四个结论中，正确的序号是________． 【答案】 ①④
①“x ＝1”是“x 2
＝x ”的充分不必要条件；
②“k ＝1”是“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；
③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；
④“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的必要不充分条件．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16. （本题满分12分） 一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球
除颜色外都相同．
（1）求搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，求至少有一次摸出的球是红球的概率．
【解析】（1）搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：红、黄、蓝、白，共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”（记为事件A ）的结果只有1种，所以
P （A ）=
41
． ……………………6分 （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：（红，红）、（红，黄）、（红，蓝）、（红，白）、（黄，红）、（黄，黄）、（黄，蓝）、（黄，白）、（蓝，红）、（蓝，黄）、（蓝，蓝）、（蓝，白）、（白，红）、（白，黄）、（白，蓝）、（白，白），共有16种， ……………………10分
它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“至少有一次是红球”（记为事件B ）的结果只有7种， ……………………11分
所以P （B ）=
716
． ……………………12分 或方法二：每次取得非红球的概率为34
， ……………………9分 至少一个红球的概率为1-3374416⨯= ……………12分 17. (本小题满分12分) p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2
≤9，x ∈R ，m ∈R }．
(1)若A ∩B ＝[2,3]，求实数m 的值．
(2)若p 是非q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
【解】 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，
∵A ∩B ＝[2,3]，∴m ＝5. ……………………6分
(2)∵p 是非q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －3＞3或m ＋3＜－1，
∴m ＞6或m ＜－4. ……………………12分
18. （本题满分12分）(1) 已知双曲线与椭圆22
12736
x y +=有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．
(2) 求双曲线22
143
x y -=有相同的渐近线且过点（2，3）的双曲方程. 解：可以求得椭圆的焦点为12(03)(03)F F -，，，，故可设双曲线方程为22
221(00)y x a b a b
-=>>，， 且3c =，则229a b +=．由已知条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐
y 标为(A B ，点A 在双曲线上，即22
16151a b -=． 解方程组2222916151a b a
b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，，得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，．所以双曲线方程为22145y x -=． ……………6分 （2）22
168
y x -= ……………12分 19.（本题满分13分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”
活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，
满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计.按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，
[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列
出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生
参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率．
解：50=，20.0045010y ==⨯， x =. ……………………………5分
5人，记这5人分别为1a ，2a ，3a ，4a ， 5a 人分别为1b ，2b . 抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：
（1a ，2a ），（1a ，3a ），（1a ，4a ），（1a ，5a ），（1a ，1b ），（1a ，2b ），（2a ，3a ），
（2a ，4a ），（2a ，5a ），（2a ，1b ），（2a ，2b ），（3a ，4a ），（3a ，5a ），（3a ，1b ），
（3a ，2b ），（4a ，5a ），（4a ，1b ），（4a ，2b ），（5a ，1b ），（5a ，2b ），（1b ，2b ）.
…………………………………………………………………………………………9分
其中2名同学的分数都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：
（1a ，2a ），（1a ，3a ），（1a ，4a ），（1a ，5a ），（2a ，3a ），（2a ，4a ），（2a ，5a ），
（3a ，4a ），（3a ，5a ），（4a ，5a ）.
∴ 所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率101112121
P =-=.
…………………………………………………………………………………………13分
20. （本题满分13分）如图，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为
F ，右顶点、上顶点分别为点A 、B ，且|||AB BF =
. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P 、Q 两点，OP OQ ⊥.求直线l
的方程及椭圆C 的方程.
解：（Ⅰ）由已知||
||AB BF =
， =，222445a b a +=， 222244()5a a c a
+-=，
∴ c e a =.…………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知224a b =，∴ 椭圆C ：222214x y b b
+=.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 直线l 的方程为22(0)y x -=-，即220x y -+=.
由22222
222204(22)4014x y x x b x y b
b -+=⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 即221732164
0x x b ++-=.
22
321617(4)017b b ∆=+⨯->⇔>.123217x x +=-，21216417b x x -=.……9分 ∵ OP OQ ⊥，∴ 0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ， 即12120x x y y +=，1212(22)(22)0x x x x +++=，121254()40x x x x +++=.
从而25(164)128401717
b --+=，解得1b =， ∴ 椭圆C 的方程为2
214
x y +=.…………………………………………………13分 21. （本题满分13分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C
a b a b
+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距为
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次满足2MN OM ON k k k =⋅，求△OMN 面积的取值范围.
解析：(1)
由已知得2222222,1a b a c b a
c a b =⨯⎧⎪=⎧⎪=∴⎨⎨=⎩⎪⎪=-⎩
，所以C 方程：2214x y +=. ……… 4分 (2)由题意可设直线l 的方程为：y=kx+m(k ≠0,m ≠0) 联立22y kx m x 14
y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得：()()22214k 8410x kmx m +++-=， ……5分 则()()()22222264-1614k 1164k -10k m m m ∆=+-=+>， ……6分 此时设M(1x ，1y ),N(2x ，2y ),
()
22212214114,418k m x x k km x x +-=⋅+-=+∴, ……7分
于是()()2212122121)(m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=⋅， ……8分
又直线OM,MN,ON 的斜率满足2MN OM ON k k k =⋅， ∴22
12212122211)(y y k x x m x x km x x k x x =+++=⋅，所以0418-222
2=++m k m k ， ……9分 由m ≠0,得,2
141k 2±=⇒=
k ，又由,0>∆得202<<m ， ……10分 显然1m 2≠，
设原点O 到直线l 的距离为d,则 ()()114211121212
2212212122---=--=---==∆m x x x x m x x k k m d MN S OMN ， 故由m 得取值范围可得△OMN 面积的取值范围为（0,1）. ……13分
考点：直线与椭圆相交的综合试题.。