2020年高考全国卷4月联考数学(理科)试题

2020高考全国卷4月联考 数学(理科) 一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z 满足
1(i i i z -=-为虚数单位),则2z =() A.1+ i B.1-i
C.2i
D. -2i 2.已知集合A=2{|13},{|2940},x x B y y y -≤<=-+≤则A∩B=()
A.{x|-1≤x≤4} 1.{|3}2B x x ≤< C.{x|-1≤x<3} D.∅
3.实数x,y 满足不等式组1,22,22,x y x y x y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥-⎩
则目标函数z=2x+ y 的最大值为()
A.3
B.4
C.5
D.6
4.三只小松鼠小芳、小松和点点住在同一-棵大松树上,一天它们在一起玩智力游戏.小芳说:今天我们三个有的吃了松子;小松说:今天我们三个有的没吃松子;点点说:今天我没吃松子.已知它们三个中只有一个说的是真的，则以下判断正确的是()
A.全吃了
B.全没吃
C.有的吃了
D.有的没吃 5.已知3sin(15),5
α︒+=则cos(30)α︒-=() 72.10A 2.10B - 72.10C 210 72.10D 210
- 6.已知函数||sin ()x x f x e
=,则函数y= f(x)的大致图象是
7.志愿者团队安排去甲、乙、丙、丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序,一位志愿者说:不能先去甲，甲的困难户最多;另一位志愿者说:不能最后去丁，丁离得最远.他们总共有多少种不同的安排方法( )
A.14
B.12
C.24
D.28
8.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A 0,0,||)2π
ωϕ>>≤离原点最近的对称轴为0,x x =若满足
0||,6x π
≤,则称f(x)为“近轴函数”.若函数y = 2sin(2x -φ )是"近轴函数" ,则φ的取值范围是( )
[,]62
A ππ⋅ .[,]26
B ππ-- .[,][,]2662
C ππππ--⋃ .[,0][0,]66
D ππ
-⋃ 9.北宋徽宗在崇宁年间(1102年一1106 年)铸造崇宁通宝钱,因为崇宁通宝版别多样、铜质细腻、铸工精良,钱文为宋徽宗亲笔书写的“瘦金体”，所以后人写诗赞美日:“风流天子书崇观，铁线银钩字字端”.崇宁通宝被称为我国钱币铸造史上的一个巅峰铜钱直径3.5厘米,中间穿口为边长为0.9厘米的正方形.用一根细线把铜钱悬挂在树枝上,假定某位射手可以射中铜钱，但是射在什么位置是随机的(箭头的大小不计).这位射手射中穿口的概率最接近()
1.6A 1.8B 1.10C 1.12
D
第9题图 第10题图 10.已知四棱锥S- ABCD 的底面是等腰梯形,AB// CD,AD= DC= BC= 1,AB =SA=2,且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S - ABCD 的外接球的体积为( )
A.8π 2.3B π .82C π 22.3
D π 11.已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>，直线220x -=与椭圆E 交于点P,与直线2
(a x c c ==22
a b -)交于点Q,O 为坐标原点,且2,OQ OP =u u u r u u r 则椭圆E 的离心率为() 1.2A
1.4B 3C 3D 1
2.已知函数32()3f x x ax ax b =+++的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y= -12x+ m,若函数f(x)至少有两
个不同的零点，则实数b 的取值范围是()
A.( -5,27)
B.[-5,27]
C.(-1,3]
D.[-1,3]
二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分.
13.已知函数2,0,()(2),0,
x e x f x f x x ⎧+≤=⎨->⎩则f(2020)=____
14.已知点O 为坐标原点,向量(1,2),(,),OA OB x y ==u u u r u u u r 且
10,OA OB ⋅=u u u r u u u r ||OB uuu r 的最小值____
15.已知△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.满足2230,a c b ABC -+=V 的面积S =
且A= 60°,则△ABC 的周长为____ 16.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1212,,||10.F F F F =P 为双曲线右支上的一点,直线1PF 交y 轴于点M,交双曲线C 的一条渐近线于点N,且M 是1PF 的中点MN =u u u u r 2,NP uuu r 则双曲线C 的标准方程为____
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
已知正项数列{}n a 的前n 项和为,n S 满足242n n n S a a =+.等比数列{}n b 满足1122,.a b a b ==
( I )求数列{}n a 与数列{n b }的通项公式;
(II )若,n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和.n T
18.(12分)
如图,已知四棱锥S- ABCD 的底面ABCD 为直角梯形,AB// CD,AD ⊥CD,且AB= AD= 1, SC
=2,SD CD SA ===E 为SC 的中点.
( I )求证: BE//平面SAD;
(II)求平面SAD 与平面SBC 所成的锐二面角的正弦值.
19.(12分)
已知抛物线2:2(0)C x py p =>与直线l:y= kx+2交于A,B 两点,O 为坐标原点.当k= 1时,OA ⊥OB.
( I )求抛物线C 的标准方程;
(II)点F 为抛物线C 的焦点,求△FAB 面积的最小值.
20.(12分)
已知函数2()2(1)1x e x e f x x e x e
--=+-++ (I)求函数f(x)的单调区间;
(II)设函数2ln(1)()()2(1)1
x F x f x x e x m x -=
-++++-,若F(x)≤0对任意x> 1恒成立,求实数m 的取值范围.
21.(12分)
2019年6月6日,中国商务部正式下发5G 商用牌照,中国正式进入5G 商用元年.在5G 基站的建设中对零部件的要求非常严格,一次质检人员发现有1个次品部件混入了5个正品部件中.从外观看这6个部件是完全一-样的,5 个正品部件一样重,1 个次品部件略轻一些现有两个方案通过用电子秤称重的办法把次品部件挑出来.A 方案:逐一称重，称重一次不能确定是否是次品部件,称重两次,若重量相同则都是正品部件如果有1个较轻，则是次品部件，结束称重.依次进行,直到挑出次品部件. B 方案:把6个部件任意分成3组,每组2个，然后称重.
(I)分析A,B 两个方案,分别求出恰好称重3次挑出次品部件的概率;
(II)如果称重一次需要2分钟,试比较A, B 两个方案哪一个用时更少,并说明原因.
(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系x0y中,已知直线l的参数方程为
1cos
1sin
x t
y t
α
α
=+
⎧
⎨
=+
⎩
(α∈R,t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ+2cosθ=0.
( I )求曲线C的直角坐标方程;
(II)若曲线C上的点到直线l1,求tanα的值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)= |x+a| +|x-1|.
( I )当a=2时,解关于x的不等式f(x)- x≥8;
(II )若关于x的不等式f(x)≤|x-5|在[0,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
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