四川省泸州市2018届高三高考模拟考试数学(理)试卷(含答案)

四川省泸州市泸州高中高2018届高考模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z 的共轭复数为z ，且()310z i +=(i 是虚数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 2.设集合(){}(){},,,2x
P x y y k Q x y y =
===,己知P Q φ=I ,那么k 的取值范围是（ ）
A ．()-0∞，
B ．()0+∞，
C ．(]-0∞，
D ．()1+∞， 3.阅读如下框图，运行相应的程序，若输入n 的值为10，则输出n 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．4
4.已知函数(),0()21,0g x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩
是R 上的奇函数，则(3)g =（ ）
A ．5
B ．-5
C ．7
D ．-7
5.设a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．a b ∥，b α⊂，则a α∥ B ．a α⊂，b β⊂，αβ∥，则a b ∥ C.a α⊂，b α⊂，a β∥，b β∥，则αβ∥ D ．αβ∥，a α⊂，则a β∥
6.已知函数sin(2)y x ϕ=+在6
x π
=
处取得最大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图像（ ）
A ．关于点(0)6π，
对称 B ．关于点(0)3π，对称 C.关于直线6x π
=对称 D ．关于直线3
x π
=
对称
7.若实数a 满足14
2
log 1log 3a
a >>，则a 的取值范围是( ) A.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.23,34⎛⎫
⎪⎝⎭
C.3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
8.在ABC △中，角B 为34
π
，BC 边上的高恰为BC 边长的一半， 则cos A =( ) A.
25 B.5 C.23
D.5
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．136π B ．144π C ．36π D ．34π
10．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个． A ．53 B ．59 C ．66 D ．71
11.已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，若
3FA FB =u u u r u u u r ，
则AF =u u u r
（ ）
A ．3
B ．4 C.6 D ．7 12.已知偶函数4log ,04()(8),48
x x f x f x x ⎧<≤=⎨
-<<⎩，且(8)()f x f x -=，则函数1
()()2x F x f x =-在区间
[]2018,2018-的零点个数为（ ）
A ． 2020
B ．2016 C. 1010 D ．1008
二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.()5
(1)2x x +-的展开式中，3
x 的系数是____.(用数字作答)．
14.若x ，y 满足约束条件0
01
x y x y y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则12y z x +=+的最大值为 ．
15.已知双曲线C 的中心为坐标原点，点(2,0)F 是双曲线C 的一个焦点，过点F 作渐近线的垂线l ，垂足为M ，直线l 交y 轴于点E ，若3FM ME =，则双曲线C 的方程为 ． 16.已知球O 是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，MN 为球O 的一条直径，点P 为正八面体表面上的一个动点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r
的取值范围是 ．
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本大题满分12分）
如图，在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2sin()A A B =+，它的面积2
57S c = （Ⅰ）求sin B 的值；
（Ⅱ）若D 是BC 边上的一点，3cos 4ADB ∠=，求BD DC
的值.
18.（本大题满分12分）
甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下: 甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元; 乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件
提成8元.
(I)请将两家公司各一名推销员的日工资y(单位: 元) 分别表示为日销售件数n的函数关系式; (II)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图。

若记甲公司该推销员的日工资为X,乙公司该推销员的日工资为Y(单位: 元)，将该频率视为概率，请回答下面问题:
某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
19．（本大题满分12分）
如图，多面体EF﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BAD=60°，AC，BD相交于O，EF∥AC，点E在平面ABCD上的射影恰好是线段AO的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；
（Ⅱ）若直线AE与平面ABCD所成的角为45°，求平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值．
20.（本大题满分12分）
已知动点(,)M x y =（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）设过点(1,0)N -的直线l 与曲线E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C （点C 与点B 不重合），证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标. 21.（本大题满分12分）
已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈
（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和2
31n S n n =+-，4
n n
b a =
，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本大题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为24y x =.
（Ⅰ）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是2cos sin x t y t α
α=+⎧⎨=⎩
(t 为参数)，l 与C 交于,A B 两点，AB =l 的倾
斜角.
23.（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|3||2|f x a x x =--+. （Ⅰ）若2a =，解不等式()3f x ≤；
（Ⅱ）若存在实数a ，使得不等式()14|2|f x a x --+≤成立，求实数a 的取值范围.
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理科数学答案
1-5:ACCAD 6-10:ACADD 11-12:BA
13.40- 14.2 15.132
2
=-y x
16. 4[0,]3 17.解：（Ⅰ）因为sin 2sin()A A B =+. 所以sin 2sin A C =. 由正弦定理得，2a c =，
因为22
1sin sin 2S ac B c B ===，
所以sin B =
；
（Ⅱ）因为3cos 4
ADB ∠=
，所以tan ADB ∠=.
在ABD △中，由正弦定理得：sin sin AD AB
B ADB
=
∠， 所以5
4
AD c =
由余弦定理得：222553
()2444
c c c BD BD =+-⨯⨯⨯.
所以32BD c =或3
8
c ，
因为D 是BC 边上的一点，所以3
2
BD c =，
因为2a c =，所以1
2
CD c =，
所以3BD DC
=.
18.解:(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资y (单位:元) 与销售件数n 的关系式为:80, y n n N =+∈.
乙公司一名推销员的日工资y (单位: 元) 与销售件数n 的关系式为:()()
45,120,
45,8240n n N y n n N n ≤∈⎧=⎨
>∈-⎩ (Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为X (单位: 元),由条形图可得X 的分布列为
X 122 124 126 128 130 P
0.2
0.4
0.2
0.1
0.1
记乙公司一名推销员的日工资为Y (单位: 元),由条形图可得Y 的分布列为
X
120 128 144 160 P
0.2
0.3
0.4
0.1
∵ 125,136EX EY ==,所以仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司 19．解：（Ⅰ）取AO 的中点H ，连结EH ，则EH ⊥平面ABCD ∵BD 在平面ABCD 内，∴EH ⊥BD
又菱形ABCD 中，AC ⊥BD 且EH ∩AC =H ，EH 、AC 在平面EACF 内 ∴BD ⊥平面EACF ，即BD ⊥平面ACF
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH ⊥平面ABCD ，以H 为原点，如图所示建立空间直角坐标系H ﹣xyz ∵EH ⊥平面ABCD ，∴∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角， 即∠EAH =45°，又菱形ABCD 的边长为4，则
各点坐标分别为，
E （0，0，
）
易知为平面ABCD 的一个法向量，记
=，=，
=
∵EF ∥AC ，∴
=
设平面DEF 的一个法向量为（注意：此处可以用替代）
即 =
， 令，则，∴
∴
平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值为
．
20.解：（Ⅰ）由已知，动点M 到点(1,0)P -，(1,0)Q 的距离之和为22 且22PQ <M 的轨迹为椭圆，而2a =1c =，所以1b =， 所以，动点M 的轨迹E 的方程：2
212
x y +=.
（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y -，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为：(1)y k x =+
由22
(1)12
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222
(12)4220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，2122
22
12k x x k -=+，
直线BC 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=
--，所以211221
2121
y y x y x y y x x x x x ++=---，
令0y =，则1221121212122112122()2()
2()2()2
x y x y kx x k x x x x x x x y y k x x k x x +++++=
===-+++++，
所以直线BC 与x 轴交于定点(2,0)D -.
21. 解：（Ⅰ）因为1a =，所以()(2)ln(1)f x x x x =++-，(0)(02)ln100f =+⨯-=，切点为
(0,0).
由'2()ln(1)11
x f x x x +=++-+，所以'
02(0)ln(01)1101
f +=++-=+，所以曲线()y f x =在(0,0)处
的切线方程为01(0)y x -=-，即0x y -=
（Ⅱ）由'
2()ln(1)1
x f x x a x +=++
-+，令'()()([0,))g x f x x =∈+∞， 则22
'
11()01(1)(1)
x g x x x x =
-=≥+++（当且仅当0x =取等号）.故'()f x 在[0,)+∞上为增函数. ①当2a ≤时，''()(0)0f x f ≥≥,故()f x 在[0,)+∞上为增函数， 所以()(0)0f x f ≥=恒成立，故2a ≤符合题意；
②当2a >时，由于'(0)20f a =-<，'1(1)10a
a f e e
-=+>，根据零点存在定理，
必存在(0,1)a
t e ∈-，使得'()0f t =，由于'()f x 在[0,)+∞上为增函数，
故当(0,)x t ∈时，'()0f t <,故()f x 在(0,)x t ∈上为减函数，
所以当(0,)x t ∈时，()(0)0f x f <=,故()0f x ≥在[0,)+∞上不恒成立，所以2a >不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞
（III ）证明：由2
4
,13,1331,.22,22,2
1n n n n n S n n a b n n n n ⎧=⎪=⎧⎪=+-⇒=⇒=⎨
⎨+≥⎩⎪≥⎪+⎩
由（Ⅱ）知当0x >时，(2)ln(1)2x x x ++>，故当0x >时，2ln(1)2
x
x x +>
+，
故2
222ln(1)212n n n n
⋅
+>=
++，故1122ln(1)1n n
k k k k ==+>+∑∑.下面证明：ln(1)(2)n T n n <++ 因为
1
222222ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1231n
k k n n =+=++++++⋅⋅⋅++++-∑ 45612(1)(2)ln(3)ln ln(1)(2)ln 223412
n n n n n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==++--
而，4222321311
n T n =
+++⋅⋅⋅++++ 1
222222224111111213122131233n
n n
k T T k n n ==+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+-=-++++++++∑所以，1ln(1)(2)ln 23n n n T ++->-，即：1
ln(1)(2)ln 23
n n n n T T ++>-+>
22.解：(1)∵cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨=⎩，代入24y x =，∴2sin 4cos 0ρθθ-=
(2)不妨设点A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，
把直线l 的参数方程代入抛物线方程得：22sin 4cos 80t t αα-⋅-=， ∴1221222
4cos sin 8sin 1616sin 0t t t t αααα⎧
+=⎪⎪
-⎪
=⎨⎪
⎪∆=+>⎪⎩
，则12AB t t =-==，
∴sin α=
，∴4πα=或34
πα=. 23.解：（Ⅰ）不等式()3f x ≤化为|23||2|3x x --+≤，则2
2323x x x -⎧⎨-++⎩
≤≤
或2232323x x x ⎧-<⎪⎨⎪---⎩≤≤，或233223
x x x ⎧
>⎪⎨⎪---⎩≤，
解得
37 42
x
-≤≤，
所以不等式()3
f x≤的解集为
37 {|}
42
x x
-≤≤；
（Ⅱ）不等式()14|2|
f x a x
--+
≤等价于|3|3|2|1
a x x a
-++-
≤
即|3|3|2|1
a x x a
-++-
≤，
因为|3|3|2||3||63||363||6|
a x x a x x a x x a
-++=-++-++=+
≥，若存在实数a，使不等式()14|2|
f x a x
--+
≤成立，
则|6|1
a a
+-
≤，
解得：
5
2
a-
≤，实数a的取值范围是
5
(]
2
-∞-
，。