高考复习高三第四次月考.doc

—上学期高三年级第四次月考
数 学 试 卷 12月
本试卷第Ⅰ、Ⅱ卷1～4页，答题卷5～8页，试卷满分150分。

考试时间1。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、号码、班级填写在答题卷指定位置。

2.第Ⅰ、Ⅱ卷答案写在答题卷指定答题处，不得超出答题范围。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将所选答案填在第Ⅱ卷指定的答题栏内) 1．函数2
y 2cos x 1=-的最小正周期是（ ）
A.2π
B.π
C.2π
D.4
π
2．若11
0a b
<<，则下列结论不正确．．．
的是（ ） 2
2
A.a b < 2
B.ab b < b a
C.
2a b
+> D .a b a b
+>+ 3．已知等差数列的前n 项和为S n ，若4518a a =-，则S 8等于（ ） A.18 B.36 C.54 D.72 4．条件则条件,2:,1|:|-<>x q x p ┓p 是 ┓q 的（ ）
A ．充分条件但不是必要条件
B ．必要条件但不是充分条件
C ．充要条件
D ．既不是充分条件又不是必要条件
5．设===,,，当μλ+=，且1=+μλ时，点C 在 ( ) A ． 直线A B 上
B ．线段AB 上
C ． 直线AB 上，但除去点A
D ．直线AB 上，但除去点B
6．已知2
π
-
≤x ≤
2
π
，向量(sin ,3),(1,cos )a x b x ==，则a b ⋅的 （ ） A ．最大值是1，最小值是－1 B ．最大值是1，最小值是12
- C ．最大值是2，最小值是－2
D ．最大值是2，最小值是－1
7．过已知圆内的一个定点作圆C 与已知圆相切，则圆C 的圆心轨迹是（ ）。

A 圆
B 椭圆
C 圆或椭圆
D 线段
8． 函数x
xa y x
=(01)a <<的图象的大致形状是
（ ）
A. B. C. D.
9．已知数列}{n a 满足11202
12112n n n n n
a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若761=a ，则2006a =（ ）
A ．
76 B ．7
5
C ．
73 D ．7
1
10．经济学中的“蛛网理论”（如图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l 1,“供给—价格”函数的图象为直线l 2，它们的斜率分别为k 1、k 2，l 1与l 2的交点P 为“供给—需求”均衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P ，与直线l 1、 l 2的斜率满足的条件有关，
从下列三个图中可知最终能达于均衡点P 的条件为 （ ）
A .k 1+k 2>0
B .k 1+k 2=0
C .k 1+k 2<0
D .k 1+k 2可取任意实数
二、填空题：（(本大题共5个小题，每小题4分，共把正确答案填在题中所给横线上。

) 11．已知双曲线的渐近线方程是y ＝±1
2x ，焦点在坐标轴上，焦距是10，则它的方程为。

12．在算式“4×□+1×□=6”的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为 。

13．设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右准线与两渐近线相交于A 、B 两点，F 为右焦点，
以AB 为直径的圆恰过点F ，则双曲线的离心率为 ；
14．不等式组(5)0()003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤≤⎩
，表示的平面区域的面积是 ；
学校 班级 考号 姓名_________________试场号______________ 装订线内不要答题 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆
15．函数sin()1,0,(,)22
y x ππ
ωϕωϕ=+->∈-
，它的最小正周期为π，且其图像关于直线12
π
=
x 对称，则在下面四个结论中：①图像关于点（
,1)4π
-对称；②图像关于点)0,3
(π
对称；③它可以由函数sin 2y x =图象上所有点向左平移12
π
个单位,横坐标不变,纵坐标向下平移1个单位而得到；④在[]0,6
π-
上是增函数.所有正确结论的序号为 .
第Ⅱ卷(选择题，共80分)
三、解答题：（共6小题，80分. 解答须写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 16．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、)sin ,(cos ααC ，)23,
2(π
πα∈，
（I
=，求角α的值；
（II ）若1-=⋅，求α
ααtan 12sin sin 22++的值。

(12分)
17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N ＊
)。

⑴求数列{a n }的通项公式；
⑵若数列{b n }满足43log n n b a =+,求12||||||n b b b ++∙∙∙+的值。

（12分）
18．已知定义域为[0，1]的函数)(x f 同时满足：（1）对于任意;0)(],1,0[≥∈x f x 总有 （2）;1)1(=f （3）若).()()(,1,0,021212121x f x f x x f x x x x +≥+≤+≥≥则有
（Ⅰ）试求)0(f 的值； （Ⅱ）试求函数)(x f 的最大值； （Ⅲ）若对于任意[0,1],x ∈总有
24()4(2)()540f x a f x a --+-≥，求实数a 的取值范围。

（14分）
19．某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药片预防，规定每人每天上午8时和晚上20时各服一片。

现知该药片每片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%，该药物在人体内的残留量超过380毫克，就将产生副作用。

（Ⅰ）某人上午8时第一次服药，问到第二天上午8时服完药后，这种药在他体内还残留多少？ （Ⅱ）若人长期服用这种药，这种药会不会对人体产生副作用？说明理由。

（12分）
物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，如右图所示，今有抛物线2
2(0)y px p =>，一光源在点41
(
,4)4
M 处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，反射后，又射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线:24170l x y --=上的点N ，再反射后又射回点M 。

（1）设P 、Q 两点的坐标分别是1122(,),(,)x y x y ，
证明：2
12y y p =-。

（2）求抛物线方程。

（14分）
21．以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，建立如 所示的坐标系。

设1OF FG ∙=，点F 的坐标为(,0)t ，[3,)t ∈+∞，点G 的坐标为00(,)x y 。

（1）求0x 关于t 的函数0()x f t =的表达式，判断函数()f t 的单调性，并证明你的判断；
（2）设ΔOFG 的面积6
S t =，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点G ，求当||OG 取最小值时椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，若点P 的坐标为9(0,)2
，C 、D 是椭圆上的两点，且(1)PC PD λλ=≠，求实数λ的取值范围。

（16分）
—上学期高三年级第四次月考
数 学 答 案
BDDAA DCDBA
11．
15
202
2±=-y x 12．1，2 13
14．24 15. ③④ 16．解：（1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=αααα
αααcos 610sin )3(cos 22-=+-=，
αsin 610-= （………………………3分）
=得ααcos sin = 又)23,
2(
π
πα∈πα4
5
=∴ （…………6分） （2）由1-=⋅，得1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-αααα
32cos sin =
+∴αα9
5
cos sin 2-=⋅∴αα （…………………9分） 又αααtan 12sin sin 22++=
=+
+αααααcos sin 1cos sin 2sin 2295
cos sin 2-=⋅αα 所以，αααtan 12sin sin 22++=9
5-。

（………………12分）
17．解：⑴由a n ＋S n ＝1，∴a n ＋1＋S n ＋1＝1，两式相减，∴a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0，∴2a n +1＝a n ，
∴数列{a n }是公比为1
2的等比数列。

………………………………………3分
又n ＝1时，a 1+S 1＝1，∴a 1＝12，∴a n ＝a 1q n －
1＝12·(12)n －1＝(12
)n 。

…………………6分
⑵∵6322n n n
b -=-=，当6,*n n N ≤∈时，121
(11)||...4n
i n i n n b b b b =-=+++=∑
当6,*n n N >∈，212671
1160
||...( (4)
i n i n n b b b b b b =-+=+++-++=∑
则21(11)
(6)4
||1160(7)
4
n i i n n n b n n n =-⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩∑ 12分
18．解：（Ⅰ）对于条件③，令0)0(021≤==f x x 得
又由条件①知0)0(≥f 故0)0(=f （4分）
（Ⅱ）设1021≤<≤x x ，则)1,0(12∈-x x
)()
()()()(])[()()(121112111212≥-=-+-=-+-=-∴x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f
即)()(12x f x f ≥ 故)(x f 在[0，1]上是单调递增的
从而)(x f 的最大值是1)1(=f （8分）
（Ⅲ）因()f x 在[0,1]x ∈上是增函数，则()[0,1]f x ∈，
又（22
4()8()54()4(2)()54044()
f x f x f x a f x a a f x -+--+-≥⇒≤-对[0,1]x ∈恒成立，
设24()8()51
1()144()4[1()]
f x f x y f x f x f x -+=
=-+≥-- 则1a ≤ （14分）
19．解：（Ⅰ）设人第n 次服药后，药在体内的残留量为n a 毫克，则 1220a =，21220(160%)220 1.4308a a =+⨯-=⨯=，
32220(160%)343.2a a =+⨯-=，即到第二天上午时服完药后，这种药在他体内
还残留343.2毫克； （6分）
（Ⅱ）由题意：122205n n a a +=+，∴1110021100
()353
n n a a +-=-， ∴1100{}3n a -是以1110044033a -=-
为首项，2
5为公比的等比数列， ∴1
11004402()335
n n a --=-，
（10分） ∵14402()035n --<，∴1100236633
n a <=，∴380n a <。

故若人长期服用这种药，这种药不
会对人体产生副作用。

（14分）
（1）由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点(
,0)2p F ，设:2
p
PQ x my =+，代入抛物线方程得：22
20y mpy p --=，212y y p ∴=- （6分）
（2）设000(,)(0)N x y y <，由题意知20016(,4),(,0),(,)222y p
P F Q y p p
，又设'(,)M m n 是点M
关于直线l 的对称点，则有：4
241441442417022
n m m n -⎧=-⎪-⎪⎪⎨⎪++⎪⨯-⨯-=⎪⎩，5141m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
由对称性质知01y n ==-，代入直线l 的方程得0132x =
（或利用到角公式得4
3
MN k =，求出00,x y ）。

由01y =-，则1
(
,1)2Q p
-，又P ，F ，Q 三点共线得P=2。

抛物线方程为24y x =。

（14分）
21．解（1）由题意知00(,),(,0)FG x t y OF t =-=，则001
()1,OF FG t x t x t t
∙=-==+ 函数()f t 在[3,)+∞是单调递增函数。

（证明略）（5分）
（2
）由001||||2S OF y y =
=⇒=
G 221131(,||()9
t OG t t t +=++， 因1()f t t t =+在[3,)+∞上是增函数，当3t =时，||OG 取最小值，
此时10(3,0),(
,3F G ， 依题意椭圆的中心在原点，一个焦点F （3，0），设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，由G 点
坐标代入与焦点F （3，0），可得椭圆方程为：
22
1189
x y += （10分） （3）设(,),(,)C x y D m n ，则99(,),(,)22
PC x y PD m n =-=-，
由99,(,)(,)22
PC PD x y m n λλ=⇒-=-，99,22
x m y n λλλ==-+， 因点C 、D 在椭圆上，代入椭圆方程得，22222
99()221,11891818
n m n m λλλ-++=+=，消去m ， 得1354n λλ-=，又1351
||3,|
|3545
n λλλ-≤∴≤⇒≤≤， 则实数λ的取值范围为1
[,1)(1,5]5。

（16分）。