河北省武安市第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题
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由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝ .
从而由正弦定理得sin B sin C＝ sin A× sin A＝ sin2A＝ × ＝ .
考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.
【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现 时，就要考虑一个条件， , ,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式 ,灵活使用其中的一个.
由余弦定理得： ，解得： 或3，经检验均符合，设边AC上的高是 ，当 时， ；当 时，
故选：AB
11．ABC
【分析】
利用公式表达出 ，利用三角函数恒等变换，求出 的范围，进而求出结果.
【详解】
，所以 ，因为 ，所以 ， ，显然ABC均满足题意.
故选：ABC
12．ABC
【分析】
直接利用向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算判断 、 、 、 的结论．
注意到 ，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到 ，进而得到结论.
【详解】
∴BA⊥AC,
∴△ABC为直角三角形，
故选：
5．B
【分析】
求得 ，根据夹角公式求得 与 的夹角.
【详解】
由于 ，所以 ，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
由于 ，所以 .
故选：B
6．B
【分析】
根据三边关系求出 ，根据二倍角公式结合正弦定理即可得解.
21．已知向量 ， ， ，
（1）若 ，且 ，求x的值.
（2）若函数 ，求 的最小值.
（3）是否存在实数k，使得 ？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5 ，b=5，求sinBsinC的值．
【详解】
（1） ， ，则 ，
又 ，且 ， ，解得 ；
（2） ， ，因此， .
【点睛】
本题考查利用平面向量垂直的坐标表示求参数，同时也考查了平面向量夹角的计算，考查计算能力，属于基础题.
18．（1） ；（2） 或13
【分析】
（1）建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，进行求解；（2）分三种情况进行求解，利用垂直关系下数量积为0列出方程，求出a的值.
中， ，可得 米
中， ，可得 米
在 中， 米， 米， ，
由余弦定理可得：
，
米（负值舍去）
故选： ．
【点睛】
本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于基础题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键.
8．B
【分析】
先化简得 ，即得点P为三角形 的垂心.
考点：本题考查了数量积的运算
点评：平面向量数量积的运算和模的计算问题，应特别注意有关模的问题一般采取平方法进行解决，属中档题．
17．（1） ；（2） .
【分析】
（1）计算出平面向量 的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数 的等式，由此可求得实数 的值；
（2）利用平面向量夹角余弦的坐标表示可求得 的值，结合角 的取值范围可求得结果.
【详解】
由 ，
因为－1≤cosθ≤1，所以 恒成立，所以A正确；
由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得 ，故B选项不成立；
根据向量数量积及运算律知C，D选项恒成立.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积公式及几何意义.
10．AB
【分析】
先用余弦定理求出 的长，再求出边AC上的高.
【详解】
A． B． C． D．30m
8．三角形 所在平面内一点P满足 ，那么点P是三角形 的（）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
9．对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．△ABC中， ，A=60°，AC=4，则边AC上的高是（）
A． B． C． D．
11．向量 ， ，则 的值可以是（）
河北省武安市第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 化简后等于（）
A． B． C． D．
2．已知平面向量 ，且 ，则
A． B． C． D．
3．已知点 则与 同方向的单位向量为
【详解】
由于三角形 所在平面内一点P满足 ，
则
即有 ，
即有 ，
则点P为三角形 的垂心.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．B
【分析】
由向量数量积公式可判断A正确，由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可判断B错误，由运算律可得CD正确.
15．已知 为 的三个内角A，B，C的对边，向量 ， ．若 ，且 ，则B=
16．若 ， ， 均为单位向量，且 ， ，则 的最大值为____.
四、解答题
17．已知向量 ， ， ，且 .
（1）求实数 的值；
（2）求向量 与 的夹角 .
18．（1）在直角三角形ABC中，C=90°，AB=5，AC=4，求 ；
又 ， 为两个不共线的向量，
所以 ，
即 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了向量共线的运算，重点考查了平面向量基本定理，属基础题.
15．
【分析】
根据 得 ，再利用正弦定理得 ，化简得出角 的大小。再根据三角形内角和即可得B.
【详解】
根据题意,
由正弦定理可得
则
所以答案为 。
【点睛】
本题主要考查向量与三角形正余弦定理的综合应用,属于基础题。
A． B． C． D．
4．在△ABC中， ，则△ABC的形状一定是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
5．已知向量 ，其中 ，且 ，则 与 的夹角是（）
A． B． C． D．
6．在三角形ABC中，已知三边之比 ，则 的值等于（）
A．1B．2C． D．
7．江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船之间的距离为
【详解】
三角形ABC中，已知三边之比 可设 ，
由余弦定理可得： ，
由正弦定理可得：
故选：B
7．D
【分析】
利用直线与平面所以及俯角的定义，化为两个特殊直角三角形的计算，再在底面 中用余弦定理即可求出两船距离．
【详解】
如图，过炮台顶部 作水平面的垂线，垂足为 ，设 处观测小船 的俯角为 ，
设 处观测小船 的俯角为 ，连接 、
参考答案
1．A
【分析】
利用平面向量的线性运算法则及运算律计算即可得解.
【详解】
.
故选：A
2．B
【详解】
试题分析：因为 ， ，且 ，所以 ， ，故选B.
考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.
3．A
【详解】
试题分析： ,所以与 同方向的单位向量为 ，故选A.
考点：向量运算及相关概念.
4．A
【分析】
A．2B． C．4D．
12．给出下列命题，其中正确的选项有
A．非零向量 、 满足 ，则 与 的夹角为
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若单位向量的 、 的夹角为 ，则当 取最小值时，
D．若 ， ， ， 为锐角，则实数 的取值范围是
三、填空题
13．若 中， ， ， ，则 _______．
14．设 ， 为两个不共线的向量，若 与 共线，则 ______.
（2）已知向量 ， ， .若△ABC为直角三角形，求a的值.
19．如图，在 中，已知 为 边上的高.
（1）求 ；
（2）设 ，其中 ，求 的值
20．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约 km/h的的B处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，最多需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
对于 ， ， ，
由于 为锐角，
所以 且 与 不同向，
即
则 且 ，故 不正确．
故选： ．
13．
【详解】
由题意得 ．由正弦定理得 ，则 ，
所以 ．
考点：正弦定理．
14．
【分析】
由 与 共线，则 ，可得 ，再结合 ， 为两个不共线的向量，可得 ，然后求解即可.
【详解】
解：因为 与 共线，
则 ，
所以 ，
即 ，
【详解】
（1）以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据勾股定理得： ，所以 ， ，所以
（2） ，
① ，此时 ，解得： ；
② ，此时 ，解得： ；
③ ，此时 ，因为 ，无解；
综上： 或13
19．（1） ；（2） .
【分析】
（1）设 ，作为基底，表示相关向量，利用向量的数量积的运算计算即可；
（1）由向量平行的坐标表示可求得 ，得 值；
（2）由数量积的坐标表示求出 ，结合正弦函数性质可得最值；
（3）计算由 得 与 的关系，求出 的取值范围即可．
【详解】
（1） ， ，
，即 .又 ， .
（2）∵ ， ， .
， ， ， 的最小值为0.
（3）∵ ， ，
若 ，则 ，即 ，
，由 ，得 ，
∴存在 ，使得
【详解】
解：对于 ：非零向量 、 满足 ，
令： ， ，
则 ， ，
由于 ，
如图所示：
所以四边形 为菱形，且 为等边三角形；
所以 ， ，
则 与 的夹角为 ，故 正确．
对于 ：由于 ，
所以 ，
所以 为等腰三角形，故 正确．
对于 ：若单位向量的 、 的夹角为 ，则当 取最小值时，
即 ，
当 时， 的最小值为 ，故 正确；
在 中， ,
由正弦定理，得 ，
，
.
在 中， ,
为等边三角形， .
在 段需要5min，
在 段需要5min.则最多需要5min，检查员开始收不到信号，并至少持续5min.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21．（1） ；（2）0；（3）存在
【分析】
【点睛】
本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大．
22．（1） （2）
【详解】
试题分析：（1）根据二倍角公式 ,三角形内角和 ,所以 ,整理为关于 的二次方程，解得角 的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角 ，代入后解得边 ，这样就知道 ,然后根据余弦定理再求 ，最后根据证得定理分别求得 和 .
试题解析：（1）由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，
得2cos2A＋3cos A－2＝0，
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，
解得cos A＝ 或cos A＝－2(舍去)．
因为0<A<π，所以A＝ .
（2）由S＝ bcsin A＝ bc× ＝ bc＝5 ，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.
16．1
【详解】
试题分析：∵( - )×( - )≤0，即 × - × ( + )- 2≤0，又 ， ， 均为单位向量，且 × =0，所以 × ( + )≥1，-2 × ( + )≤-2，故| ＋ － |2= 2+ 2+ 2+2 × -2 × ( + )=3-2 × ( + )≤3-2=1，所以| ＋ － |的最大值为1
（2）根据 三点共线，设 ，可得 ，由 ，计算求解得到 进而得解.
【详解】
解：设 ，
（1）因为 ，
所以
（2）因为 三点共线，所以设
因为 ，所以 ，
所以
即
又 ，代入上式，解得
，即 .
20．答案见解析.
【分析】
由题意利用正弦定理首先求得 的大小，然后确定检查员检查合格的方法即可.
【详解】
检查开始处为 ，设公路上 两点到考点的距离均为1km.
从而由正弦定理得sin B sin C＝ sin A× sin A＝ sin2A＝ × ＝ .
考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.
【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现 时，就要考虑一个条件， , ,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式 ,灵活使用其中的一个.
由余弦定理得： ，解得： 或3，经检验均符合，设边AC上的高是 ，当 时， ；当 时，
故选：AB
11．ABC
【分析】
利用公式表达出 ，利用三角函数恒等变换，求出 的范围，进而求出结果.
【详解】
，所以 ，因为 ，所以 ， ，显然ABC均满足题意.
故选：ABC
12．ABC
【分析】
直接利用向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算判断 、 、 、 的结论．
注意到 ，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到 ，进而得到结论.
【详解】
∴BA⊥AC,
∴△ABC为直角三角形，
故选：
5．B
【分析】
求得 ，根据夹角公式求得 与 的夹角.
【详解】
由于 ，所以 ，
设 与 的夹角为 ，
则 ，
由于 ，所以 .
故选：B
6．B
【分析】
根据三边关系求出 ，根据二倍角公式结合正弦定理即可得解.
21．已知向量 ， ， ，
（1）若 ，且 ，求x的值.
（2）若函数 ，求 的最小值.
（3）是否存在实数k，使得 ？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5 ，b=5，求sinBsinC的值．
【详解】
（1） ， ，则 ，
又 ，且 ， ，解得 ；
（2） ， ，因此， .
【点睛】
本题考查利用平面向量垂直的坐标表示求参数，同时也考查了平面向量夹角的计算，考查计算能力，属于基础题.
18．（1） ；（2） 或13
【分析】
（1）建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，进行求解；（2）分三种情况进行求解，利用垂直关系下数量积为0列出方程，求出a的值.
中， ，可得 米
中， ，可得 米
在 中， 米， 米， ，
由余弦定理可得：
，
米（负值舍去）
故选： ．
【点睛】
本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于基础题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键.
8．B
【分析】
先化简得 ，即得点P为三角形 的垂心.
考点：本题考查了数量积的运算
点评：平面向量数量积的运算和模的计算问题，应特别注意有关模的问题一般采取平方法进行解决，属中档题．
17．（1） ；（2） .
【分析】
（1）计算出平面向量 的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数 的等式，由此可求得实数 的值；
（2）利用平面向量夹角余弦的坐标表示可求得 的值，结合角 的取值范围可求得结果.
【详解】
由 ，
因为－1≤cosθ≤1，所以 恒成立，所以A正确；
由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得 ，故B选项不成立；
根据向量数量积及运算律知C，D选项恒成立.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积公式及几何意义.
10．AB
【分析】
先用余弦定理求出 的长，再求出边AC上的高.
【详解】
A． B． C． D．30m
8．三角形 所在平面内一点P满足 ，那么点P是三角形 的（）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
9．对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．△ABC中， ，A=60°，AC=4，则边AC上的高是（）
A． B． C． D．
11．向量 ， ，则 的值可以是（）
河北省武安市第一中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． 化简后等于（）
A． B． C． D．
2．已知平面向量 ，且 ，则
A． B． C． D．
3．已知点 则与 同方向的单位向量为
【详解】
由于三角形 所在平面内一点P满足 ，
则
即有 ，
即有 ，
则点P为三角形 的垂心.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．B
【分析】
由向量数量积公式可判断A正确，由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可判断B错误，由运算律可得CD正确.
15．已知 为 的三个内角A，B，C的对边，向量 ， ．若 ，且 ，则B=
16．若 ， ， 均为单位向量，且 ， ，则 的最大值为____.
四、解答题
17．已知向量 ， ， ，且 .
（1）求实数 的值；
（2）求向量 与 的夹角 .
18．（1）在直角三角形ABC中，C=90°，AB=5，AC=4，求 ；
又 ， 为两个不共线的向量，
所以 ，
即 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了向量共线的运算，重点考查了平面向量基本定理，属基础题.
15．
【分析】
根据 得 ，再利用正弦定理得 ，化简得出角 的大小。再根据三角形内角和即可得B.
【详解】
根据题意,
由正弦定理可得
则
所以答案为 。
【点睛】
本题主要考查向量与三角形正余弦定理的综合应用,属于基础题。
A． B． C． D．
4．在△ABC中， ，则△ABC的形状一定是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
5．已知向量 ，其中 ，且 ，则 与 的夹角是（）
A． B． C． D．
6．在三角形ABC中，已知三边之比 ，则 的值等于（）
A．1B．2C． D．
7．江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船之间的距离为
【详解】
三角形ABC中，已知三边之比 可设 ，
由余弦定理可得： ，
由正弦定理可得：
故选：B
7．D
【分析】
利用直线与平面所以及俯角的定义，化为两个特殊直角三角形的计算，再在底面 中用余弦定理即可求出两船距离．
【详解】
如图，过炮台顶部 作水平面的垂线，垂足为 ，设 处观测小船 的俯角为 ，
设 处观测小船 的俯角为 ，连接 、
参考答案
1．A
【分析】
利用平面向量的线性运算法则及运算律计算即可得解.
【详解】
.
故选：A
2．B
【详解】
试题分析：因为 ， ，且 ，所以 ， ，故选B.
考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质.
3．A
【详解】
试题分析： ,所以与 同方向的单位向量为 ，故选A.
考点：向量运算及相关概念.
4．A
【分析】
A．2B． C．4D．
12．给出下列命题，其中正确的选项有
A．非零向量 、 满足 ，则 与 的夹角为
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若单位向量的 、 的夹角为 ，则当 取最小值时，
D．若 ， ， ， 为锐角，则实数 的取值范围是
三、填空题
13．若 中， ， ， ，则 _______．
14．设 ， 为两个不共线的向量，若 与 共线，则 ______.
（2）已知向量 ， ， .若△ABC为直角三角形，求a的值.
19．如图，在 中，已知 为 边上的高.
（1）求 ；
（2）设 ，其中 ，求 的值
20．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约 km/h的的B处有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，最多需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
对于 ， ， ，
由于 为锐角，
所以 且 与 不同向，
即
则 且 ，故 不正确．
故选： ．
13．
【详解】
由题意得 ．由正弦定理得 ，则 ，
所以 ．
考点：正弦定理．
14．
【分析】
由 与 共线，则 ，可得 ，再结合 ， 为两个不共线的向量，可得 ，然后求解即可.
【详解】
解：因为 与 共线，
则 ，
所以 ，
即 ，
【详解】
（1）以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据勾股定理得： ，所以 ， ，所以
（2） ，
① ，此时 ，解得： ；
② ，此时 ，解得： ；
③ ，此时 ，因为 ，无解；
综上： 或13
19．（1） ；（2） .
【分析】
（1）设 ，作为基底，表示相关向量，利用向量的数量积的运算计算即可；
（1）由向量平行的坐标表示可求得 ，得 值；
（2）由数量积的坐标表示求出 ，结合正弦函数性质可得最值；
（3）计算由 得 与 的关系，求出 的取值范围即可．
【详解】
（1） ， ，
，即 .又 ， .
（2）∵ ， ， .
， ， ， 的最小值为0.
（3）∵ ， ，
若 ，则 ，即 ，
，由 ，得 ，
∴存在 ，使得
【详解】
解：对于 ：非零向量 、 满足 ，
令： ， ，
则 ， ，
由于 ，
如图所示：
所以四边形 为菱形，且 为等边三角形；
所以 ， ，
则 与 的夹角为 ，故 正确．
对于 ：由于 ，
所以 ，
所以 为等腰三角形，故 正确．
对于 ：若单位向量的 、 的夹角为 ，则当 取最小值时，
即 ，
当 时， 的最小值为 ，故 正确；
在 中， ,
由正弦定理，得 ，
，
.
在 中， ,
为等边三角形， .
在 段需要5min，
在 段需要5min.则最多需要5min，检查员开始收不到信号，并至少持续5min.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
21．（1） ；（2）0；（3）存在
【分析】
【点睛】
本题考查平面得数量积的坐标运算，考查正弦函数的性质．属于一般题型，难度不大．
22．（1） （2）
【详解】
试题分析：（1）根据二倍角公式 ,三角形内角和 ,所以 ,整理为关于 的二次方程，解得角 的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角 ，代入后解得边 ，这样就知道 ,然后根据余弦定理再求 ，最后根据证得定理分别求得 和 .
试题解析：（1）由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，
得2cos2A＋3cos A－2＝0，
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，
解得cos A＝ 或cos A＝－2(舍去)．
因为0<A<π，所以A＝ .
（2）由S＝ bcsin A＝ bc× ＝ bc＝5 ，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.
16．1
【详解】
试题分析：∵( - )×( - )≤0，即 × - × ( + )- 2≤0，又 ， ， 均为单位向量，且 × =0，所以 × ( + )≥1，-2 × ( + )≤-2，故| ＋ － |2= 2+ 2+ 2+2 × -2 × ( + )=3-2 × ( + )≤3-2=1，所以| ＋ － |的最大值为1
（2）根据 三点共线，设 ，可得 ，由 ，计算求解得到 进而得解.
【详解】
解：设 ，
（1）因为 ，
所以
（2）因为 三点共线，所以设
因为 ，所以 ，
所以
即
又 ，代入上式，解得
，即 .
20．答案见解析.
【分析】
由题意利用正弦定理首先求得 的大小，然后确定检查员检查合格的方法即可.
【详解】
检查开始处为 ，设公路上 两点到考点的距离均为1km.