《充分条件和必要条件》示范公开课教学课件【高中数学人教A版必修第一册】

具体 实例
抽象 概念
辨析 概念
应用 概念
敬请各 位老 师提 出宝 贵意见 ！
追问1 判断q是p的必要条件的依据与方法分别是什么？
新知探究
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形是的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形垂直；
引入新课
新概念的学习过程： 具体实例——定义——表示——辨析——应用
猜想： 具体实例——什么是充分条件、必要条件和充要条件？ ——如何表示？——如何判断？——如何应用？
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问题2 在初中，我们学习过命题，什么是命题？什么是真 命题和假命题？你能举一些例子吗？并试着将你的例子改写 成“若p，则q”的形式．
追问1 判断p是q的充分条件的依据与方法分别是什么？
新知探究
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
解： （1）这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． （2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． （3）这是一条菱形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．
新知探究
问题4 下列“若p，则q”形式的命题中，p是否为q的充分条件？ q是否为p的必要条件？为什么？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真
p是q的充分条件，q是p的必要条件
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； 假
p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
（3）若x2－4x＋3＝0，则x＝1； 假 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
解： （1）这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件． （2）这是相似三角形的一条性质定理，p⇒q，所以q是p的必要条件．
（3）对于筝形，对角线互相垂直，但它不是菱形，p q，所以q不是p的
必要条件．
新知探究
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （4）若x＝1，则x2＝1； （5）若ac＝bc，则a＝b； （6）若xy为无理数，则x，y为无理数．
常用逻辑用语
充分条件和必要条件
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问题1 阅读课本第17页第一段，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪些内容？
研究命题“若p，则q”—充分条件、
必要条件和充要条件．
（2）本节要研究的对象在高中数学中的地位是怎样的？
三个常用逻辑用语是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言．
（3）并试着依据一个新概念的学习过程，给出你的研究思路与方法．
（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b．真
p是q的充分条件，q是p的必要条件
新知探究
追问1：判断p是否为q的充分条件，q是否为p的必要条件的依据和方 法是什么？ 判断充分（必要）条件的依据是：充分条件和必要条件的定义． 具体方法是：命题法，即判断命题“若p，则q”的真假．
新知探究
新知探究
例3 已知m＞0，p：－2≤x＜6，q：2－m＜x≤2＋m． （1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； （2）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围． 追问 对于（1），根据充分条件的定义，两个条件p与q对应的数集之间应 该有怎样的关系？对于（2）呢？
答案：因为p是q的充分条件， 所以条件p对应的数集中的每个元素都 应该在条件q对应的数集中，所以{x|－2≤x＜6}⊆{x|2－m＜x≤2＋m}， 从而将问题转化为已知集合关系求参数范围．
追问2：
➢ 对于命题（1），若q不成立，p成立吗？请你解释． ➢ 对于命题（4）呢？
➢ 一般地，当时，那么若q不成立，p成立吗？
➢ 你能据此说明为什么此时称q为p的必要条件？
p是q的充分条件，即p成立足够推出q成立； q是p的必要条件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q对于p成立 而言是必要的．
新知探究
新知探究
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（4）若x2＝1，则x＝1； （5）若a＝b，则ac＝bc； （6）若x，y为无理数，则xy为无理数．
解：（4）由于（－1）2＝1，但－1≠1，p q，所以p不是q的充分条件．
（5）由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件．
……
新知探究
追问3：根据上述分析，你认为充分条件与判定定理之间有怎样的 关系？ 数学中的每个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
新知探究
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形是的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形垂直； （4）若x＝1，则x2＝1； （5）若ac＝bc，则a＝b； （6）若xy为无理数，则x，y为无理数．
新知探究
例3 已知m＞0，p：－2≤x＜6，q：2－m＜x≤2＋m． （1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； （2）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
2 2 m ， 解：（1）因为p是q的充分条件，所以 6 ≤ 2 m ， 解得m＞4；
m 0 ， 2 ≤ 2 m ， （2）因为p是q的必要条件，所以 6 2 m ， 解得0＜m＜4． m 0 ，
（6） 2 为无理数，但 2 2 2 为有理数，p q，所以p不是q的充分
条件．
新知探究
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（4）若x2＝1，则x＝1； 除了用判断命题的真假判断充分条件之外，
还可以用集合关系来判断充分条件．
对于命题“若p，则q”，
集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}， 若A⊆B，则p是q的充分条件．
①若四边形为平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等； ②若四边形为平行四边形，则这个四边形两条对角线互相平分； ③若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等； ④若四边形为平行四边形，则这个四边形两组对边分别平行．
……
新知探究
追问3 根据上述分析，你认为必要条件与性质定理的关系如何？ 数学中的每个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
归纳总结
问题5 本节课我们学习了充分条件和必要条件，充分条件和必 要条件的含义分别是什么？对于“若p，则q”命题，判断p是否为q 的充分条件或者必要条件的方法有哪些？充分条件、必要条件 与数学中的判定定理、性质定理有什么关系？对照问题1中给出 的研究内容和思路，你有没有需要补充的内容？
归纳总结
充分条件：判定定理； 必要条件：性质定理
新知探究
问题3 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？ 哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真 （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； 假 （3）若x2－4x＋3＝0，则x＝1； 假 （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b．真
解： （1）显然，p⇒q，所以q是p的必要条件．
（2）当c＝0，结论不成立，p q，所以q不是p的必要条件． （3）1 2 为无理数，但1， 2 不全是有理数，p q，所以q不是p的必要
条件．
新知探究
追问 类比例1，你能用集合法解答（4）吗？ （4）若x＝1，则x2＝1；
解：方程x2＝1的解集为{－1，1}， 而{1}⊆{－1，1}， 所以q是p的必要条件．
集合法
用集合关系来判断必要条件．对于命题“若p，则q”， 集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若 A⊆B，则q是p的必要条件．
新知探究
追问2 命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即 “四边形的两组对角分别相等”．这样的必要条件唯一吗？如果不唯一， 请你再写出几个不同的必要条件．
新知探究
追问2：关于命题（2）和命题（3），由条件p通过推理不能得到结论q，所 以它们是假命题． ➢ 对于一般的“若p，则q”形式的命题，如果由p通过推理不能得到q，那
么这个命题为假命题吗？ ➢ 反过来，如果这个命题是假命题，那么由p通过推理一定不能得到q吗？
一般地，如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q， 记作p / q．此时，就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
“若p，则q”是真 含义：p是q的充分条件，
命题，即由p可以推 即p成立足够推出q成立；
出q，记作p q．此 时p是q的充分条件，
q是p的必要条件，即如 果q不成立，p一定不成 立，所以q法、 集合法
已知充分、必要条 件求参数范围：转 化为集合关系问题
新知探究
追问1：关于命题（1）和命题（4），由条件p通过推理可以得到结论q，所 以它们是真命题． ➢ 对于一般的“若p，则q”形式的命题，如果由p通过推理可以得到q，那么
这个命题为真命题吗？ ➢ 反过来，如果这个命题是真命题，那么由p通过推理一定可以得到q吗？
一般地，“若p，则q”为真命题，就是指由p通过推理可以得到q．这 时，我们就说，由p可以推出q，记作 p q ．并且说，p是q的充分条 件（sufficient condition），q是p的必要条件（necessary condition）．
集合法
解：方程x2＝1的解集为{－1，1}，而{－1，1}⊇{1}， 所以p不是q的充分条件．
新知探究
追问2：命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边 形的两组对角分别相等”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，请你再写 出几个不同的充分条件．
①若四边形一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ②若四边形两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形； ④若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形．
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若x2＝1，则x＝1； （5）若a＝b，则ac＝bc； （6）若x，y为无理数，则xy为无理数．