机器人原理与应用3PPT课件

果点p在H系中的位置为 r H ，那 么它相对于B系的位置矢量 r p
B
y
可由矢量相加得出，即
x
rp r0 rH
称其为坐标平移方程。
表示移动的坐标变换
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第三章 机器人坐标系统
3.3.2 转动的坐标表示
(1) 绕坐标轴转动某个角度的表示法
下面以绕z轴
转动 z 角为例来
研究绕坐标轴转
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例3.1 若从基坐标系 ({B})到手爪坐标第系三章 机({E器}人)的坐旋标系转统变换 矩阵为 。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑{E}的 原点位置）；（2）如果给出OE({E}系的原点）在{B}中的位置矢 量为（1，2，2），画出两坐标系的相对位姿关系。
解：
(1)
xE yE zE xB
动某个角度的表 示法。设H系从 与B系相重合的 位置绕B系的z轴 转动角 z ，H系 与B系的关系如 右图所示。
z zH
a B, H
yH o
z
y
z
x n
xH
H系相对B系绕z轴转动θz角的坐标关系
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第三章 机器人坐标系统
若将H系的3个单位矢量表示在B系中，则有：
n
cos
sin
z
z
，
0
o
- sin z
cos
z
，
0
0
a
0
1
实现两个坐标系之间转动关系的矩阵，又叫转动矩阵R， 可表示为：
cosz -sinz 0
Rn,o,a sinz cosz 0
0
0 1
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第三章 机器人坐标系统
同理，可以得出当绕X轴旋转时：
1 0
Rn,o,a0 cosx
交坐标变换矩阵的原因。在机器人学中经常要用到这种正交 坐标变换。
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第三章 机器人坐标系统
3.2.2 位置的描述
一旦建立起一个坐标系，我们就可以用3维的位置矢量来确
定该空间内任一点的位置 Px y zT 。其中，x、y、z是p
点在笛卡尔坐标系的三个坐标轴上坐标分量。用这种方法可以 很容易地表示出手坐标（原点）在基坐标系中的空间位置。
z'θ z
z' θ z
z z'
y' θy
y' y
y' θy
x x’
x’ y’ x y z
x θ x’
z’
x’ y’
x
y
z
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x θ x’
z’
x’ y’ z’
x
y
z
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第三章 机器人坐标系统
(2) 两个坐标系的投影之间的关系
设B系与H系的z轴相重合，B系绕z轴转动角 z 就得H系，
如下图所示。
如果注意到 在x,y轴的投影相当于P 在 xH, yH 轴的投影，再对比
１6页和１9页的两个图所示的相同几何关系，便可得到与式（Ｒ）相
同结果，只是此时的u，v，w与x，y，z同前面讨论的情况的几何含义
不同。这时矩阵R用来表示具有转动关系的两个矢量在同一坐标系中
的投影之间的关系，这表征了R矩阵的最后一种几何意义。
若a和b用分量的形式表示为: 则
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a和b的点乘为：
第三章 机器人坐标系统
将点乘和叉乘应用于右手笛卡尔坐标系的单位矢量i，j，k，有：
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10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 机器人坐标系统
令矩阵
nx ny nz
RT ox
oy
o
z
ax a y az
当用列向量表示单位矢量时，有
R称为正交坐标变换矩阵。
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第三章 机器人坐标系统
3.2 正交坐标系
3.2.1 正交坐标系及矢量的基础知识
右图是所谓的正交坐 标 系 B(x,y,z) ， 用 来 表 示 机器人的基坐标，
其中 i , j , k 分别是三个
坐标轴的单位向量。
k z
n
a P
zH
H
xH
yH
o
B系中有另外一个坐标 系H（xH，yH，zH），用来 表示手坐标,
0 sinx
当绕Y轴旋转时：
0
-sinx cosx
c
Rn,o,a
osy
0
-siny
0 1
siny
0
0 cosy
上面的分析说明了R矩阵可以用来表示绕坐标轴的转动， 这表征了R矩阵的另一种几何意义。
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第三章 机器人坐标系统
因此写出三个基本的旋转矩阵，即分别绕x、y和z轴转θ角的旋转 矩阵：
第三章 机器人坐标系统
a
zH
P rH
w
o
H
yH
u
A v P
r xH
r0
n
y
表示转动和移动的坐标变换
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第三章 机器人坐标系统
对于任意一点P在B和H系中的描述有以下的关系
rp r0 RrH
(rp )
其中， rp [x y z]T 是 p 点相对于B系的位置矢量。
可把上式看成坐标旋转和坐标平移的复合变换。实际上，规定一个过 渡坐标系C，使C的坐标原点与H系重合，而C的姿态和B系保持一致。根据式 （Ｒ）可得由H系到过渡坐标系C的坐标变换为
XH
P
一般姿态的描述可以用横滚 （Roll）、俯仰（Pitch）和侧摆 （Yaw）三轴的转角来实现。
yaw
ZH roll
如果H为手坐标系，用以描述 手的姿态，那再加上手的位置就 构成了手的位姿。
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H
pitch YH
绕坐标系H各轴转动
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飞机飞行姿态变化
第三章 机器人坐标系统
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3.2.3 姿态的描述
物体的姿态可由某个固接在物体上的坐标系来描述。设在 空间中除了有参考坐标系B外，还有物体质心上的一个笛卡尔正 交坐标系H，且H系与此物体的空间位置关系是固定不变的，那 么就可以以H系三个坐标轴的单位矢量相对于B系的方向来表示H 系和B系的姿态。
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第三章 机器人坐标系统
第三章 机器人坐标系统
3.2.1.2 正交坐标变换矩阵R的性质
显然 于是可得
RT onxx
ny oy
nz oz
nT oT
ax ay az aT
nT
RTR oT n
aT
o
nTn
aoTn
aTn
nTo oTo aTo
nTa 1 oTa 0 aTa 0
0 1 0
0 0 I 1
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第三章 机器人坐标系统
Q
P xH, yH
至此，归纳了R矩阵的四种几何意义：
1、实现了由手坐标系H到基坐标系B的正交坐标变换。
2、用来表示绕坐标轴的转动。
3、将矢径在手坐标系上的投影变换到该矢径在基坐标系上 的投影。
4、表示具有转动关系的两个矢量在同一坐标系中的投影之 间的关系。
这对于认识R矩阵的本质，研究机器人的坐标系统很有 帮助。
y
yH
P
z
O
(B, H)
v
z
y
P xH
z
u
AC x
x
矢径BP’在H系与B系的投影关系
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第三章 机器人坐标系统
已知矢径 OP ' 在H系三轴投影分别为u,v,w。则由上图可知
x O O A - A C u C co z- v s sizn yH
y
P
yusin zvco zs
图3-2标量积
换句话说：一个矢量在另一个矢量上的投影等于该矢量与另一矢量 方向上单位矢量的点积。
再令a=j （j 为a方向上的单位矢量），则
即两矢量方向上单位矢量的点编乘辑版等ppp于t 两矢量夹角的余弦。
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矢量的叉积（矢量积或叉乘积）
第三章 机器人坐标系统
其中矢量c的模为:
图3-3叉乘积
其中θ是a和b间小于等于1800的夹角，若将a按右手法则绕c 转θ角至b，右手拇指指向为c的正方向（如图3-3），c与a、b两 者垂直。
v
zw
z
y z
xH
于是有
x cosz -sinz ysinz cosz
O
0u u (B,H)
z u
AC x
x
0vRv 矢径BP’在H系与B系的投影关系
z 0
0 1w w （Ｒ）
由上式可见，R矩阵可以将矢径在手坐标系上的投影 变换到该矢径在基坐标系上的投影，这表征了R矩阵的又 一种几何意义。
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l
l
l
B
yj
矢量的方向矢径表示
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第三章 机器人坐标系统
当：
l1n,l2o,l3a
根据前面的推导可得：
Rn o a
cosn cosn
cosn
coso coso coso
cosa cosa cosa
因此正交坐标变换矩阵R为一方向余弦矩阵，也被称为旋 转矩阵（具体含义将在后面小节中阐述）。
其中 n , o , a 分别是H系 i
三个坐标轴的单位向量。
B x
y
j
端点P相对于机器人手坐标系H 及基座坐标系B的定位
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第三章 机器人坐标系统
3.2.1.1 正交坐标系的性质
根据矢量点积和叉积的性质，对于相互正交的单位矢 量 n ，o ，a 有
nnooaa1 nooaan0
no a
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第三章 机器人坐标系统
假设 l 为H坐标系中某轴的单位向量，即它在B坐标系的方 向可以以 l 与B系三轴夹角的余弦值为分量加以表达，见下图.
故有
k
lco lisco ljsco lks
z
l
由：
nx
o x
ax
n
n
y
o
o
y
a
a
y
n z
o z
a z
x
且：
i
Rn o a
3.1 位置与姿态 3.2 正交坐标系 3.3 运动坐标表示 3.4 齐次坐标变换 3.5 机器人坐标系统
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第三章 机器人坐标系统
3.1 位置与姿态
要全面地确定一个物体在三维空间中的状态需要有三个位置自由度 和三个姿态自由度。前者用来确定物体在空间中的具体方位，后者则是 确定物体的指向。我们将物体的六个自由度的状态称为物体的位姿。
ano oan
对于单位矢量 i , j , k 也有同样的性质。 单位矢量 n , o, a在基坐标系中可表示为:
n o
onxx
ny oy
nz oz
i j
a ax ay az k
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矢量的点积（内乘积或标量积）
第三章 机器人坐标系统
其中θ是a和b两矢量间的夹角，如图3-2所示。 令b=i （i为b方向上的单位矢量），则
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第三章 机器人坐标系统
b) 姿态（方位）的描述 采用旋转矩阵来表示刚体姿态（方位） ，即由{B}系的三个
单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：
xB
yB
zB
xA
yA
zA
其中：co scoxBs ,xA ()
既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中
的姿态。
yH
y P
z
O
z
(B, H )
Q v y
xH
x ux
具有转动关系的两个矢量投影之间的关系
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第三章 机器人坐标系统
yH
z
O
z
(B, H )
P
yH
y
P
Q v y
xH
x ux
z
O
(B,H)
v
y z
xH
z u
AC x
x
矢径BP’在H系与B系的投影关系
具有转动关系的两个矢量投影之间的关系
《机器人原理与应用》
第三章 机器人坐标系统
东北大学人工智能与机器人研究所 2016.9
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第三章 机器人坐标系统
❖ 机器人是个复杂的运动系统，它的每一个 动作都是各个元部件共同作用的结果。
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第三章 机器人坐标系统
为了系统地、精确地描述各个元部件的作用以及它们 之间的关系，需要引入一套机器人坐标系统。
nx
n
n
y
n z
o x
o
o
y
o z
ax
a
a
y
a z
当用矩阵表示两个矢量的点乘时，有
ox
nonxoxnyoynzoznx ny nz oy nTo0
于是，变换矩阵R可以表示为：
oz
nx ox ax
Rn o any oy ay
nz oz az
2008-7
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yB
zB
zB
xB
yE
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zE xE yB
(2)
zB
(1,2,2)
zE xE
yB
xB
yE
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第三章 机器人坐标系统
(3) 具有转动关系的两个矢量的投影之间的关系
设矢量 OQ 在坐标系Bxy的投影为u，v，w；将矢量 OQ 绕z轴转动 z 角，得到矢量 O P ，设矢量O P 在同一坐标系的 投影为x, y, z，如下图所示。
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3.3.3 复合运动的坐标表示
基坐标系B和手坐 标系H 的原点不重合， 而且两坐标系的姿态也 不相同的情况。
设H相对于B的位置
z
矢量为 r0a b cT，由
H到B的坐标变换矩阵是
Rnoa。
B
在H中有一点P ，点
P 相对于H 的位置矢量 x
为 rHu v w T，如右
图所示。
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第三章 机器人坐标系统
3.3 运动坐标表示
zH
3.3.1 平动的坐标表示
设手坐标系H与基坐标系B具
有相同的姿态，但H系坐标原
点与B系的原点不重合。用矢
量 r 0 来描述H系相对于B系的位
置（如右图所示），称 r 0 为H 系相对于B系的平移矢量。如
xH
P
z H rH r p
yH
r0
由上式可得
RT R -1
从而可得结论：正交变换矩阵为正交矩阵。
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第三章 机器人坐标系统
3.2.1.3 正交坐标变换矩阵的几何意义
其中 考虑到
n
i
o
R
T
j
a
k
i n
RT R-1 , 上式可写成
j
R
o
k
a
上式表明正交坐标变换矩阵R实现了由手坐标系H到基 坐标系B的正交坐标变换，它可以将一组3个相互正交的单 位矢量变换为另一组3个相互正交的单位矢量，每一组单位 矢量均代表了一个正交坐标系。这也说明了将矩阵R称为正