四川省资阳市2019-2020学年中考数学最后模拟卷含解析

四川省资阳市2019-2020学年中考数学最后模拟卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设0＜k＜2，关于x的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y的最小值是（）
A．2k-2 B．k-1 C．k D．k+1
2．如图，将△ABC沿着DE剪成一个小三角形ADE和一个四边形D'E'CB，若DE∥BC，四边形D'E'CB 各边的长度如图所示，则剪出的小三角形ADE应是（）
A．B．C．D．
3．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（）
A．50m B．25m C．（50﹣503
3
）m D．（50﹣253）m
4．为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：
甲 2 6 7 7 8
乙 2 3 4 8 8
关于以上数据，说法正确的是（）
A．甲、乙的众数相同B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数D．甲的方差小于乙的方差
5．如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（）
A．B．C．D．
6．如图，O e 是ABC V 的外接圆，已知ABO 50o ∠=，则ACB ∠的大小为( )
A ．40o
B ．30o
C ．45o
D ．50o
7．方程2x 2﹣x ﹣3=0的两个根为（ ） A ．x 1=
3
2
，x 2=﹣1 B ．x 1=﹣
3
2
，x 2=1 C ．x 1=
1
2
，x 2=﹣3 D ．x 1=﹣
1
2
，x 2=3 8．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A ．a+b ＞0
B ．ab ＞0
C ．a ﹣b ＜o
D ．a÷b ＞0
9．如图，矩形ABCD 中，AD=2，AB=3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是（ ）
A ．5
B ．
13
6
C ．1
D ．
56
10．若△ABC 与△DEF 相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（ ） A ．2：3
B ．3：2
C ．4：9
D ．9：4
11．如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70°，∠C ＝40°，则∠E 等于()
A ．30°
B ．40°
C ．60°
D ．70°
12．若二元一次方程组3,354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,
,x a y b =⎧⎨=⎩
则-a b 的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．1
4
-
D ．
74
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．直线AB ，BC ，CA 的位置关系如图所示，则下列语句：①点A 在直线BC 上；②直线AB 经过点C ；③直线AB ，BC ，CA 两两相交；④点B 是直线AB ，BC ，CA 的公共点，正确的有_____（只填写序号）．
14．如果将抛物线22y x =平移，使平移后的抛物线顶点坐标为(1,2)，那么所得新抛物线的表达式是__________．
15．地球上的海洋面积约为361000000km 1，则科学记数法可表示为_______km 1．
16．阅读理解：引入新数i ，新数i 满足分配律、结合律、交换律，已知i 2=﹣1，那么（1+i ）•（1﹣i ）的平方根是_____． 17．如图，反比例函数y ＝
k
x
（x ＜0）的图象经过点A （﹣2，2），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t 的值是（ ）
A ．1+5
B ．4+2
C ．42-
D ．-1+5
18．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1=x 2
（x≥0）与y 2=2
3
x （x≥0）于B 、C 两点，过点C 作
y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则
DE
AB
=______．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）观察下列算式： ① 1 × 3 - 22 =" 3" - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 =" 8" - 9 = -1 ③3 × 5 - 42 =" 15" - 16 = -1 ④ ……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
20．（6分）某班为确定参加学校投篮比赛的任选，在A、B两位投篮高手间进行了6次投篮比赛，每人每次投10个球，将他们每次投中的个数绘制成如图所示的折线统计图．
（1）根据图中所给信息填写下表：
投中个数
平均数中位数众数统计
A 8
B 7 7
（2）如果这个班只能在A、B之间选派一名学生参赛，从投篮稳定性考虑应该选派谁？请你利用学过的统计量对问题进行分析说明．
21．（6分）在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．
（I）如图①，若∠F=50°，求∠BGF的大小；
（II）如图②，连接BD，AC，若∠F=36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．
22．（8分）如图，点A、B在⊙O上，点O是⊙O的圆心，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠A的余角.
（1）图①中，点C在⊙O上；
（2）图②中，点C在⊙O内；
23．（8分）解分式方程：
28
124
x x x -=-- 24．（10分）已知：二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)． (1)求此抛物线的表达式；
(2)如果点A 关于该抛物线对称轴的对称点是B 点，且抛物线与y 轴的交点是C 点，求△ABC 的面积． 25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知两点A （0，3），B （1，0），现将线段AB 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BC ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点C ． （1）如图1，若抛物线经过点A 和D （﹣2，0）． ①求点C 的坐标及该抛物线解析式；
②在抛物线上是否存在点P ，使得∠POB=∠BAO ，若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）经过点E （2，1），点Q 在抛物线上，且满足∠QOB=∠BAO ，若符合条件的Q 点恰好有2个，请直接写出a 的取值范围．
26．（12分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A 、B 两地间的公路进行改建，如图，A ，B 两地之间有一座山．汽车原来从A 地到B 地需途经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶，已知BC ＝80千米，∠A ＝45°，∠B ＝30°．开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走多少千米？开通隧道后，汽车从A 地到B 地可以少走多少千米？(结果保留根号)
27．（12分）正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．
（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是______；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
【分析】
先根据0＜k＜1判断出k-1的符号，进而判断出函数的增减性，根据1≤x≤1即可得出结论．
【详解】
∵0＜k＜1，
∴k-1＜0，
∴此函数是减函数，
∵1≤x≤1，
∴当x=1时，y最小=1（k-1）+1=1k-1．
故选A．
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．
2．C 【解析】 【分析】
利用相似三角形的性质即可判断． 【详解】
设AD ＝x ，AE ＝y ， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴
AD AE DE
AB AC BC
==， ∴
6
121614
x y x y ==++， ∴x ＝9，y ＝12， 故选：C ． 【点睛】
考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．C 【解析】 【分析】
如图，过点A 作AM ⊥DC 于点M ，过点B 作BN ⊥DC 于点N ．则AM=BN ．通过解直角△ACM 和△BCN 分别求得CM 、CN 的长度，则易得AB =MN=CM ﹣CN ，即可得到结论． 【详解】
如图，过点A 作AM ⊥DC 于点M ，过点B 作BN ⊥DC 于点N ． 则AB=MN ，AM=BN ．
在直角△ACM 中，∵∠ACM=45°，AM=50m ，∴CM=AM=50m ．
在直角△BCN 中，∵∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m ，∴CN=
tan60BN ==
︒m ），
∴MN=CM ﹣CN=50（m ）．
则AB=MN=（50）m ． 故选C ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 4．D 【解析】 【分析】
分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得. 【详解】
甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7， 排序后最中间的数是7，所以中位数是7，
26778
=
=65x ++++甲，
()()()()()222222
1S =26666767865⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦甲=4.4，
乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8， 排序后最中间的数是4，所以中位数是4，
23488
=
=55x 乙++++，
()()()()()222222
1S =25354585855乙⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦=6.4，
所以只有D 选项正确， 故选D. 【点睛】
本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键. 5．D 【解析】
试题分析：该几何体的左视图是边长分别为圆的半径和直径的矩形，俯视图是边长分别为圆的直径和半径的矩形，故答案选D ． 考点：D. 6．A 【解析】
解：△AOB中，OA=OB，∠ABO=30°；∴∠AOB=180°-2∠ABO=120°；
∴∠ACB=∠AOB=60°；故选A．7．A
【解析】
【分析】
利用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：（2x-3）（x+1）=0，
2x-3=0或x+1=0，
所以x1=3
2
，x2=-1．
故选A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．8．C
【解析】
【分析】
利用数轴先判断出a、b的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可．
【详解】
解：由a、b在数轴上的位置可知：a＜1，b＞1，且|a|＞|b|，
∴a+b＜1，ab＜1，a﹣b＜1，a÷b＜1．
故选：C．
9．D
【解析】
【分析】
过F作FH⊥AE于H,根据矩形的性质得到AB=CD,AB//CD,推出四边形AECF是平行四边形,根据平行四
边形的性质得到AF=CE,根据相似三角形的性质得到AE AD
AF FH
,于是得到AE=AF,列方程即可得到结论.
【详解】
解：如图：
解:过F作FH⊥AE于H,Q四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,
Q AE//CF, ∴四边形AECF是平行四边形,
∴AF=CE,∴DE=BF,
∴AF=3-DE,
∴2
4DE
+
Q∠FHA=∠D=∠DAF=90o,
∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90, ∴∠DAE=∠AFH, ∴△ADE~△AFH,
∴AE AD AF FH
=
∴AE=AF,
∴2
43
DE DE
+=-,
∴DE=5 6 ,
故选D.
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质及三角形相似，做合适的辅助线是解本题的关键. 10．C
【解析】
【分析】
由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质，即可求得答案．【详解】
∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，
∴这两个三角形的面积比为4：1．
故选C．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．11．A
【解析】
【详解】
∵AB ∥CD ，∠A=70°，
∴∠1=∠A=70°，
∵∠1=∠C+∠E ，∠C=40°，
∴∠E=∠1﹣∠C=70°﹣40°=30°．
故选A ．
12．D
【解析】
【分析】 先解方程组求出74x y -=
，再将,,
x a y b =⎧⎨=⎩代入式中，可得解. 【详解】 解：3,354,x y x y +=⎧⎨-=⎩
①② +①②，
得447x y -=， 所以74
x y -=， 因为,,
x a y b =⎧⎨=⎩ 所以74x y a b -=-=
. 故选D.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b 的值，本题属于基础题型．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．③
【解析】
【分析】
根据直线与点的位置关系即可求解．
【详解】
①点A 在直线BC 上是错误的；
②直线AB 经过点C 是错误的；
③直线AB ，BC ，CA 两两相交是正确的；
④点B 是直线AB ，BC ，CA 的公共点是错误的．
故答案为③．
【点睛】
本题考查了直线、射线、线段，关键是熟练掌握直线、射线、线段的定义．
14．22(1)2y x =-+.
【解析】
【分析】
平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．
【详解】
∵原抛物线解析式为y=1x 1，顶点坐标是（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（1，1），∴平移后的抛物线的表达式为：y=1（x ﹣1）1+1．
故答案为：y=1（x ﹣1）1+1．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．
15．3.61×2
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】
将361 000 000用科学记数法表示为3.61×
2． 故答案为3.61×
2． 16．2
【解析】
【分析】
根据平方根的定义进行计算即可．
【详解】
．解：∵i 2=﹣1，
∴（1+i ）•（1﹣i ）=1﹣i 2=2，
∴（1+i ）•（1﹣i ）的平方根是
故答案为±2．
【点睛】
本题考查平方根以及实数的运算，解题关键掌握平方根的定义．17．A
【解析】
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-4
x
，
且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐
标可表示为（-4
t
，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-
4
t
|=
4
t
，然后解方程可得到满足条件的t的值．
【详解】
如图，
∵点A坐标为（-2，2），∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=-4
x
，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（-4
t
，t），
∵PB=PB′，
∴t-2=|-4t |=4t ， 整理得t 2-2t-4=0，解得t1=15+ ，t2=1-5 （不符合题意，舍去），
∴t 的值为15+．
故选A ．
【点睛】
本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．
18．3﹣3
【解析】
【分析】
首先设点B 的横坐标，由点B 在抛物线y 1=x 2（x≥0）上，得出点B 的坐标，再由平行，得出A 和C 的坐标，然后由CD 平行于y 轴，得出D 的坐标，再由DE ∥AC ，得出E 的坐标，即可得出DE 和AB ，进而得解.
【详解】
设点B 的横坐标为a ，则()2,B a a
∵平行于x 轴的直线AC
∴()()
220,,3,A a C a a 又∵CD 平行于y 轴
∴(
)23,3D a a 又∵DE ∥AC ∴()23,3E a a
∴()33,DE a AB a =-=
∴DE AB
=3﹣3 【点睛】
此题主要考查抛物线中的坐标求解，关键是利用平行的性质.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．⑴
； ⑵答案不唯一.如
； ⑶
.
【解析】
（1）根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；
（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论；
（3）一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明．
20．（1）7，9，7；（2）应该选派B ；
【解析】
【分析】
（1）分别利用平均数、中位数、众数分析得出答案；
（2）利用方差的意义分析得出答案．
【详解】
（1）A 成绩的平均数为16
（9+10+4+3+9+7）=7；众数为9； B 成绩排序后为6，7，7，7，7，8，故中位数为7；
故答案为：7，9，7；
（2）2
A S =16
[（7﹣9）2+（7﹣10）2+（7﹣4）2+（7﹣3）2+（7﹣9）2+（7﹣7）2]=7； 2B S =16 [（7﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣8）2+（7﹣7）2+（7﹣6）2+（7﹣7）2]= 13； 从方差看，B 的方差小，所以B 的成绩更稳定，从投篮稳定性考虑应该选派B ．
【点睛】
此题主要考查了中位数、众数、方差的定义，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 21．（I ）65°；（II ）72°
【解析】
【分析】
（I ）如图①，连接OB ，先利用切线的性质得∠OBF=90°，而OA ⊥CD ，所以∠OED=90°，利用四边形内角和可计算出∠AOB=130°，然后根据等腰三角形性质和三角形内角和计算出∠1=∠A=25°，从而得到∠2=65°，最后利用三角形内角和定理计算∠BGF 的度数；
（II ）如图②，连接OB ，BO 的延长线交AC 于H ，利用切线的性质得OB ⊥BF ，再利用AC ∥BF 得到BH ⊥AC ，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=144°，从而得到∠OBA=∠OAB=18°，接着计算出∠OAH=54°，然后根据圆周角定理得到∠BDG 的度数．
【详解】
解:（I ）如图①，连接OB ，
∵BF为⊙O的切线，
∴OB⊥BF，
∴∠OBF=90°，
∵OA⊥CD，
∴∠OED=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣50°=130°，∵OA=OB，
∴∠1=∠A=1
2
（180°﹣130°）=25°，
∴∠2=90°﹣∠1=65°，
∴∠BGF=180°﹣∠2﹣∠F=180°﹣65°﹣50°=65°；
（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，
∵BF为⊙O的切线，
∴OB⊥BF，
∵AC∥BF，
∴BH⊥AC，
与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣36°=144°，∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=1
2
（180°﹣144°）=18°，
∵∠AOB=∠OHA+∠OAH，
∴∠OAH=144°﹣90°=54°，
∴∠BAC=∠OAH+∠OAB=54°+18°=72°，
∴∠BDG=∠BAC=72°．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
22．图形见解析
【解析】试题分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为直角画图即可；（2）延长AC
交⊙O于点E ，利用（1）的方法画图即可.
试题解析：
如图①∠DBC就是所求的角；
如图②∠FBE就是所求的角
23．无解
【解析】
【分析】
首先进行去分母，将分式方程转化为整式方程，然后按照整式方程的求解方法进行求解，最后对所求的解进行检验，看是否能使分母为零．
【详解】
解：两边同乘以（x+2）（x－2）得：
x（x+2）－（x+2）（x－2）=8
去括号，得：2x+2x－2x+4=8
移项、合并同类项得：2x=4
解得：x=2
经检验，x=2是方程的增根
∴方程无解
【点睛】
本题考查解分式方程，注意分式方程结果要检验．
24．（1）y＝－1
2
(x－3)2＋5（2）5
【解析】
【分析】
（1）设顶点式y=a（x-3）2+5，然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）利用抛物线的对称性得到B（5，3），再确定出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【详解】
(1)设此抛物线的表达式为y ＝a(x －3)2＋5，
将点A(1，3)的坐标代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得12a =-， ∴此抛物线的表达式为21(3) 5.2
y x =--+ (2)∵A(1，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝3，
∴B(5，3)．
令x ＝0，211(3)522y x =--+=，则1(0)2
C ，， ∴△ABC 的面积11(51)3 5.22⎛⎫=
⨯-⨯-= ⎪⎝⎭ 【点睛】
考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键.
25．（1）①y=﹣
13x 2+56x+3；②P （3317+ ，117+）或P'（7193+ ，﹣7193+）；（2）18- ≤a<1；
【解析】
【分析】
（1）①先判断出△AOB ≌△GBC ，得出点C 坐标，进而用待定系数法即可得出结论；②分两种情况，利用平行线（对称）和直线和抛物线的交点坐标的求法，即可得出结论；（2）同（1）②的方法，借助图象即可得出结论．
【详解】
（1）①如图2，∵A （1，3），B （1，1），
∴OA=3，OB=1，
由旋转知，∠ABC=91°，AB=CB ，
∴∠ABO+∠CBE=91°，
过点C 作CG ⊥OB 于G ，
∴∠CBG+∠BCG=91°，
∴∠ABO=∠BCG ，
∴△AOB ≌△GBC ，
∴CG=OB=1，BG=OA=3，
∴OG=OB+BG=4
∴C （4，1），
抛物线经过点A （1，3），和D （﹣2，1），
∴1641
{4203
a b c a b c c ++=-+==， ∴135{6
3
a b c =-
==，
∴抛物线解析式为y=﹣13
x 2+56x+3； ②由①知，△AOB ≌△EBC ，
∴∠BAO=∠CBF ，
∵∠POB=∠BAO ，
∴∠POB=∠CBF ，
如图1，OP ∥BC ，
∵B （1，1），C （4，1），
∴直线BC 的解析式为y=
13x ﹣13
， ∴直线OP 的解析式为y=13
x ， ∵抛物线解析式为y=﹣13x 2+56x+3；
联立解得，{14x y =
+=
或{14x y ==（舍） ∴P
（34+
，14
+）； 在直线OP 上取一点M （3，1），
∴点M 的对称点M'（3，﹣1），
∴直线OP'的解析式为y=﹣
13
x ， ∵抛物线解析式为y=﹣13x 2+56x+3；
联立解得，{12x y =
=
或{712x y ==（舍）， ∴P'
（74+
，﹣712
+）；
（2）同（1）②的方法，如图3，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点C（4，1），E（2，1），∴
1641 {
421
a b c
a b c
++=
++=
，
∴
6
{
81
b a
c a
=-
=+
，
∴抛物线y=ax2﹣6ax+8a+1，令y=1，
∴ax2﹣6ax+8a+1=1，
∴x1×x2=81 a
a
+
∵符合条件的Q点恰好有2个，
∴方程ax2﹣6ax+8a+1=1有一个正根和一个负根或一个正根和1，
∴x1×x2=81
a
a
+
≤1，
∵a＜1，∴8a+1≥1，
∴a≥﹣1
8
，
即：﹣1
8
≤a＜1．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，对称的性质，解题的关键是求出直线和抛物线的交点坐标.
26．(1)开通隧道前，汽车从A地到B地要走2)千米；(2)汽车从A地到B地比原来少走的路程为23)]千米．
【解析】
【分析】
（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．
【详解】
(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
∵AB⊥CD，sin30°＝CD
BC
，BC＝80千米，
∴CD＝BC•sin30°＝80×1
2
＝40(千米)，
AC＝
CD
402
sin45︒
=(千米)，
AC+BC＝80+
1
-
8
(千米)，
答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走(80+
1
-
8
)千米；
(2)∵cos30°＝BD
BC
，BC＝80(千米)，
∴BD＝BC•cos30°＝80×3
3千米)，
∵tan45°＝CD
AD
，CD＝40(千米)，
∴AD＝
CD
40
tan45︒
=(千米)，
∴AB＝AD+BD＝40+403(千米)，
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝80+
1
-
8
﹣40﹣403＝40+40(23)
-(千
米)．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为[40+40(23)
-]千米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
27．（1）CH=AB．；（2）成立，证明见解析；（3）32+3
【解析】
【分析】
（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．
（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．
（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK＜AC+AK，据此判断出当C、A、K三点共线时，CK的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出DK=DH，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出AK=CH=AB；最后根据CK=AC+AK=AC+AB，求出线段CK长的最大值是多少即可．
【详解】
解：（1）如图1，连接BE，
，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵点E 是DC 的中点，DE=EC ，
∴点F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∴EC=AF ，
在△ABF 和△CBE 中，
AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABF ≌△CBE ，
∴∠1=∠2，
∵EH ⊥BF ，∠BCE=90°，
∴C 、H 两点都在以BE 为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC ，
∴CH=BC ，
又∵AB=BC ，
∴CH=AB ．
（2）当点E 在DC 边上且不是DC 的中点时，（1）中的结论CH=AB 仍然成立． 如图2，连接BE ，
，
在正方形ABCD 中，
AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵AD=CD ，DE=DF ，
∴AF=CE ，
在△ABF 和△CBE 中，
AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABF ≌△CBE ，
∴∠1=∠2，
∵EH ⊥BF ，∠BCE=90°，
∴C 、H 两点都在以BE 为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC ，
∴CH=BC ，
又∵AB=BC ，
∴CH=AB ．
（3）如图3，
，
∵CK≤AC+AK ，
∴当C 、A 、K 三点共线时，CK 的长最大，
∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°， ∴∠KDF=∠HDE ，
∵∠DEH+∠DFH=360°-∠ADC-∠EHF=360°-90°-90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°， ∴∠DFK=∠DEH ，
在△DFK 和△DEH 中，
KDF HDE DF DE
DFK DEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△DFK ≌△DEH ，
∴DK=DH ，
在△DAK 和△DCH 中， DA DC KDA HDC DK DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DAK ≌△DCH ， ∴AK=CH
又∵CH=AB ， ∴AK=CH=AB ， ∵AB=3，
∴AK=3，
， ∴
CK=AC+AK=AC+AB=3， 即线段CK
长的最大值是3． 考点：四边形综合题．。