中考数学压轴题十大类型经典题目

中考数学压轴题十大类型
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题
1. 〔2021吉林〕如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ，AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开场，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停顿；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停顿，设运动时间为x s ，△PAQ 面积为y cm 2，〔这里规定：线段是面积为0三角形〕解答以下问题：
〔1〕 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =92
s 时，y =_______ cm 2． 〔2〕当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间函数关系式．
〔3〕当动点P 在线段BC 上运动时，求出154 y S 梯形ABCD 时x 值． 〔4〕直接写出在整个．．
运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 对角线平行所有x 值．
2. 〔2007河北〕如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =50，AD =75，BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK ⊥BC ，交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开场运动，当点P 与点C 重合时停顿运动，点Q 也随之停顿．设点P 、Q 运动时间是t 秒〔t ＞0〕．
D C B
A 〔1〕当点P 到达终点C 时，求t 值，并指出此时BQ 长； 〔2〕当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ ∥DC ？
〔3〕设射线QK 扫过梯形ABCD 面积为S ，分别求出点E 运动到CD 、DA 上时，S 与t 关系式；
〔△PQE 能否成为直角三角形？假设能，写出t 取值范围；假设不能，请说明理由．
备用图
3. 〔2021河北〕如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，B C 中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC -CA 于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停顿运动，点Q 也随之停顿．设点P Q ，运动时间是t 秒〔0t >〕． 〔1〕D F ，两点间距离是 ；
〔2〕射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等两局部？假设能，求出t 值．假设不能，说明理由；
〔3〕当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 值；
〔4〕连结PG，当PG AB
∥时，请直接
．．
写出t值．
4.〔2021山西太原〕如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平
行四边形．直线l经过O、C两点．点A坐标为(8，0)，点B坐标为(11，
4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位速度向点A运
动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位速度沿A→B→C方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O-C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停顿运动，设点P、Q 运动时间为t秒(0
t )，△MPQ面积为S．
〔1〕点C坐标为________，直线l解析式为__________．
〔2〕试求点Q与点M相遇前S与t函数关系式，并写出相应t取值范围．
〔3〕试求题(2)中当t为何值时，S值最大，并求出S最大值．
〔4〕随着P、Q两点运动，当点M在线段CB上运动时，设PM延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三
角形？请直接写出t值．5.〔2021
BC＝23，点
O是AB中点，点P在AB E从O点出发，以每秒1个单位长度速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度
速度沿射线PA 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停顿运动．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 与矩形ABCD 在射线PA 同侧，设运动时间为t 秒〔t ≥0〕．
〔1〕当等边△EFG 边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 值； 〔2〕在整个运动过程中，设等边△EFG 与矩形ABCD 重叠局部面积为S ，请直接写出S 与t 之间函数关系式与相应自变量t 取值范围； 〔3〕设EG 与矩形ABCD 对角线AC 交点为H ，是否存在这样t ，使△AOH 是等腰三角形？假设存在，求出对应t 值；假设不存在，请说明理由．
备用图1
备用图2
三、测试提高
1． 〔2021山东烟台〕如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 底边AB 在
x 轴上，底边CD 端点D 在y 轴上．直线CB 表达式为41633y x =-+，
点A 、D 坐标分别为〔－4，0〕，〔0，4〕．动点P 自A 点出发，在AB 上匀速运动．动点Q 自点B 出发，在折线BCD 上匀速运动，速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时，它们同时停顿运动．设点P 运动t 〔秒〕时，△OPQ 面积为S 〔不能构成△OPQ 动点除外〕．
〔1〕求出点B 、C 坐标；
〔2〕求S 随t 变化函数关系式；
〔3〕当t 为何值时S 有最大值？并求出最大值．
备用图
第二讲 中考压轴题十大类型之函数类问题
1. 〔2021浙江温州〕如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 坐标为〔-4，0〕，点B 坐标为〔0，b 〕(b ＞0)．P 是直线AB 上一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为 C ，记点P 关于y 轴对称点为P ′ (点P ′不在y 轴上)，连结P P ′，P ′A ，P ′C ，设点P 横坐标为a ．
（1） 当b =3时，
①
直线AB 解析式； ② 假设点P ′坐标是〔-1，m 〕，求m 值；
〔2〕假设点P 在第一象限，记直线AB 与P ′C 交点为D ．当P ′D :DC =1:3时，求a 值；
〔3〕是否同时存在a ，b ，使△P ′CA 为等腰直角三角形？假设存在，请求出所有满
足要求a ，b 值；假设不存在，
请说明理由． 2. 〔2021武汉〕
如图，抛物线
y P'D B P
212y ax ax b =-+经过A 〔－1，0〕，C 〔2，32
〕两点，与x 轴交于另一点B ．
〔1〕求此抛物线解析式；
〔2〕假设抛物线顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点 (不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ =45°，设线段OP =x ，
MQ =22
y ，求y 2与x 函数关系式，并直接写出自变量x 取值范围； 〔3〕在同一平面直角坐标系中，两条直线x =m ，x =n 分别与抛物线交于点E ，G ，与(2)中函数图象交于点F ，H ．问四边形EFHG 能否为平行四边形 假设能，求m ，n 之间数量关系；假设不能，请说明理由．
备用图
3. (2021江苏镇江)在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过点A (1，0)且与
y 轴平行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于点P ．点
E 为直线2l 上一点，反比例函数k y x
=(k >0)图象过点E 且与直线1l 相交于点F ．
〔1〕假设点E 与点P 重合，求k 值；
〔2〕连接OE 、OF 、EF ．假设k >2，且△OEF 面积为△PEF 面积2倍，求点E 坐标；
〔3〕是否存在点E 及y 轴上点M ，使得以点M 、E 、F 为顶点三角
形与△PEF 全等？假设存在，求E 点坐标；假设不存在，请说明理由． 4. 〔2021浙江舟山)△ABC 中，∠A =∠B =30°，AB
=ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 中点位于坐标原点O 〔如图〕，△ABC 可以绕点O 作任意角度旋转．
〔1〕当点B
时，求点B 横坐标；
〔2〕如果抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)对称轴经过点C ，请你探究：
①当a =12b =-
，c =A ，B 两点是否都在这条抛物线上？
并说明理由；
②设b =-2am ，是否存在这样m 值，使A ，B 两点不可能同时在这
5. 〔1〔2〕假设点N 为线段垂足为点Q ．当点N 在线段BM )，设OQ 长为t ，四边形NQAC 面积为S ，求S 与t 之间函数关系式及自变量t 取值范围；
〔3〕在对称轴右侧抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形？假设存在，求出所有符合条件点P 坐标；假设不存在，请说明理由； 〔4〕将△OAC 补成矩形，使得△OAC 两个顶点成为矩形一边两个顶
点，第三个顶点落在矩形这一边对边上，试直接写出矩形未知顶点坐标(不需要计算过程)．
三、测试提高
1． 〔2021山东东营〕如下图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 坐标分别为(30-，)，(0，1)，点D 是线段BC 上动点(与端点B 、C 不重合)，过点D 作直线12
y x b =+交折线OAB 于点E ． (1)记△ODE 面积为S ．求S 与b 函数关系式；
(2)当点E 在线段OA 上时，且tan ∠DEO =12
．假设矩形OABC 关于直线DE 对称图形为四边形1111O A B C ．试探究四边形1111O A B C 与矩形OABC 重叠局部面积是否发生变化，假设不变，求出该重叠局部面积；假设改变，请说明理由．
第三讲 中考压轴题十大类型之面积问题
1. 〔2021辽宁大连〕如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A 〔－1，0〕、B 〔3，0〕、C 〔0，3〕三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ．
〔1〕求该抛物线解析式；
〔2〕抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 面积相等，假设存在，求点Q 坐标；假设不存在，说明理由；
〔3〕在第一象限、对称轴右侧抛物线上是否存在一点R ，使△RPM
与△RMB 面积相等，假设存在，直接写出点R 坐标；假设不存在，说明理由．
2. 〔2021湖北十堰〕如图，己知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于点A 〔1，0〕与点 B ，与y 轴交于点C 〔0，-3〕．
〔1〕求抛物线解析式；
〔2〕如图〔1〕，己知点H 〔0，-1〕．问在抛物线上是否存在点G 〔点G 在y 轴左侧〕，使得S △GHC =S △GHA ？假设存在，求出点G 坐标，假设不存在，请说明理由：
〔3〕如图〔2〕，抛物线上点D 在x 轴上正投影为点E 〔﹣2，0〕，F 是OC 中点，连接DF ，P 为线段BD 上一点，假设∠EPF =∠BDF ，求线段PE 长．
3. 〔2021天津〕在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx =-+
c +与x 轴交于点A 、B 〔点A 在点B 左侧〕
，与y 轴正半轴交于点C ，顶点为E ．
〔Ⅰ〕假设2b =，3c =，求此时抛物线顶点E 坐标；
〔Ⅱ〕将〔Ⅰ〕中抛物线向下平移，假设平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 解析式；
〔Ⅲ〕将〔Ⅰ〕中抛物线作适当平移，假设平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE =2S △AOC ，且顶点E 恰好落在直线43y x =-+上，求此时
抛物线解析式．
4. (2021山东聊城)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 同时出发，沿矩形边按逆时针方向移动，点E 、G 速度均为2cm/s ，点F 速度为4cm/s ，当点F 追上点G (即点F 与点G 重合)时，三个点随之停顿移动．设移动开场后第t s 时，△EFG 面积为S cm 2．
(1)当t ＝1s 时，S 值是多少？
(2)写出S 与t 之间函数解析式，并指出自变量t 取值范围；
(3)假设点F 在矩形边BC 上移动，当t 为何值时，以点B 、E 、F 为顶点三角形与以C 、F 、G 为顶点
三角形相似？请说明理由．
5. (2021江苏淮安)如图，在
Rt△ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，
点P 在AB
上，AP =2，点E 、F 同时从点P 出发，分别沿
PA 、PB 以每秒1个单位长度速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停顿，点E 也随之停顿．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 同侧．设E 、F 运动时间为t 秒〔t ＞0〕，正方形EFGH 与△ABC 重叠局部面积为S ．
A E
B F
C G D
〔1〕当t =1时，正方形EFGH 边长是 ．当t =3时，正方形EFGH 边长是 ．
〔2〕当0＜t ≤2时，求S 与t 函数关系式；
〔3〕直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？
A 备用图
三、测试提高
1. 〔2021山东东营〕如图，在锐角三角形ABC 中，BC =12，△ABC 面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC 上两个动点〔D 不与A ，B 重合〕，且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 异侧作正方形DEFG ． 〔1〕当正方形DEFG 边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 边长； 〔2〕设DE = x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠局部面积为y ，试求y 关于x 函数关系式，写出x 取值范围，并求出y 最大值．
第四讲 中考压轴题十大类型之 三角形存在性问题 板块一、等腰三角形存在性 B A
D E
F
G C B 备用图A C B 备用图A C
1. 〔2021江苏盐城〕如图，一次函数7y x =-+与正比例函数34
y x =图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．
〔1〕求点A 与点B 坐标；
〔2〕过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长速度，沿O —C —A 路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以一样速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 与直线l 都停顿运动．在运动过程中，设动点P 运动时间为t 秒．是否存在以A 、P 、Q 为顶点三角形是等腰三角形？假设存在，求t 值；假设不存在，请说明理由．
〔备用图〕
2. 〔2021湖北黄冈〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
21410189
y x x =--与x 轴交点为点A ，与y 轴交点为点B ，过点B 作x 轴平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位速度沿CB 向点B 移动，点P 停顿运动时，点Q 也同时停顿运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动时间为t (单位：秒)
(1)求A ，B ，C 三点坐标与抛物线顶点坐标；
(2)当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；
(3)当902t <<时，△PQF 面积是否总为定值？假设是，求出此定值，假设不是，请说明理由；
(4)当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程． 板块二、直角三角形
3. 〔2021四川眉山〕如图，直线112y x =
+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线21
2y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C
两点，且B 点坐标为 (1，0)．
〔1〕求该抛物线解析式；
〔2〕动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 坐标． 4. 〔2021广东中山〕如下图，矩形ABCD 边长AB =6，BC =4，点F 在DC 上，DF =2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 方向运动〔点M 可运动到DA 延长线上〕，当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停顿运动．连接FM 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线上时，可得△FMN ，过△FMN 三边中点作△PWQ ．设动点M 、N 速度都是1个单位/秒，M 、N 运动时间为x 秒．试解答以下问题：
〔1〕说明△FMN ∽△QWP ；
〔2〕设04x ≤≤〔即M 从D 到A 运动时间段〕．试问x 为何值时，△PWQ 为直角三角形？当x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？ 〔3〕问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 值．
板块三、相似三角形存在性 5. 〔20212y ax bx =+
3+与x 轴两个交点分别为A 〔-3，0〕
、B 〔1，0〕，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ．
〔1〕直接填写：a = ，b = ，顶点C 坐标为 ；
〔2〕在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边直角三角形？假设存在，求出点D 坐标；假设不存在，说明理由；
〔3〕假设点P 为x 轴上方抛物线上一动点〔点P 与顶点C 不重合〕，PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 坐标．
〔备用图〕
三、测试提高
1. 〔2021广西钦州〕如图，抛物线234
y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点坐标为〔－1，0〕，过点C 直线334y x t =-与x 轴交于点
Q ，点P 是线段BC 上一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．假设PB ＝5t ，且01t <<．
〔1〕填空：点C 坐标是_____，b ＝_____，c ＝_____；
〔2〕求线段QH 长〔用含t 式子表示〕；
〔3〕依点P 变化，是否存在t 值，使以P 、H 、Q 为顶点三角形与△COQ 相似？假设存在，求出所有t 值；假设不存在，说明理由．
第五讲 中考压轴题十大类型之
四边形存在性问题
1. 〔2021黑龙江齐齐哈尔〕直线364
y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停顿．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．
〔1〕直接写出A 、B 两点坐标；
〔2〕设点Q 运动时间为t 秒，△OPQ 面积为S ，求出S 与t 之间函数关系式；
〔3〕当485S =时，求出点P 坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点平行四边形第四个顶点M 坐标．
2. 〔2021河南〕在平面直角坐标系中，抛物线经过A (40)，-，B (04)，-，C (20)，三点．
〔1〕求抛物线解析式；
〔2〕假设点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 横坐标为m ，△AMB 面积为S ．求S 关于m 函数关系式，并求出S 最大值． 〔3〕假设点P 是抛物线上动点，点Q 是直线x y -=上动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点四边形为平行四边形，直接写出相应点Q 坐标．
3. 〔2021黑龙江鸡西〕直线y =+x 轴、y 轴分别交于A 、B
两点，∠ABC =60°，BC 与x 轴交于点C ．
〔1〕试确定直线BC 解析式；
〔2〕假设动点P 从A 点出发沿AC 向点C 运动〔不与A 、C 重合〕，同时动点Q 从C 点出发沿CBA 向点A 运动〔不与C 、A 重合〕，动点P 运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 面积为S ，P 点运动时间为t 秒，求S 与t 函数关系式，并写出自变量取值范围；
〔3〕在〔2〕条件下，当△APQ 面积最大时，y 轴上有一点M ，平面内是否存在一点N ，使以A 、Q 、M 、N 为顶点四边形为菱形？假设存在，请直接写出N 点坐标；假设不存在，请说明理由．
4. 〔2007河南〕如图，对称轴为直线x ＝27
抛物线经过点A 〔6，0〕与B 〔0，4〕．
〔1〕求抛物线解析式及顶点坐标；
〔2〕设点E 〔x ，y 〕是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线平行四边形，求四边形OEAF 面积S 与x 之间函数关系式，并写出自变量x 取值范围；
〔3〕①当四边形OEAF 面积为24时，请判断OEAF 是否为菱形？
②是否存在点E ，使四边形OEAF 为正方形？假设存在，求出点E 坐标；假设不存在，请说明理由．
5. 〔2021黑龙江大兴安岭〕如图，在平面直角坐标系中，函数2y x =+12
图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过点A直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB中点．
〔1〕求直线AM解析式；
〔2〕试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB，请直接写出点P坐标；
〔3〕假设点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样点H，使以A、B、M、H为顶点四边形是等腰梯形？假设存在，请直接写出点H坐标；假设不存在，请说明理由．
1.〔2021辽宁抚顺〕
2
y ax x c〔a≠0〕与x B〔6，0〕，与y =++
轴交于点C．
〔1
〔2〕在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D 坐标，并求出直线AD解析式；
〔3〕在〔2〕中直线AD交抛物线对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点平行四边形？如果存在，请直接写出点Q坐标；如果不存在，请说明理由．
第六讲中考压轴题十大类型之
线段之间关系
1.〔2021天津〕在平面直角坐标系中，矩形OACB顶点O在坐标原点，
顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，3
OB=，D为边OB
OA=，4
中点．
〔Ⅰ〕假设E为边OA上一个动点，当△CDE周长最小时，求点E坐标；
CDEF周
2.〔AD，
∠A、B、D三点坐标分别是A〔 1 0
-，〕，D〔3，0〕．连接DM，
-，〕，B〔 1 2
并把线段DM沿DA方向平移到ON．假设抛物线2
=++经过点
y ax bx c
D、M、N．
〔1〕求抛物线解析式；
〔2〕抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，假设存在，求出点P坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕设抛物线与x轴另一个交点为E，点Q是抛物线对称轴上一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．
3.〔2021四川眉山〕如图，在直角坐标系中，点A(0，1)，B(4-，4)，
将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点抛物线经过点B．
(1) 求抛物线解析式与点C 坐标；
(2) 抛物线上有一动点P ，设点P 到x 轴距离为1d ，点P 到点A 距离
为2d ，试说明211d d =+；
(3) 在(2)条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 周长有最小值，并求出△PAC 周长最小值．
4. 〔2021福建福州〕，如图，二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点〔B 在A 点右侧〕，点H 、B 关于直线
:3
l y x =+ 〔1〕求A 、B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上；
〔2〕求二次函数解析式；
〔3〕过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 与直线l 上两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN +NM +MK 与最小值．
5. 〔2021湖南郴州〕 如图1，正比例函数与反比例函数图象都经过点M 〔－2，－1〕，且P 〔－1，－2〕为双曲线上一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ． 〔1〕写出正比例函数与反比例函数关系式；
〔2〕当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样点Q ，
使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点Q 坐标，如果不存在，请说明理由；
〔3〕如图2，当点Q 在第一象限中双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长最小值． 图1 图2
6. 〔2021江苏苏州〕如图，以A 为顶点抛物线与y 轴交于点B ．A 、B 两点坐标分别为〔3，0〕、〔0，4〕．
〔1〕求抛物线解析式；
〔2〕设()M m n ，是抛物线上一点〔m n 、为正整数〕，且它位于对称轴右侧．假设以M B O A 、、、为顶点四边形四条边长度是四个连续正整数，求点M 坐标；
〔3〕在〔2〕条件下，试问：对于抛物线对称轴上任意一点P ，
22228PA PB PM ++>是否总成立？请说明理由． 三、测试提高
1. 〔2021浙江舟山〕如图，点A (-4，8)与点B (2，n )在抛物线2=y ax 上． 〔1〕求a 值及点B 关于x 轴对称点P 坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 坐标；
〔2〕平移抛物线2=y ax ，记平移后点A 对应点为A ′，点B 对应点
为B ′，点C (-2，0)与点D (-4，0)是x 轴上两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形
A ′
B ′CD 周长最短？假设存在，求出此时抛物线函数解析式；假
设不存在，请说明理由．
第七讲 中考压轴题十
大类型之定值
问题
1. 〔2021天津〕抛物
线1
C ：
F (1，1)．
211
1
2
y x x =-+，点
点坐标；
〔Ⅰ〕求抛物线1C 顶〔Ⅱ〕①假设抛物线1C 与
y 轴交点
为A ，连接AF ，并延长交抛物线1
C 于点B ，求证：
112AF BF +=；
②抛物线1C 上任意一点P 〔P P x y ，〕〔01P x <<〕，连接PF ，并延长交抛物线1C 于点Q 〔Q Q x y ，〕，试判断11
2PF QF
+=是否成立？请说明理由；
〔Ⅲ〕将抛物线1C 作适当平移，得抛物线2C ：
221
()2
y x h =-，假设2x m <≤时，2y x ≤恒成立，求m 最大值．
2. 〔2021湖南株洲〕如图，△ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =，
点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为〔3，m 〕〔0m >〕，线段AB 与y 轴相交于点D ，以P 〔1，0〕为顶点抛物线过点B 、D ． 〔1〕求点A 坐标〔用m 表示〕； 〔2〕求抛物线解析式；
〔3〕设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．
3. 〔2021山东济南〕：抛
物线
2y ax bx c =++(a ≠0)，顶点
C (1，3-)，
与x 轴交于A 、B 两点，(10)A -，．
〔1〕求这条抛物线解析式；
〔2〕如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对
称轴交于点E ，
依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点〔P 与A 、B 两点不重合〕，过点P 作PM ⊥AE 于M ，PN ⊥DB 于N ，请判断PM PN BE
AD
+是
否为定值 假设是，请求出此定值；假设不是，请说明理由；
〔3〕在〔2〕条件下，假设点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥
EP ，FG 分别与边．AE 、BE 相交于点F 、G 〔F 与A 、E 不重合，G
与E 、B 不重合〕，请判断PA EF PB
EG
=是否成立．假设成立，请给出证明；
假设不成立，请说明理由．
4. 〔2021湖南株洲〕孔明是一个喜欢探究钻研同学，他在与同学们一
起研究某条抛物线2(0)y ax a =<性质时，将一把直角三角板直角顶点置于平面直角坐标系原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：
〔1〕假设测得
OA OB ==1〕，求a 值；
〔2〕对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 坐标，并求点A 横坐标．．．
； 〔3〕对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 连线段总经过一个固定点，试说明理由并求出该点坐标．
5. 〔2021湖北武汉〕如图，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，、()
04C ，两点，与x 轴交于另一点B ． 〔1〕求抛物线解析式； 〔2〕点(),1D m m +在第一象限抛物线上，求点D 关于直线BC 对称点
坐标；
〔3〕在〔2〕条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=︒，求点P 坐标．
三、测试提高
1. 〔2021湖南湘西〕在直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++
与x 轴交于两点A 、B ，与y 轴交于点C ，其中A 在B 左侧，B 坐标是〔3，0〕．将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过点
B 、
C ．
（1） 求k 值；
（2） 求直线BC 与抛物线解析式； （3） 求△ABC 面积；
（4）
设抛物线顶点为D ，点P 在抛物线对称轴上，且 ∠APD =∠ACB ，求点P 坐标．
第八讲 中考压轴题十大类型之 几何三大变换问题
1. 〔2021山西太原〕问题解决：如图〔1〕，将正方形纸片ABCD 折叠，
使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C ，D 重合〕
，压平后得到折痕MN ．当1
CE AM
那么AM
BN
值等值
等
数〕，那么
AM BN
值等于 ．〔用含n 式子表示〕
图
N
联系拓广： 如图〔2〕，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E 〔不与点C D ，重合〕，压平后得到折痕
MN ，
设()11
1AB CE m BC m CD n
=>=，，
那么
AM BN
值等
于 ．〔用含m n ，式子
表示〕
2. 〔2021陕西〕如图①，在矩形
ABCD 中，
将矩形折叠，使B 落在边AD 〔含端点〕
上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或边CD
〔含端点〕交于点F ，然后再展开铺平，那么以B 、E 、F 为顶点△BEF 称为矩形ABCD “折痕三角形〞.
〔1〕由“折痕三角形〞定义可知，矩形ABCD 任意一个“折痕△BEF 〞是一个_________三角形；
〔2〕如图②，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4．当它“折痕△BEF 〞顶点E 位于边AD 中点时，画出这个“折痕△BEF 〞，并求出点F 坐标；
〔3〕如图③，在矩形ABCD 中， AB =2，BC =4，该矩形是否存在面积最大“折痕△BEF 〞？假设存在，说明理由，并求出此时点E 坐标；假设不存在，为什么？
图① 图② 图③
3. 〔2021江西南昌〕课题：两个重叠正多边形，其中一个绕某一个顶
点旋转所形成有关问题． 实验与论证
图
N
A
B C
D
E F
M
图1 图2 图3 图4
α
θ4
H
B 2
B 3
A 3
A 2
2
2
B 1A 1A 0
1
1设旋转角∠A 1A 0B 1＝α〔α＜∠A 1A 0A 2〕，θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所
〔1〕用含α式
子表示：θ3＝
_________，θ4＝
_________，θ5＝_________；
〔2〕图1－图4中，连接A 0H 时，在不添加其他辅助线情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分线段？假设存在，请选择其中一个图给出证明；假设不存在，请说明理由；归纳与猜测
设正n 边形A 0A 1A 2…A n -1与正n 边形A 0B 1B 2…B n -1重合〔其中，A 1与B 1重合〕，现将正n 边形A 0B 1B 2…B n -1绕顶点A 0逆时针旋转α〔n
180
0<<α〕．
〔3〕设θn 与上述“θ3，θ4，…〞意义一样，请直接写出θn 度数； 〔4〕试猜测在n 边形且不添加其他辅助线情形下，是否存在与直线
A 0H 垂直且被它平分线段？假设存在，请将这条线段用相应顶点字母
表示出来〔不要求证明〕；假设不存在，请说明理由．
4.
〔2021山东德州〕正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． 〔1〕求证：EG =CG ；
〔2〕将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF
中点G ，连接EG ，CG ．问〔1〕中结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由．
〔3〕将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应线段，问〔1〕中结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？〔均不要求证明〕
5. 〔2021江苏苏州〕刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，90°，
B ∠=306cm °，；A B
C ∠==图②中，
D ∠=°，45
E ∠=°，
4cm DE =.DEF △直角边DE 与△ABC 斜边AC 重合在一起，并将DEF △沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上〔移动开场时点D 与点A 重合〕． 〔1〕在DEF △沿AC 方向移动过程中，刘卫同学发现：F C 、两点间距离逐渐_________．〔填“不变〞、“变大〞或“变小〞〕 〔2〕刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当DEF △移动至什么位置，即AD 长为多少时，F C 、连线与AB 平行？
问题②：当DEF △移动至什么位置，即AD 长为多少时，以线段
AD FC BC 、、长度为三边长三角形是直角三角形？
问题③：在DEF △移动过程中，是否存在某个位置，使得15FCD ∠=°？如果存在，求出AD 长度；如果不存在，请说明理由． 请你分别完成上述三个问题解答过程．
F
B A
D E G 图F B A D E G
图F
B A E 图D
三、测试提高
1.
〔2021湖南常德〕如图1，假设△ABC 与△ADE 为等边三角形，M ，
N 分别EB ，CD 中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．
〔1〕当把△ADE 绕A 点旋转到图2位置时，CD=BE
是否仍然成立？假设成立请证明，假设不成立请说明理由；
〔2〕当△ADE 绕A 点旋转到图3位置时，△AMN 是否还是等边三角形？假设是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 面积之比；假设不是，请说明理由．
第九讲 中考压轴题十大类型之 实践操作、问题探究
1.
〔2021陕西〕问题探究
〔1〕请在图①正方形ABCD 内，画出使∠APB=90°一个．．点P ，并说明理由． 〔2〕请在图②正方形ABCD 内〔含边〕，画出使∠APB=60°所有．．
点P ，并说明理由．
问题解决
〔3〕如图③，现在一块矩形钢板ABCD ，AB =4，BC =3．工人师傅想用它裁出两块全等、面积最大△APB 与△
CP ′D 钢板，且∠APB =∠CP ′D=60°．请你在图③中画出符合
图1 图
2
〔图
F
E
D
A B 〔图。