东营区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

东营区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2
π
ϕ<<与y 轴的交点为(0,1)，且图像上两对称轴之间的最
小距离为
2
π
，则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为（ ）1111] A ．6π B ．3π C ．2
π
D ．23π
2． 已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）.命题p
：若存在点P 在圆
1)1()3(22=-++y x 上，使得2π=∠APB ，则31≤≤n ；命题：函数x x
x f 3log 4
)(-=在区间
)4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）
A ．)(q p ⌝∧
B ．q p ∧
C ．q p ∧⌝)(
D ．q p ∨⌝)(
3． 函数f （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．0＜a ≤ B ．0≤a ≤ C ．0＜a ＜ D ．a ＞
4． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．(
)10,+∞ 5． 已知函数f （x ）=e x +x ，g （x ）=lnx+x ，h （x ）=x ﹣的零点依次为a ，b ，c ，则（ ）
A ．c ＜b ＜a
B ．a ＜b ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜a ＜c
6． 已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（ ）
A ．2017
B ．﹣8
C ．
D ．
7． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为22，则这个圆的方程是（ ） A ．()()2
2
210x y -++= B ．()()2
2
214x y -++= C ．()()2
2
218x y -++= D ．()()2
2
2116x y -++=
8． 在正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，点P 在线段AD ′上运动，则异面直线CP 与BA ′所成的角θ的取值范围是（ ）
A ．0＜
B ．0
C ．0
D ．0
9． 在数列{}n a 中，115a =，*
1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
（ ）
A ．21a 和22a
B ．22a 和23a
C ．23a 和24a
D ．24a 和25a 10．某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ） A ．36种 B ．18种 C ．27种 D ．24种 11．已知命题“p ：∃x ＞0，lnx ＜x ”，则￢p 为（ ）
A ．∃x ≤0，lnx ≥x
B ．∀x ＞0，lnx ≥x
C ．∃x ≤0，lnx ＜x
D ．∀x ＞0，lnx ＜x
12．在等差数列中，已知，则
（ ）
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48 二、填空题
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•=24，
则△ABC 的面积是 ．
14．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）
【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.
15．某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果. 已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 . 16．如果实数,x y 满足等式()2
2
23x y -+=，那么
y
x
的最大值是 ． 17．以抛物线y 2
=20x 的焦点为圆心，且与双曲线：
的两条渐近线都相切的圆的方程为 ．
18．△ABC 外接圆半径为，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A=60°，b=2，则c 的值为 ．
三、解答题
19．设点P 的坐标为（x ﹣3，y ﹣2）．
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现在从盒子中随机取出一张卡片，记下标号后把卡片放回盒中，再从盒子中随机取出一张卡片记下标号，记先后两次抽取卡片的标号分别为x 、y ，求点P 在第二象限的概率；
（2）若利用计算机随机在区间上先后取两个数分别记为x 、y ，求点P 在第三象限的概率．
20．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，边7
2
c =
，且
tan tan tan 3A B A B +=-ABC ∆的面积为ABC S ∆=
，求a b +的值．
21．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°． （1）求∠BDA 的大小 （2）求BC 的长．
22．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ=（p ∈R ），曲线C 1，C 2相交于A ，B
两点．
（Ⅰ）把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）求弦AB 的长度．
23．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f （x+2）=﹣f （x ），当x ∈[0，2]时，f （x ）=2x ﹣x 2．
（1）求证：f （x ）是周期函数；
（2）当x ∈[2，4]时，求f （x ）的解析式；
（3）求f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2015）的值．
24．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，3339,22
a S =
=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设221
6log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若1
1
n n n c b b +=
，求证：12314
n c c c c ++++<
．
东营区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
考
点：三角函数的图象性质． 2． 【答案】A 【解析】
试题分析：命题p ：2
π
=
∠APB ,则以AB 为直径的圆必与圆()
()1132
2
=-++y x 有公共点,所以
121+≤≤-n n ,解得31≤≤n ,因此,命题p 是真命题.命题：函数()x
x
x f 3
log 4-=
，()0log 144
3<-=f ,()0log 3
4
333>-=
f ,且()x f 在[]4,3上是连续不断的曲线,所以函数()x f 在区间()4,3内有零点，因此,命题是假命题.因此只有)(q p ⌝∧为真命题．故选A ．
考点：复合命题的真假．
【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P 满足2
π
=
∠APB ,因此在以AB 为直径的圆上,又点P 在圆
1)1()3(22=-++y x 上，因此P 为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数
x x
x f 3log 4
)(-=是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.
3． 【答案】B
【解析】解：当a=0时，f （x ）=﹣2x+2，符合题意
当a ≠0时，要使函数f （x ）=ax 2+2（a ﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数 ∴
⇒0＜a ≤
综上所述0≤a ≤ 故选B
【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a 的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．
4． 【答案】B
【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y
g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.
5． 【答案】B
【解析】解：由f （x ）=0得e x
=﹣x ，由g （x ）=0得lnx=﹣x ．由h （x ）=0得x=1，即c=1．
在坐标系中，分别作出函数y=e x
，y=﹣x ，y=lnx 的图象，由图象可知
a ＜0，0＜
b ＜1， 所以a ＜b ＜
c ． 故选：B ．
【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
6． 【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即f（x+4）=f（x），
即函数的周期是4．
∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），
∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，
∴f（1）=f（﹣1）=，
∴a2017=f（1）=，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．
7．【答案】B
【解析】
考点：圆的方程.1111]
8．【答案】D
【解析】解：∵A1B∥D1C，
∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．
∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，
∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，
∴0＜θ≤．
故选：D．
9．【答案】C
【解析】
考点：等差数列的通项公式．
10．【答案】 C
【解析】
排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题；分类讨论．
【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P 船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q 船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：分4种情况讨论，
①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，
②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，
③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，
④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，
则共有6+12+6+3=27种乘船方法，
故选C．
【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式．
11．【答案】B
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为∀x＞0，lnx≥x．
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
12．【答案】B
【解析】
，所以，故选B
答案：B
二、填空题
13．【答案】4．
【解析】解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比数列，
∴sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得：b2=ac，
∵c=2a，可得：b=a，
∴cosB===，可得：sinB==，
∵•=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，
∴S
△ABC=acsinB==4．
故答案为：4．
14．【答案】48
【解析】
15．【答案】12
【解析】
考点：分层抽样
16．3
【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方
法，本题的解答中把y
的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.
x
17．【答案】（x﹣5）2+y2=9．
【解析】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线：的两条渐近线方程为3x±4y=0
由题意，r=3，则所求方程为（x﹣5）2+y2=9
故答案为：（x﹣5）2+y2=9．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
18．【答案】．
【解析】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，
∴由正弦定理可得：，解得：a=3，
∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，
∴解得：c=1+，或1﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由已知得，基本事件（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0）（0，1）共9种…4（分）
设“点P在第二象限”为事件A，事件A有（﹣2，1），（﹣1，1）共2种
则P（A）=…6（分）
（2）设“点P 在第三象限”为事件B ，则事件B 满足…8（分）
∴
，作出不等式组对应的平面区域如图：
则P （B ）=
=
…12（分）
20．【答案】112
． 【解析】
试
题解析：由tan tan tan 3A B A B +=-
可得
tan tan 1tan A B
A +=-tan()A
B +=
∴tan()C π-=tan C -=，∴tan C =∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
又ABC ∆的面积为ABC S ∆=，∴1sin 2ab C =，即12ab =6ab =.
又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，∴222
7()2cos 23
a b ab π=+-，
∴22227()()32a b ab a b ab =+-=+-，∴2121()4a b +=，∵0a b +>，∴112
a b +=.1 考点：解三角形问题．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题．
21．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，AD=5，AB=7，BD=8，由余弦定理得…
=…
∴∠BDA=60°…
（2）∵AD⊥CD，
∴∠BDC=30°…
在△ABC中，由正弦定理得，…
∴．…
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）
表示直线y=x，
曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ
所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9
（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，
r=3所以弦长AB==．
∴弦AB的长度．
【点评】本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．
23．【答案】
【解析】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
∴y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
（2）令x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，
∴f（﹣x）=﹣2x﹣x2，
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴在x ∈[﹣2，0]，f （x ）=2x+x 2
，
∴x ∈[2，4]，那么x ﹣4∈[﹣2，0]，那么f （x ﹣4）=2（x ﹣4）+（x ﹣4）2=x 2
﹣6x+8，
由于f （x ）的周期是4，所以f （x ）=f （x ﹣4）=x 2
﹣6x+8，
∴当x ∈[2，4]时，f （x ）=x 2
﹣6x+8． （3）当x ∈[0，2]时，f （x ）=2x ﹣x 2
．
∴f （0）=0，f （1）=1，
当x ∈[2，4]时，f （x ）=x 2
﹣6x+8，
∴f （2）=0，f （3）=﹣1，f （4）=0
∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）=1+0﹣1+0=0， ∵y=f （x ）是周期函数，且T=4是其一个周期．
∴2016=4×504
∴f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2015）=504×[f （0）+f （1）+f （2）+f （3）]=504×0=0，
即求f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2015）=0．
【点评】本题主要考查函数周期性的判断，函数奇偶性的应用，综合考查函数性质的应用．
24．【答案】（1）1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
或；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得1
31622n n n a a -⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
或；（2）
由于{}n b 为递增数列，所以取1
162n n a -⎛⎫
=⋅- ⎪
⎝⎭
，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪++⎝⎭
，
其前项和为()111
4414
n -
<+.
考点：数列与裂项求和法．1。