反比例函数(培优)

反比例函数
一、 形如x
k
y =
(0≠k )的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双曲线相关的知识有：
1．反比例函数解析式x
k
y =
中的系数k 决定图象的大致位置及y 随x 变化的状况．
2．双曲线图象上的点是关于原点O 成中心对称，在k ＞0时函数的图象关于直线x y =轴对称；在k ＜
0时函数的图象关于直线x y -=轴对称． 3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴． 二、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P 为双曲线
上任意一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，垂足分别为M 、N ，则两垂线段
与坐标轴所围成的的矩形PMON 的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|
∴xy=k 故S=|k| 从而得
结论1：过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积S 为定值|k|
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形ABO 中，面积S= 结论3：在直角三角形ACB 中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB 中，面积为S=|k|
例题讲解
【例1】 已知反比例函数x
k
y =
的图象与直线x y 2=和1+=x y 过同一点，则当0>x 时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 (填增大或减小)．
【例2】 如图，正比例函数kx y = (0>k )与反比例函数x
y 1
=
的图象相交于A 、C 两点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，连结BC ，若S △ABC 的面积为S ，则( )
A ．S ＝1
B ．S ＝2
C ．S ＝k
D ．S ＝2k
【例3】 如图，已知一次函数8+-=x y 和反比例函数x
k
y =
(0≠k )的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B ．
(1)求实数k 的取值范围；
(2)若△AOB 面积S ＝24，求k 的值．
【例4】如图，已知直线y=x 与双曲线y=（k ＞0）交于A 、B 两点，点B 的坐标为（﹣4，﹣2），C 为双曲
线y=（k ＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC 的面积为6，则点C 的坐标为 ．
【例5】 如图，正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上， 点B 在函数x k y =
(0>k ，0>x )的图象上，点P (m ，n )是函数x
k
y = (0>k ，0>x )的图象上的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．
(1)求B 点坐标和k 的值； (2)当2
9
=
S 时，求点P 的坐标； (3)写出S 关于m 的函数关系式.
例6如右图，已知点（1,3）在函数
的中点，函数y=
A,E 两点，点E 的横坐标为m ，解答下列各题 1.求k 的值
2.求点C 的横坐标（用m 表示）
3.当∠ABD=45°时，求m 的值.
学历训练 1．反比例函数x
k
y =
的图象经过点A (m ，n )，其中m ，n 是一元二次方程042=++kx x 的两个根，则A 点坐标为 ．
2．如图：函数kx y -=（k ≠0）与x
y 4
-
=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为 ．
3．已知，点P (n ，2n )是第一象限的点，下面四个命题：
(1)点P 关于y 轴对称的点P 1的坐标是(n ，－2n )；
(2)点P 到原点O ； (3)直线 y ＝－nx ＋2n 不经过第三象限； (4)对于函数y ＝n
x
，当x ＜0时,y 随x 的增大而减小；其中真命题是 .(填上所有真命题的序号)
4．已知反比例函数y ＝
1m
x
-的图像上两点A (x 1，y 1)、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2 ,则m 的取值范围是( )
A ．m ＜0
B ．m ＞0
C . m ＜12
D .m ＞12
5．已知反比例函数),0(≠=
k x
k
y 当0<x 时，y 随x 的增大面增大，那么一次函数k kx y -=的图象经过( )
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限 6.下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）
B
7.如图，P是函数（x＞0）图象上一点，直线y=﹣x+1分别交x轴、y轴于点A、B，作PM⊥x轴于点M，交AB于点E，作PN⊥y轴于点N，交AB于点F．则AF•BE的值为（）
8.如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y=﹣上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（）
9.点A（5，m）在双曲线上，AB⊥x轴于B，AO的垂直平分线DC分别交AO、BO于点D、C．则△ABC 的周长等于（）
10.如图，已知直线y=mx+n 交x 轴于A ，交y 轴于b ，且∠BAO=30°，P 为上一点，PE ⊥y 轴于E ，PF ⊥x
轴于F ，分别交AB 于M ，N ，若AM •BN=，则k= ．
11.函数y=x 1与y=x －2图象交点的横坐标分别为a,b ,则b
a 1
1+的值为 。

12．如图，直线y=x 与双曲线y=（x ＞0）交于点A ，将直线y=x 向下平移个6单位后，与双曲线y=（x ＞0）交于点B ，与x 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ；若
=2，则k= ．
13．已知反比例函数2k
y x
=
和一次函数y ＝2x －1，其中一次函数图像经过(a ，b )，(a ＋1，b ＋k )两点． (1)求反比例函数的解析式；
(2)如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标；
(3)利用(2)的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使ΔAOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.
14．已知双曲线
，
的部分图象如图所示，P 是y 轴正半轴上一点，过点P 作AB ∥x 轴，分别交两个图
象于点A ，B ．若PB=2PA ，则k= ．
15.如图，点A 、B 在反比例函数)0,0(>>=
x k x
k
y 的图象上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM=MN=NC,△AOC 的面积为6，则k 的值为________.
16.如图，□ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是A(-1,0),B(0，-2),顶点C 、D 在双曲线y=x
k
上，边AD 交y 轴于点E,且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则
17.（2011•陕西）如图，过y 轴上任意一点P ，作x
轴的平行线，分别与反比例函数x
y -
=和 x
y 2
=
的图象交于A 点和B 点，若C 为x 轴上任意一点，连接AC ，BC ，则△ABC 的面积为 .
x
题15图
18．如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值是．
19.如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为．
20．如图，矩形OBAC的两边OC、OB在坐标轴上，另两边AB、AC分别与双曲线（k＞0）交于F、E两点，且A点坐标为（4，3），S△OEF=，则k=．
21.如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B、C均在第一象限，OA=2，
∠AOC=60°．点D在边AB上，将四边形OABC沿直线0D翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，且∠C′DB′=60°．若某反比例函数的图象经过点B′，则这个反比例函数的解析式为．。