正弦函数余弦函数的图像和性质

正弦函数、余弦函数的图像和性质
四川省平昌中学王铮
（一）教学具准备
直尺、圆规、投影仪．
（二）教学目标
1．了解作正、余弦函数图像的四种常见方法．
2．掌握五点作图法，并会用此方法作出上的正弦曲线、余弦曲线．
3．会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像．
（三）教学过程（可用课件辅助教学）
1．设置情境
引进弧度制以后，就可以看做是定义域为的实变量函数．作为函数，我们首先要关注其图像特征．本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法．
2．探索研究
（1）复习正弦线、余弦线的概念
前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图1）
设任意角的终边与单位圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，则有向线段
叫做角的正弦线，有向线段叫做角的余弦线．
（2）在直角坐标系中如何作点
由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角的大小，就能用几何方法作出对应的正弦值
的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点？
教师引导学生用图2的方法画出点．
我们能否借助上面作点的方法在直角坐标系中作出正弦函数，的图像呢？
①用几何方法作，的图像
我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，
我们用前面作点的几何方法来描点，从而使图像的精确度有了提高．（边画图边讲解），我们先作在上的图像，具体分为如下五个步骤：
a．作直角坐标系，并在直角坐标系中轴左侧画单位圆．
b．把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）．过单位圆上的各分点作轴的垂线，可以得到对应于0，，，，…，角的正弦线．
c．找横坐标：把轴上从0到（）这一段分成12等分．
d．找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点．
e．连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得，的图像．
②作正弦曲线，的图像．
图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数，，且
的图像与函数，的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要
将函数，的图像向左、右平移（每次个单位长度），就可以得到正弦函数数，的图像，如图1．
正弦函数，的图像叫做正弦曲线．
③五点法作，的简图
师：在作正弦函数，的图像时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的是函数，与轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次它们的坐标吗？
生：（0，0），，，，
师：事实上，只要指出这五个点，，的图像的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图．
④用变换法作余弦函数，的图像
因为，所以，与
是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移个长度单位角得到，
余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数，的图像上，起关键作用的五个点的坐标．
生：（0，1），，，，
3．例题分析
【例1】画出下列函数的简图：
（1），；
（2），．
解：（1）按五个关键点列表
利用五点法作出简图3
师：请说出函数与的图像之间有何联系？
生：函数，的图像可由，的图像向上平移1个单位得到．
（2）按五个关键点列表
利用五点法作出简图4
师：，与，的图像有何联系？
生：它们的图像关于轴对称．
练习：
（1）说出，的单调区间；
（2）说出，的奇偶性．
参考答案：（1）由，图像知、，为其单调递增区间，为其单调递减区间
（2）由，图像知是偶函数．
4．总结提炼
（1）本课介绍了四种作，图像的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点．
（2）用平移诱变法，由这不是新问题，在函数一章学习平移作图时，就使
用过，请同学们作比较．应该说明的是由平移量是不惟一的，方向也可左可右．5．演练反馈，（投影）
（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图像
①，②，
（2）观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的的区间．
①，②，③，④
（3）画出下列函数的简图
①，②，③
，参考答案：
（1）
（2）①，，②、，
③
④
（3）
（五）板书设计
．作点
，
．变换法作
教学设计示例
4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第二课时）
（一）教学具准备
直尺，投影仪．
（二）教学目标
1．掌握，的定义域、值域、最值、单调区间．
2．会求含有、的三角式的定义域．
（三）教学过程
1．设置情境
研究函数就是要讨论一些性质，，是函数，我们当然也要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质．
2．探索研究
师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？
生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等．
师：很好，今天我们就来探索，两条最基本的性质——定义域、值域．（板书课题正、余弦函数的定义域、值域．）
师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像．
师：请同学思考以下几个问题：
（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？
（2）正弦、余弦函数的值域是什么？
（3）他们最值情况如何？
（4）他们的正负值区间如何分？
（5）的解集如何？
师生一起归纳得出：
（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是．
（2）正弦函数、余弦函数的值域都是即，，称为正弦函数、余弦函数的有界性．
（3）取最大值、最小值情况：
正弦函数，当时，（）函数值取最大值1，当
时，（）函数值取最小值－1．
余弦函数，当，（）时，函数值取最大值1，当，（）时，函数值取最小值－1．
（4）正负值区间：
（）（5）零点：（）
（）
3．例题分析
【例1】求下列函数的定义域、值域：
（1）；（2）；（3）．
解：（1），
（2）由（）
又∵，∴
∴定义域为（），值域为．
（3）由（），又由
∴
∴定义域为（），值域为．
指出：求值域应注意用到或有界性的条件．
【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时的集合：
（1），；（2），；
（3）（4）．
解：（1）当，即（）时，取得最大值
∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为．
（2）当时，即（）时，取得最大值
．
∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为．
（3）若，，此时函数为常数函数．
若时，∴时，即（）时，函数取最大值
，
∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为．（4）若，则当时，函数取得最大值．
若，则，此时函数为常数函数．
若，当时，函数取得最大值．
∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为
；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为
，当时，函数无最大值．
指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论．
思考：此例若改为求最小值，结果如何？
【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？
（1）；（2）．
解：（1）由，
∴当时，式子有意义．
（2）由，即
∴当时，式子有意义．
4．演练反馈（投影）
（1）函数，的简图是（）
（2）函数的最大值和最小值分别为（）
A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4
（3）函数的最小值是（）
A．B．－2 C． D．
（4）如果与同时有意义，则的取值范围应为（）
A． B． C． D．或
（5）与都是增函数的区间是（）
A．， B．，
C．， D．，
（6）函数的定义域________，值域________，时的集合为_________．参考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D
6．；；
5．总结提炼
（1），的定义域均为．
（2）、的值域都是
（3）有界性：
（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的集合为无限集．
（5）正负敬意及零点，从图上一目了然．
（6）单调区间也可以从图上看出． （五）板书设计
课后思考题：求函数 的最大值和最小值及取最值时的 集合
提示：
教学设计示例
4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）
（一）教学具准备 直尺、投影仪． （二）教学目标
1．理解 ， 的周期性概念，会求周期．
2．初步掌握用定义证明 的周期为 的一般格式．
（三）教学过程 1．设置情境
自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等．数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角
的终边每转一周又会与原来的位置重合，故
， 的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性（板书课题） 2．探索研究
（1）周期函数的定义
引导学生观察下列图表及正弦曲线
正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．
联想诱导公式
，若令 则 ，由
这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：
对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有
，那么函数
叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期．
如 ， ，…及 ，
…都是正弦函数的周期．
注意：周期函数定义中
有两点须重视，一是 是常数且不为零；二是等式必须
对定义域中的每一个值时都成立．
师：请同学们思考下列问题：①对于函数 ， 有 能否说
是正弦函数
的周期．
生：不能说 是正弦函数 的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等
式 成立，所以不符合周期函数的定义．
② 是周期函数吗？为什么
生：若是周期函数，则有非零常数
，使 ，即 ，化简得
，∴
（不非零），或 （不是常数），故满足非零常数
不存在，因
而
不是周期函数．
思考题：若 为 的周期，则对于非零整数 ， 也是 的周期．（课外思考）
（2）最小正周期的定义
师：我们知道…，，，，…都是正弦函数的周期，可以证明（
且）是的周期，其中是的最小正周期．一般地，对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周期．
今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．
依据定义，和的最小正周期为．
（3）例题分析
【例1】求下列函数的周期：
（1），；（2），；
（3），．
分析：由周期函数的定义，即找非零常数，使．
解：（1）因为余弦函数的周期是，所以自变量只要并且至少要增加到，余弦函数的值才能重复取得，函数，的值也才能重复取得，从而函数，
的周期是．
即，∴
（2）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，就是说，变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复取得，而
所以自变量只要并且至少要增加到，函数值就能重复取得，从而函数，的周期是．
即
∴
（3）令，那么必须并且只需，且函数，的周
期是，由于，所以自变量只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即是能使等式
成立的最小正数，从而函数，
的周期是．
而
∴
师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关，其规律如何？你能否求出函数
，及函数，（其中，，为常数，且，）的周期？
生：
∴．
同理可求得的周期．
【例2】求证：
（1）的周期为；
（2）的周期为；
（3）的周期为．
分析：依据周期函数定义证明．
证明：（1）
∴的周期为．
（2）
∴的周期为．
（3）
∴的周期为．
3．演练反馈（投影）
（1）函数的最小正周期为（）
A．B．C．D．
（2）的周期是_________
（3）求的最小正周期．
参考答案：
（1）C；（2）∴
（3）欲求的周期，一般是把三角函数化成易求周期的函数
或的形式，然后用公式求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．
由
4．总结提炼
（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．
（2）设 ， ．若 为
的周期，则必有：① 为无限集，
②
；③
在
上恒成立．
（3）只有 或 型的三角函数周期才可用公式 ，
不具有此形式，不能套用．如 ，就不能说它的周期为 ．
（四）板书设计
思考问题①②
的周期的周期
思考题：设
是定义在
上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当 时，
，求
上的表达式
参考答案： 典型例题
例1．求函数的定义域．
分析：要求，即，因为正弦函数具有周期性，所以只需先根据正弦曲线在一个周期上找出适合条件区间，然后两边加．
解：由题意，
即．
在一周期上符合条件的角为，
∴定义域为．
小结：解题时注意结合正弦曲线，而由于正弦函数的周期性，只需先在一个周期上求范围，这个周期的长度为，并非一定取，而应该是否得到一个完整区间为标准，如本题若在上求
范围则分为两段和，不如在上是完整的一段．
例2．求函数的定义域。

分析：上述函数从形式上看是一个较为复杂的复合函数，它是由三角函数、二次函数、对数函数复合而成。

求定义域时，应分清脉络，逐一分析，综合得出结论。

解：欲求函数定义域，则由
即也即
解得
取、0、1，可分别得到
或或。

即所求的定义域为。

小结：在解本题时，容易出现的失误是，由，得或；或
在解不等式组时出现错误，如得出函数的定义域为
或等。

解类似本例的问题，其关键在于求出两个或更多个不等式的公共解。

而求公共解，如能借助于图形，由数形结合，往往可以事半功倍。

具体方法一般可借助于数轴、单位圆或三角函数的图像来完成。

如图甲、乙所示。

例3．求下列函数的值域：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
分析：（1）先利用降幂公式，将其化为一个角的一个三角函数式，再根据三角函数性质求其值域；（2）可利用降幂公式，倍角公式，差角公式，化为一个角的一个三角函数其值域；（3）利用配方法，并结合二次函数、正弦函数的性质求解；（4）从反函数观点出发，借助于余弦函数的有界性求解．
解：（1）．
∵，∴．
将其利用降幂公式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用三角函数的性质求值域．
（2）
∵，
∴．
利用了降幂公式和倍角公式，将其化为一个角的一个三角函数的形式．
（3）．
将其看做关于的二次函数，注意到，
∴当时，．
当时，，
∴．
本题结合了二次函数求极值，但应注意的取值范围．
（4）由原式得．
∵，∴．
∴或．
值域为．
小结：配方法、化一法、逆求法、有界性法等，是求三角函数值域常用的几种方法．相信你会从此题的求解过程中，领悟到这一点．
例4．求函数的单调减区间．
分析：容易想到将函数转化为，换元令，进而转化为
．
解：．
令，则．
由正弦函数的单调性，知
当（）时，函数递减，
即（），
∴（）．
∴函数的单调减区间是（）．
小结：本题通过换元，将函数化为，充分体现了转化的数学思想．
例5．作函数的图像。

分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图像。

解：当，即时，有，即。

其图像如图，
小结：函数的图像即是的图像，因此作出的图像后，要把的这些点去掉。

例6．已知，（a、b为常数），且，求。

分析：要求函数值，需知函数解析式，因含a、b两个参数，一个条件
难确定。

深入分析与的内在联系，应向函数奇偶性联想。

注意到
为奇函数，问题自可获解。

解：因为，所以
为奇函数，所以，所以。

小结：（1）判断函数奇偶性时应注意“定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件”的应用。

（2）函数奇偶性的确定，可使研究问题的条件增加，从而使问题难度变小，尤其是自变量互为相反数时的函数值关系问题，可考虑奇偶性的应用。

扩展资料
一剪刀剪出一条正弦曲线
把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈．用剪刀斜着将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线．
你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！下面就来证明这一事实．
如图1，设纸筒底面半径为1单位长，截面（椭圆面）与底面所成的二面角为（定值），截口的中心为．
过作圆柱的直截面，交截口曲线于两点．取其中一点为，在过点且与圆柱侧面相切的平面内，以点为坐标原点建立直角坐标系，使得轴是圆柱的一条母线．
设点是截口曲线上任意一点，点是点在⊙所在平面内的射影，过作
，垂足为，连接，则是截面与底面所成二面角的平面角，所以，
，又设（变量）．
在图2中，设点坐标为，以下分别计算点的横坐标和纵坐标．
，，①
而在△中，，所以
nbsp; ②
将①代入②，且令（定值），则有
这就证明了截口曲线是一条正弦曲线．
（原载《数学通讯》2000年第10期王方汉文）
探究活动
试问方程是否有实数解？若有，请求出实数解的个数；若没有，请说明理由．
分析：可借助函数和的图像，通过判断图像是否有交点来判定方程是否有实数解．如有交点，可通过讨论交点数来获得实数解的个数．
解：设，因为，且的定义域为R，所以是奇函数，且，所以是 =0的一个解，于是 =0的实数解存在且除外
是成对出现的．在上研究和图像交点的情况（参考图）
因为，且是增函数，而，所以当x≥100时，方程 =0无解．
又，从图像中可得知直线与曲线在中从0开始每相隔会有两个交点，所以，当x≥0时共有32个交点，则当x>0时有31 个交点．
故原方程有31×2+1=63个解．
习题精选
一、选择题
1．函数的大致图像是（）
2．下列叙述中正确的个数为（）
①作正弦、余弦函数图像时，单位圆的半径长与x轴上的单位可以不一致。

②的图像关于点成中心对称图形。

③的图像关于直线成轴对称图形。

④正弦、余弦函数的图像不超出两直线所夹的范围。

A．1 B．2 C．3 D．4
3．使成立的x的一个区间是（）
A．B．C．D．
4．函数的最小正周期是（）
A．B．C．D．
5．若是周期为的奇函数，则可以是（）
A．B．C．D．
6．函数是（）
A．奇函数B．偶函数C．既奇且偶函数D．非奇非偶函数
7．若函数的图像和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为（）
A．4 B．8 C．D．
8．如果，则函数的定义域为（）
A．B．C．D．
9．的值域是（）
A．B．C．D．
10．在函数、、、中，最小正周期为的函数的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．已知函数（其中），当自变量x在任何两个整数之间（包括整数本身）变化时，至少会有一个周期，则最小的正整数k是（）
A．60 B．61 C．62 D．63
12．若，则函数的值域是（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．函数的最小正周期是。

14．函数的增区间是。

15．若为奇函数，且时，，则时，。

16．函数的最大值为，最小值为。

三、解答题
17．求函数的定义域。

18．已知函数的最大值为5，最小值为1。

求函数
的值域。

19．求函数的最大值及此时x的值。

20．设，试比较A与B的大小。

21．已知函数。

（1）求出它的定义域和值域；（2）指出它的单调区间；
（3）判定它的奇偶性；（4）求出它的周期。

参考答案：
一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．D 5．B 6．D 7．D 8．C 9．D 10．C 11．D 12．B
二、填空题
13． 14．．
15． 16．，
三、解答题
17．要使函数有定义，就必须有：
∴
∴
∴或，．
故函数的定义域是．
18．由题设知∴∴即．
故当时，该函数有最大值；
当时该函数有最小值为．∴所求函数的值域为［1，9］．
19．令，，则，而函数在上是增函数．
∴当，即时，取最大值为1，此时，．
20．由得．又，∴，
即，即．
21．（1）这是由，复合而成的函数．
它的定义域应满足：，即，，
（），
故定义域为．
又，∴，
根据，是减函数，∴，故函数值域为
．
（2），它的图像是由的图像向右平移而得到的，而的单调递增区间是（），递减区间是
（），
所以的单调递增区间是（），
递减区间是（），又因为，是减函数，所以原函数的单
递减区间是，
递减区间是（），（注意时，
，所以应将此值舍去）．
（3）由于定义域不关于原点对称，所以此函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（4）由于的周期为（根据其图像判断），故原函数的周期为．。