鲁教版八年级数学上册第二章分式与分式方程单元综合优生提升测试题1(附答案详解)

鲁教版八年级数学上册第二章分式与分式方程单元综合优生提升测试题1（附答案详解）
1．小明和小刚相约周末到河北剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m 和2000m ，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3:4，结果小明比小刚提前4min 到达剧院．设小明的速度为3x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A ．
20001200443x x -= B ．20001200434x x
-= C ．2000120043x x -= D ．2000120044x x
-= 2．若分式||33x x --的值为零，则x ＝（ ） A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．0
3．下列等式中，正确的是（ ）
A ．2
2x x y y = B ．2422x x xy y = C ．22x x y y +=+ D ．333133x x y y ++=-- 4．对x ，y 定义一种新运算，规定：()2ax by T x y x y
+=+，（其中a ，b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：01(01)201a b T b ⨯+⨯==⨯+，
.已知：T (0，1)=3，1(10)2T =，，若m 满足不等式组(254)4(32)1T m m T m m -≤⎧⎨-≥⎩
，，，则整数m 的值为（ ） A ．-2和-1
B ．-1和0
C ．0和1
D ．1和2 5．若代数式
15-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＞5 B ．x ＝5 C ．x ≠0 D ．x ≠5
6．若数a 使关于x 的不等式组36222()4
x x x a x +⎧<+⎪⎨⎪-+⎩的解集为x ＜﹣2，且使关于y 的分式方
1311
--=-++y a y y 的解为负数，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 7．若分式
26x x -+的值是0，则x 的值是（ ） A ．6 B ．6- C ．2 D ．2-
8．下列关于x 的方程：2132141=1,,,234511
x x x x x x x x -++===-+中，分式方程的个数是（ ）
9．下列运算正确的是（ ）
A ．235a a a ⋅=
B ．623a a a ÷=
C ．()2224a a -=-
D ．333928a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
10．如果把分式2
+x x y
中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小3倍 D ．无法确定
11．计算：221444x x x x
-⋅=-+__________________ 12．已知分式
6x b -+（a ，b 为常数）满足下列表格中的信息：
则a=________________，b=________________．
13．若分式
1x x -的值为0，则x 的值为_______． 14．计算：1111
x x -=+-_______________ 15．分式212xy 和214x y
的最简公分母是_______． 16．若关于x 的分式方程
a b x =的解为1a b +，我们就说这个方程是和解方程．比如：24x =-就是一个和解方程．如果关于x 的分式方程3n n x
=-是一个和解方程，则n =___________．
17．如果 a +b =2，那么代数式22
2(1)2b a b a b a ab b -+⋅-++的值是_____． 18．当x ＝_____时，分式2242x x x
--的值为零． 19．对于任意非零实数a 、b ，定义一种新运算“*”如下a*b=
2a b ab -，则2*1+3*2+4*3+…+2020*2019=__________
20．关于x 的方程12
x a x +=--的解是正数，则a 的取值范围是__________．
21．先化简：26109111
x x x x x +-⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭，然后在-3，-1，1，3中选择一个合适的数，作为x 的值代入求值.
22．给定关于x 的分式方程7311
mx x x +=--，求： （1）m 为何值时，这个方程的解为2x =？
（2）m 为何值时，这个方程无解？
23．解分式方程：
（1）11322x x x
--=--；（2）25231x x x x +=++. 24．现定义运算“”∆，对于任意实数a ，b 都有222a b a ab b ∆=-+，请按上述的运算求出()()352x x +-的值，其中x 满足1322x x x x
++=--． 25．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．
（1）求两批水果共购进了多少千克？
（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？
（利润率=100%⨯利润进价
） 26．先化简，再求值：23(
)111x x x x x x -÷-+-，其中x 是不等式组()21161031x x x x ⎧--≥⎨+>+⎩的整数解．
27．解方程：
312112x x x
-=--． 28．计算： （1）2(1)(2)m m m +-+．
（2）()2m n m mn m n
-÷-+．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据小明和小刚的速度比是3:4，小明的速度为3x 米/分，则小刚的速度为4x 米/分，再根据“结果小明比小刚提前4min 到达剧院”关系式即可得出答案．
【详解】
小明和小刚的速度比是3:4，小明的速度为3x 米/分
∴小刚的速度为4x 米/分 小明用的时间为
12003x ，小刚用的时间为20004x ∴所列方程应该为：20001200443x x -= 故选A ．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，读懂题意找到关系式是解题的关键．
2．B
【解析】
【分析】
根据题意分式的值等于0时，分子就等于0且分母不为0．即可求出答案.
【详解】 解：∵分式||33
x x --的值为零， ∴30x -=，且30x -≠，
∴3x =±，且3x ≠，
∴3x =-；
故选：B.
【点睛】
考查了分式的值为零的条件，分式的值的由分子分母共同决定，熟记分式的值为0是解题的关键.
3．B
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质逐项分析即可.
【详解】 A. 2
2x x y y
≠，故不正确； B. 2422x x xy y
=，正确； C. 22
x y ++不能化简，故不正确； D. 339133
x x y y ++=--，故不正确； 故选B.
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
4．C
【解析】
【分析】
①已知两对值代入T 中计算求出a 与b 的值； ②根据题中新定义解已知不等式组，再求不等式组的整数解；
【详解】
依题意得
01(01)3201
a b T ⨯+⨯==⨯+，，即：b=3 101(10)2102a b T ⨯+⨯=
=⨯+，,即a=1 ()()25442254321232am b m m m am b m m m
⎧+-≤⎪⎪⨯+-⎨+-⎪≥⎪+-⎩
所以
()
() 2354
4 2254
332
1 232
m m
m m
m m
m m
⎧+-
≤⎪⎪
⨯+-
⎨
+-
⎪≥
⎪+-
⎩
整理得
1510
4
5
95
1
3
m
m
-
⎧
≤⎪⎪
⎨
-
⎪≥
⎪⎩
解得
16 25
m
-≤≤
所以整数解是0，1
故选：C
【点睛】
此题考查了分式的性质，求一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义法则是解本题的关键．
5．D
【解析】
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于零，据此判断即可．
【详解】
解：∵代数式
1
5-x
在实数范围内有意义，
∴5﹣x≠0，
∴实数x的取值范围是x≠5．
故选：D．
【点睛】
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．6．C
【解析】
【分析】
表示出不等式组的解集，由不等式组的解集为x＜﹣2确定出a的范围，再由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出符合条件的a的个数．
解：解不等式组36222()4
x x x a x +⎧<+⎪⎨⎪-+⎩，得：224x x a <-⎧⎨+⎩， 由不等式组的解集为x ＜﹣2，得到2a +4≥﹣2，
解得：a ≥﹣3； 分式方程1311
--=-++y a y y 去分母得：1﹣y ﹣a ＝﹣3（y +1）， 解得：y ＝
42a -， 由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件，得412402
a a -⎧≠-⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩， 解得：a ＜4且a ≠2；
∴﹣3≤a ＜4且a ≠2，
∴a ＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，
∴符合条件的所有整数a 的个数为6个；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查分式方程与不等式组的求解运用，解题的关键是熟知分式方程与不等式组的解法．
7．C
【解析】
【分析】
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【详解】 分式26
x x -+的值为0， ∴20x -=且60x +≠．
解得：2x =．
故选：C ．
本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键． 8．C
【解析】
【分析】
根据分式方程的定义判断即可.
【详解】 分式方程是：21141=1,,211
x x x x x x -+==-+共3个；故选C. 【点睛】
本题考查了分式方程的定义，解题的关键是理解分式方程的意义.
9．A
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、完全平方公式、分式的乘方运算法则分别计算，即可作出选择．
【详解】
A. 235a a a ⋅=，计算正确，符合题意；
B. 624a a a ÷=，计算错误，不合题意；
C. ()2
2244a a a -=-+，计算错误，不合题意； D. 3
328237a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，计算错误，不合题意． 故选：A
【点睛】
本题考查了式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
10．A
【解析】
【分析】
利用分式的基本性质变形化简得出答案．
把分式2
+x x y
中的x 和y 都扩大3倍， 则222
(3)93333()x x x x y x y x y
==+++， 故分式扩大3倍．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．
11．222x x x
+-. 【解析】
【分析】
利用完全平方公式和平方差公式进行化简，然后再利用除法法则计算即可.
【详解】 解：221444x x x x
-⋅-+ ()()()
22212x x x x -+=-
()()22x x x +=
- 222x x x
+=- 故答案为：
222x x x +- 【点睛】
本题考查了分式的乘除法，解答本题的关键在于熟练掌握分式乘除法的运算法则． 12．1 8
【解析】
【分析】
将表格数据依次代入已知分式中，进行计算即可判断．
【详解】
解：A ．根据表格数据可知：
当x ＝﹣1时，分式无意义，
即x +a ＝0，
所以﹣1+a ＝0，
解得a ＝1．
B ．当x ＝1时，分式的值为1， 即611
b -++＝1， 解得b ＝8，
故答案为：1；8．
【点睛】
本题考查了分式的值、分式有意义的条件，解决本题的关键是掌握分式相关知识． 13．1
【解析】
【分析】
根据分式值为零的性质可知，1 - x = 0，且x ≠0，然后计算即可．
【详解】 解：∵分式1x x
-的值为0 ∴1 - x = 0，且x ≠0
∴x = 1
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了分式值为零时的性质. 熟知当分式的分子等于零，且分母不为零时，是分式值为零的条件，是解决本题的关键．
14．221
x -- 【解析】
【分析】
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【详解】
1111x x -=+-11(1)(1)(1)(1)x x x x x x -+--+-+=2(1)(1)x x --+=221
x -- 故填：221
x --. 【点睛】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．4x 2y 2
【解析】
【分析】 取分式212xy 和214x y 中分母系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；取分式2
12xy 和214x y
中各字母因式最高次幂的字母和次幂，作为最简公分母的字母和次幂，两者相乘，即可得到最简公分母．
【详解】 ∵分式212xy 和214x y
中，分母的系数分别为2和4， 又∵2和4得最小公倍数为4，
∴最简公分母的系数为4， ∵分式212xy 和214x y
中，x 的最高次幂项为2x ，y 的最高次幂项为2y ， ∴最简公分母的字母及指数为22
x y ， ∴212xy 和214x y
的最简公分母是224x y ， 故答案为：22
4x y ．
【点睛】
本题考查求解最简公分母．解题方法是取各分式分母中系数的最小公倍数作为最简公分母的系数，取各分式分母中各字母因式最高次幂的字母和次幂作为最简公分母的字母和次幂，两者相乘，即得到最简公分母．
16．34
【解析】
【分析】
根据和解方程的定义求出分式方程的解，然后代入求解即可．
【详解】 由题意知，1133x n n =
=+-是分式方程3n n x =-的解， ∴将13
x =代入分式方程中得，33n n =-， 解得，34
n =， 故答案为：
34． 【点睛】
本题是新定义运算，考查了分式方程的解，正确理解新定义是解题的关键．
17．12
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算法则化简原式，然后把a+b=2整体代入计算即可．
【详解】 解：原式()21a b a b a b a b
a b +-=⋅=-++， ∵a ＋b=2， ∴原式＝112
a b =+， 故答案为：
12． 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．﹣2
【解析】
【分析】
分式的值为零的条件是指该分式的分母不为零且分子为零，据此进一步求解即可．
【详解】 ∵分式2242x x x
--的值为零， ∴24=0x -且220x x -≠，
∴=2±x 且0x ≠及2x ≠，
∴=2x -，
故答案为：2-．
【点睛】
本题主要考查了分式的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
19．20194040
【解析】
【分析】
根据题中的新定义将所求式子变形，拆项抵消后即可得到结果．
【详解】
根据题意得： 2*1+3*2+4*3+…+2020*2019＝21221-⨯⨯＋32232-⨯⨯＋43243
-⨯⨯…＋20202019220192020-⨯⨯＝111111212222232324
-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯…＋112201922020-⨯⨯=1124040-=20194040．故答案为：20194040
. 【点睛】 本题考查分式的混合运算，属于新定义题型，将所求式子变形后，利用
2a b ab -=1122b a
-进行拆项是解题的关键.
20．a ＜2且a ≠-2
【解析】
【分析】
先求得分式方程的解，再根据x ＞0和分式方程有解分母不能为0，即可求出a 的取值范围．
【详解】
解：去分母得：2x a x +=-+，
移项得：2x x a +=-，
合并同类项得：22x a =-，
系数化为1得：22
a x -=． ∵方程的解是正数， ∴202a ->，且222
a -≠， 解得：a<2且a≠-2，
故答案为：a<2且a≠-2．
【点睛】
本题考查根据分式方程解得情况求参数的取值范围．注意在解分式方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，所以可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．故要排除分母为0这种情况．
21．33
x x +-，-2 【解析】
【分析】
先计算括号内的，再将除法转化成乘法，然后从-3，-1，1，3中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．.
【详解】
解：原式=()()()()1161011133x x x x x x x x +-⎡⎤+++⨯⎢⎥+++-⎣⎦
=()()
261011133x x x x x x ⎛⎫++-+⨯ ⎪++-⎝⎭ =()()()2311
33x x x x x ++⨯++- =33
x x +- 将x=1代入，原式=-2.
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
22．（1）m ＝5（2）m ＝3或7
【解析】
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，将x ＝2代入计算即可求出m 的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将x ＝1代入计算，即可求出m 的值．
【详解】
分式方程去分母得：7+3（x−1）＝mx ，
（1）将x ＝2代入得：7+3（2−1）＝2m ，
解得m ＝5；
（2）整理得(m-3)x=4,
当m=3时，整式方程无解；
当3m ≠时，将x ＝1代入得：7+3（1−1）＝m ，
解得m ＝7．此时，方程有增根，
综上，m ＝3或7时原方程无解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23．（1）3x =是原分式方程的解;（2）原分式方程无解.
【解析】
【分析】
（1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1）方程两边同乘()2x -，得()()1321x x --=--.
检验：当3x =时，20x -≠.
所以3x =是原分式方程的解.
（2）方程两边同乘()1x x +，得
523x x +=.
解得1x =-.
检验：当1x =-时，()10x x +=.因此1x =-不是原分式方程的解.
所以原分式方程无解.
【点睛】
本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
24．49
【解析】
【分析】
首先解出x 的值，再根据题中的运算法则，将222a b a ab b ∆=-+中的a ，
b 替换成()35+x 与()2x -运算即可．
【详解】
解：去分母得132x +-=（）
1x -+（）， 解得：1x =．
经检验，1x =是原方程的解． 又222a b a ab b ∆=-+，
2222()a b a ab b a b ∴∆=-+=-，
22(35)(2)(352)(43)x x x x x ∴+∆-=+-+=+
当1x =时，2
(35)(2)(43)49x x +∆-=+=．
【点睛】
本题考查了解分式方程及新定义类求解问题，理解题中的新定义运算的法则是解题的关键． 25．（1）这两批水果功够进700千克；（2）售价至少为每千克15元．
【分析】
（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5千克，依据题意即可得出方程，分式方程最后检验是否符合；
(2)设售价为每千克a元，则：
()
70010.120005500
0.26
20005500
a
---
≥
+
化简即可得出．
【详解】
解：（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5千克，依据题意得：55002000
1
2.5x x
-=，
解得x=200，
经检验x=200是原方程的解，
∴x+2.5x=700，
答：这两批水果功够进700千克；
（2）设售价为每千克a元，则：
()
70010.120005500
0.26
20005500
a
---
≥
+
，
630a≥7500×1.26，
∴
7500 1.26
630
a
⨯
≥，
∴15
a≥，
答：售价至少为每千克15元．
【点睛】
分式方程和不等式的应用；理解题意，分析关系是关键.
26．24
x+，0
【解析】
【分析】
先根据分式四则混合运算法则进行化简，然后再解不等式组并确定整数解，最后选择合适的整数解代入计算即可．
【详解】
解：原式=3(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x
+--+-⨯+- =3x+3-x+1
=2x+4，
解不等式组()21161031x x x x ⎧--≥⎨+>+⎩
得-3＜x≤1， 则不等式组的整数解为1、0、-1、-2，
又x ≠±1且x ≠0，
∴x =-2，
∴原式=2×(-2)+4=0．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值以及确定一元一次不等式组的整数解，正确化简分式和解一元一次不等式组是解答本题的关键．
27．x =4．
【解析】
【分析】
先两边同乘以(21)x -将原分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程即可．
【详解】
方程两边同时乘以(21)x -得：(21)3x x --=-
213x x -+=-
231x x -=--
4x -=-
4x =
经检验，4x =是原分式方程的解
故原分式方程的解为4x =．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，掌握解法是解题关键．需注意的是，求出方程的解，一定要代入原分式方程进行检验．
28．（1）1（2）()
1m m n + 【解析】
【分析】
（1）原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果； （2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】
（1）原式＝m 2＋2m ＋1−m 2−2m ＝1；
（2）()2m n m mn m n
-÷-+ ＝()
1m n m n m m n -⋅+- ＝()
1m m n +． 【点睛】
此题考查了分式的乘除法，单项式乘以多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．。