鲁教版九年级数学下册 圆周角和圆心角的关系教案

《圆周角和圆心角的关系》教案
教学目标
知识技能：掌握圆周角的概念，理解掌握圆周角定理的证明并会进行简单的计算和证明．
过程与方法：经历圆周角定理证明过程，体会“特殊到一般”和“分类讨论”的数学思想方法．情感与态度：通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法．
教学重点
圆周角概念及圆周角定理．
教学难点
认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．
教学方法
指导探索法、讲授法．
教学过程
一、复习回顾，引入新课
1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
2．圆心角的度数和它所对的弧的度数的大小关系是：相等．
当角的顶点在圆心时，就是圆心角．这时角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？
二、探索新知：
圆周角的概念（观察圆心角的顶点的变化，导出圆周角的概念）
（1）（2）（3）
图（3）中的∠BAC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角．
1．强调两个要点：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交
2．跟踪训练：判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．
研究圆周角和圆心角的关系．
证一证
1．当圆心O 在圆周角∠ABC 的一边BC 上时，圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的大小关系． 解：∠ABC =12
∠AOC ．理由是： ∵ ∠AOC 是△ABO 的外角，
∴∠AOC =∠ABO +∠BAO ．
∵OA =OB ，
∴∠ABO =∠BAO ．
∴∠AOC =2∠ABO ．
即∠ABC =12
∠AOC ． 2．如果∠ABC 的两边都不经过圆心（如下图），结果会怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？能否将下 图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？（学生互相交流、讨论）
如图（1），点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ，
将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．
（体现“分”的数学思想）
由1的结论可知：∠ABD =12∠AOD ，∠CBD =12
∠COD ，
∴∠ABD +∠CBD =12 (∠AOD +∠COD ），即∠ABC =12
∠AOC ． 在图（2）中，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ，
将这个角转化成上述情形的两个角的差即可证出．
（体现“补”的数学思想）
由1的结论可知：∠ABD =12∠AOD ，∠CBD =12
∠COD ． ∴∠ABD -∠CBD =12 (∠AOD -∠COD ），即∠ABC =12
∠AOC ． 综上所述，我们可以得到：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
（提问：条件是什么？结论是什么？）
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
老师提示：圆周角定理是承上启下的知识点，要予以重视．
如图1，圆中一段»
AC 对着许多个圆周角，这些个角的大小有什么关系?为什么? 如图2，圆中»
AB =»EF ，那么∠C 和∠G 的大小有什么关系?为什么? 如图2，圆中∠C =∠G ， 那么»
AB 与»EF 的大小有什么关系?为什么?
C A
E C
图1 图2
圆周角定理的推论
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．
实际应用：
当球员在B ，D ，E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ， ∠ADC ，∠AEC ．这三个角的大小有什么关系?
3．圆周角与直径的关系
1．如图（1），BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上任一点，你能确定∠BAC 的度数吗?
2．如图（2），圆周角∠BAC =90º，弦BC 经过圆心O 吗？为什么？
图1B
C
图2B
C
圆周角定理的推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
定理的应用
例题分析：
如图，在△ABC 中AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，BD 与CD 的大小有什么关系?为什么? 解析：BD=CD
如图连接AD ．
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°
∵AC=AB ，∴BD=CD .
C
练一练：
1．如图，在⊙O 上中， ∠BOC = 50°求∠BAC 的大小．
2
．如图，哪个角与
∠BAC 相等?你还能找到哪些相等的角? 3．指出图中的圆周角．
第1题图 第2题图 第3题图
三、课堂小结
（一）这节课主要学习了四个知识点：
1．圆周角：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角．
2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
3．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法．引辅助线的方法：
（1）构造直径上的圆周角．
（2）构造同弧所对的圆周角．
4．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一．
四、拓展延伸
圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角．
如下图中，∠DPB 是圆外角，那么∠DPB 的度数与它所夹的两段弧»BD
和»AC 的度数有什么关系？ 1．你的结论： ________；2．证明你的结论．
1．圆外角等于它所夹弧的度数差的一半．
2．证明：边结BC ．
P D
B
五、布置作业.。