平面向量基本定理高一数学下学期同步课件 检测卷(人教A版2019必修第二册)

P
OA+t(OB OA) OA+tOB tOA (1 t)OA+tOB
B
O
A
解法二：因为向量 AP=t AB （t∈R）， P
AP OP OA，AB OB OA
B
OP OA t(OB OA)
OP (1 t)OA+tOB .
O
A
思考： 观察OP 1tOA tOB,你有什么发现？ 由以上关系式得： 1 1 t，2 t 可得：1 2 1
所以CD=a+ 1 (b a) 1 (a+b).
2
2
因为CD 1 AB ，所以， 1 |a+b| 1 |b a|.
2
2
2
即|a+b| |b a|.所以(a+b)2 (b a)2.
所以a2+2a b+b2 a2 2a b+b2 .即a b=0 .
所以， CACB 0. 因此，CA⊥CB. 即△ABC 是直角三角形.
2 2
CA•CB a b • a b a b
因为CD 1 AB 所以CD DA
因为a2
2 CD2
,
2
b
DA2
所以CA • CB 0
因此CA CB 于是ABC是直角三角形。
证法 2：如图，设CA=a ，CB=b，则AB=b a,
因为向量CD=CA+ AD=CA+ 1 AB， 2
同步检测
1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：
①A→D与A→B；②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B.
其中可作为该平面其它向量基底的是
A.①②
B√.①③
C.①④ D.③④
解析 易知A→D与A→B不共线，C→A与D→C不共线.
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2.如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是 A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
A.BD＝2CD
B√.BD＝CD
C.BD＝3CD
D.CD＝2BD
解析 由A→D＝12(A→B＋A→C)得 2A→D＝A→B＋A→C，
即A→D－A→B＝A→C－A→D，
即B→D＝D→C，∴BD＝CD.
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5.如图，▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，A→B ＝a，A→D＝b，试用基底{a，b}表示M→C，M→A，M→B.
a 1e1 2 e2.
这种表示形式是唯一的吗？ 唯一
证明： 假设a 1e1 2e2， 那么a 1e1 2e2 1e1 2e2
可得1 1e1 2 2 e2 0 由此得1 1，2 2全为0.
假设 1
1，2
2不全为0，不妨假设
1
1
0，则e1
2 1
2 1
e2 .
由此可得 e1, e2共线。这与已知 e1, e2不共线矛盾
2
3
3
所以 DE 1 AB 2 AC . 63
所以
1
1 6
，
2
=
2 3
，所以
1
+2
=
1 2
.
例 3．如图，平面向量 OA,OB 不共线，且 AP t AB （t R ），试用OA,OB 表示 OP ．
解法一：因为向量 AP=t AB （t∈R），OP=OA+ AP，
所以OP=OA+t AB
即1 1，2 2 也就是说，有且只有一对实数1，2，使a 1e1 2e2
你能把上述探究发现的结果，用数学的语言描 述出来吗？
平面向量基本定理
如果e1, e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一
平 面 内 的 任 意 向 量 a ， 有 且 只 有 一 对 实 数 1, 2 ， 使 a 1e 1 e2 ．2
其中，对于选项 A： e1 e2 (e2 e1) ，所以 e1 e2 与 e2 e1 共线；
选项 B： 4e1 6e2 = 2(2e1+3e2 ) ，所以 2e1+3e2 与 4e1 6e2 共线；
选项
D：
2e1
e2
与
=
2( 1 2
e2
e1 )
，所以
2e1
e2
与
1 2
e2
e1
共线；
选项 C： e1 e2 与 e1+e2 是以 e1 ， e2 为邻边的平行四边形的两条对角线，因为 e1 ，e2 不
共线，所以 e1 e2 与 e1 +e2 不共线．
例 2.设 D, E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，
AD=
1 2
AB，BE=
2 3
BC，若
DE
1
AB
2
AC
（ λ1，
λ2 为实数），则λ1+λ2 的值为
．
解析：由题意结合向量的运算可得： DE DB BE .
其中 DB 1 AB ， BE 2 BC 2 (AC AB) .
e2 e1
e2 e1
如果 a 是零向量，可以用给定两个不共线的非零 向量 e1 ， e2 来表示吗？
从上述探究中，你得到什么结论？
结论： 对于平面内任一向量 a ，可以用给定两个不共线的向量
e1 ， e2 表示为 a 1e1 2e2 ．
上述讨论表明：平面内任一向量a都可以按e1，e2的方向分解，即
所以
x＝6， y＝3，
所以x－y＝3.
2．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面向量的一个基底{e1，e2}中，e1，e2一定都是非
零向量．( √ )
(2)在平面向量基本定理中，若a＝0，则λ1＝λ2＝0.( √ ) (3)在平面向量基本定理中，若a∥e1，则λ2＝0；若a∥e2，
则λ1＝0.( √ )
√B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内 D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解析 B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意向量； C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内； D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
我们把不共线的向量{e1，e2 } 叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底．
跟踪训练1 已知向量{a，b}是一个基底， 实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
则x－y＝__3__.
解析 因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，
由平面向量基本定理得
3x－4y＝6， 2x－3y＝3，
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3.给出下列三种说法：
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所
有向量的基底；
②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有
向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量.
其中，说法正确的为
A.①②
√B.②③
C.①③
D.①②③
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4.在△ABC 中，若A→D＝12(A→B＋A→C)，则下列关系式正确的是
6.3.1平面向量基本定理
温故知新
1.向量的加法：
C
a b
b
C
b
b
a b
D
A
B
a
首尾相连
A
aB
共起a 点
2.向量的减法：
C
b
A
a
a b 共起点,指向被减向量
B
3.向量a a 0 与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，
使b a
在物理中，我们知道为了求放置在斜坡上的 木块受到的摩擦力，需要将重力分解．
结论：若A, B, P三点共线，O为直线外一点，
则OP 1OA 2OB，且1 2 1。反之亦成立。
例 4.如图，CD 是△ABC 的中线，CD 1 AB ，用向
2 量方法证明：△ABC 是直角三角形.
证明：如图设CD a, DA b
则CA a b, DB b,于是CB a b
OA
OF OG
OG OF OA
力的分解是向量分解的物理模型， 运用了平行四边形法则
思考：给定两个不共线的向量 e1 ， e2 ， 同一平面内与向量 e1 ， e2 不共线的向量 a ． 将向量 a 沿着 e1 ， e2 的方向分解，你有什么发现？
e2
a
e1
探究：如果再给出平面内的另一个向量 a ，你还 能用给定两个不共线的向量e1 ， e2 来表示吗？
(4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的．( × )
例 1. 设 e1 ， e2 是平面内一组基底，则下面四组向量中，
能作为平面内一组基底的是（ ）
A． e1 e2 与 e2 e1 C． e1 e2 与 e1 +e2
B． 2e1+3e2 与 4e1 6e2
D．
2e1
e2
与
1 2
e2
e1
解析：不共线的两个向量能作为平面内一组基底，因此需要判断选项中所给的两个向 量是否共线：
若AB a, AC b，则AD _____32__a__13_b_，__ 用a,b表示
D i总a g r结a m反思、认识提高
数形结合 平面向量基本定理 特殊到一般
本节知识
研究思想方法
形的特征 数的表现 数与形的 结合体
对向量再认识
解 A→C＝A→B＋A→D＝a＋b，B→D＝A→D－A→B＝b－a，
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以M→C＝1A→C＝1a＋1b. 2 22
M→A＝－M→C＝－1a－1b， 22
M→D＝12B→D＝12b－12a，
所以M→B＝－M→D＝12a－12b.
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6.在△ABC中，D为BC边上靠近点B的三等分点，