苏教版数学九年级上册 期末试卷(Word版 含解析)

苏教版数学九年级上册 期末试卷（Word 版 含解析）
一、选择题
1．已知⊙O 的半径是4，圆心O 到直线l 的距离d ＝6．则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．无法判断 2．若将二次函数2y
x 的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得图象对应函数的表达式为（ ）
A ．2(2)2y x =++
B ．2(2)2y x =--
C ．2(2)2y x =+-
D ．2(2)2y x =-+ 3．如图，以AB 为直径的⊙O 上有一点C ，且∠BOC ＝50°，则∠A 的度数为（ ）
A ．65°
B ．50°
C ．30°
D ．25°
4．分别写有数字﹣4，0，﹣1，6，9，2的六张卡片，除数字外其它均相同，从中任抽一张，则抽到偶数的概率是（ ）
A ．16
B ．13
C ．12
D ．23
5．已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10，后面6个数的平均数是15，则这20个数的平均数是（ ）
A ．23
B ．1.15
C ．11.5
D ．12.5 6．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ）
A ．45
B ．60
C ．90
D ．180 7．如图，AC 是⊙O 的内接正四边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正六边形的一边．若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
8．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，BD 为⊙O 的直径，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADB 的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
9．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ）
A ．都含有一个40°的内角
B ．都含有一个50°的内角
C ．都含有一个60°的内角
D ．都含有一个70°的内角 10．如图，AB ，AM ，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P ，M ，N ．若 MN ∥AB ，∠A ＝
60°，AB ＝6，则⊙O 的半径是（ ）
A ．32
B ．3
C ．323
D ．3 11．将抛物线23y x =先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛
物线解析式为（ ）
A ．23(1)2y x =++
B ．23(1)2y x =+-
C ．23(1)2y x =-+
D ．23(1)2=--y x 12．如图，□ABCD 中，点
E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点
F ，则EF:FC 等于（ ）
A ．3:2
B ．3:1
C ．1:1
D ．1:2
二、填空题
13．将二次函数y=x 2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____．
14．如图，边长为2的正方形ABCD ，以AB 为直径作⊙O ，CF 与⊙O 相切于点E ，与AD 交于点F ，则△CDF 的面积为________________
15．关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是19x =-，211x =（a ，m ，b 均为常数，
0a ≠），则关于x 的方程2(3)0a x m b +++=的解是________．
16．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点,,,A B C D 为格点（即小正方形的顶点），AB 与CD 相交于点O ，则AO 的长为_________．
17．方程22x x =的根是________．
18．若32x y =，则x y y
+的值为_____． 19．如图示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，3BC =，点P 在Rt ABC ∆内部，且PAB PBC ∠=∠，连接CP ，则CP 的最小值等于______.
20．数据1、2、3、2、4的众数是______．
21．若点 M （-1， y 1 ），N （1， y 2 ），P （72
, y 3 ）都在抛物线 y ＝-mx 2 +4mx+m 2 +1（m ＞0）上，则y 1、y 2、y 3 大小关系为_____（用“＞”连接）．
22．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，E 、F 分别为AC 、AD 上两动点，连接CF 、EF ，则CF ＋EF 的最小值为_____．
23．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．
24．若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长为_____．
三、解答题
25．如图，平行四边形ABCD 中，30B ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将ABE ∆沿直线AE 翻折至AFE ∆的位置，AF 与CD 交于点G .
（1）求证：CG BF CD CF ⋅=⋅；
（2）若43AB =，8AD =，求DG 的长.
26．如图，二次函数2
y x bx c =-++的图像经过()0,3M ，()2,5N --两点.
（1）求该函数的解析式；
（2）若该二次函数图像与x 轴交于A 、B 两点，求ABM ∆的面积；
（3）若点P 在二次函数图像的对称轴上，当MNP ∆周长最短时，求点P 的坐标.
27．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝4，点P 在AmB 上运动（点P 不与点A 、B 重合），且∠APB ＝30°，设图中阴影部分的面积为y ．
（1）⊙O 的半径为 ；
（2）若点P 到直线AB 的距离为x ，求y 关于x 的函数表达式，并直接写出自变量x 的取值范围．
28．如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE.
（1）求证：△DAC∽△EBC；
（2）求△ABC与△DEC的面积比．
29．为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户，为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）本次抽样调查了户贫困户；
（2）本次共抽查了户C类贫困户，请补全条形统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？30．在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
31．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ．
（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若CE ＝163
，AB ＝6，求⊙O 的半径．
32．（如图 1，若抛物线 l 1 的顶点 A 在抛物线 l 2 上，抛物线 l 2 的顶点 B 也在抛物线 l 1 上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l 1，l 2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条．
（1）如图2，抛物线 l 3：21(2)12
y x =-- 与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标为 ；
（2）求以点 D 为顶点的 l 3 的“友好”抛物线 l 4 的表达式，并指出 l 3 与 l 4 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线 y ＝a 1(x －m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y ＝a 2(x －h)2＋k ， 写出 a 1 与a 2的关系式，并说明理由．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据直线和圆的位置关系的判定方法，即圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离进行判断.
【详解】
解：∵圆心O 到直线l 的距离d=6，⊙O 的半径R=4，
∴d>R ，
∴直线和圆相离．
故选：A ．
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系的判定．掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系是解答此题的关键.．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.
【详解】
解：将2y x 的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得二次函
数的表达式为：2(2)2y x =+-.
故选：C.
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，属于基本知识题型，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据圆周角定理计算即可．
【详解】 解：由圆周角定理得，1252
A BOC ∠=∠=︒，
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据概率公式直接计算即可．
【详解】
解：在这6张卡片中，偶数有4张，
所以抽到偶数的概率是4
6
＝
2
3
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了随机事件的概率，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，灵活利用概率公式是解题的关键.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20
个数的平均数．
【详解】
解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5，
故选：C．
【点睛】
此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.
．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据弧长公式即可求出圆心角的度数．
【详解】
解：∵扇形的半径为4，弧长为2π，
∴
4 2
180
nπ
π
⨯
=
解得：90
n=，即其圆心角度数是90︒
【点睛】
此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．
【详解】
连接AO、BO、CO，
∵AC是⊙O内接正四边形的一边，
∴∠AOC＝360°÷4＝90°，
∵BC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∴n＝360°÷30°＝12；
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．
8．A
解析：A
【解析】
【详解】
解：∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴点B、D、O在同一直线上，
∠AOB=30°
∴∠ADB=1
2
9．C
解析：C
【解析】
试题解析：因为A,B,D 给出的角40,50,70可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A ，B ，D 错误；
C. 有一个60的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C 正确. 故选C.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意可判断四边形ABNM 为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO ≌△BPO ，可得AP=BP=3，在直角△APO 中，利用三角函数可解出半径的值.
【详解】
解：连接OP ，OM ，OA ，OB ，ON
∵AB ，AM ，BN 分别和⊙O 相切，
∴∠AMO=90°，∠APO=90°，
∵MN ∥AB ，∠A ＝60°，
∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，
∴∠OMN=∠ONM=30°，
∵∠BNO=90°，
∴∠ABN=60°，
∴∠ABO=30°，
在△APO 和△BPO 中，
OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△APO ≌△BPO （AAS ），
∴AP=12
AB=3， ∴tan ∠OAP=tan30°=OP AP
∴
.
故选D.
【点睛】
本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P 是AB 中点，难度不大.
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】
抛物线23y x =先向左平移1个单位得到解析式：()2
31y x =+，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：()2
312y x =++．
故选：A ．
【点睛】
此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 12．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意得出△DEF ∽△BCF ，进而得出
=DE EF BC FC ，利用点E 是边AD 的中点得出答案即可．
【详解】
解：∵▱ABCD ，故AD ∥BC ，
∴△DEF ∽△BCF ， ∴=DE EF BC FC
， ∵点E 是边AD 的中点， ∴AE=DE=
12AD ， ∴12
EF FC =．
故选D．
二、填空题
13．y=x2+2
【解析】
分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
详
解析：y=x2+2
【解析】
分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
详解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．
故答案为y=x2+2．
点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．【解析】
【分析】
首先判断出AB、BC是⊙O的切线，进而得出FC=AF+DC，设AF=x，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
解:∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AB、BC是⊙O的切线，
∵C
解析：3 2
【解析】
【分析】
首先判断出AB、BC是⊙O的切线，进而得出FC=AF+DC，设AF=x，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
解:∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AB、BC是⊙O的切线，
∵CF 是⊙O 的切线，
∴AF=EF ，BC=EC ，
∴FC=AF+DC ，
设AF=x ，则，DF=2-x ，
∴CF=2+x ，
在RT △DCF 中，CF 2=DF 2+DC 2，
即（2+x ）2=（2-x ）2+22，解得x=
12， ∴DF=2-
12=32, ∴113322222
CDF S DF DC =⋅=⨯⨯=, 故答案为：
32. 【点睛】
本题考查了正方形的性质，切线长定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15．x1＝－12，x2＝8
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x ＋3看作一个整体，相当于前面方程中的x 来求解．
【详解】
解：∵关于x 的方程的解是，（a ，m ，b 均为常数，a≠0），
∴方程变形为，即
解析：x 1＝－12，x 2＝8
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x ＋3看作一个整体，相当于前面方程中的x 来求解．
【详解】
解：∵关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是19x =-，211x =（a ，m ，b 均为常数，
a≠0），
∴方程2(3)0a x m b +++=变形为2[(3)]0a x m b +++=，即此方程中x ＋3＝－9或x ＋
3＝11，
解得x 1＝－12，x 2＝8，
故方程2(3)0a x m b +++=的解为x 1＝－12，x 2＝8．
故答案为x 1＝－12，x 2＝8．
【点睛】
此题主要考查了方程解的含义．注意观察两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算．
16．【解析】
【分析】
如图所示，由网格的特点易得△CEF≌△DBF，从而可得BF的长，易证
△BOF∽△AOD，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB的长，进而可得答案.
【详解】
解：
解析：
817
【解析】
【分析】
如图所示，由网格的特点易得△CEF≌△DBF，从而可得BF的长，易证△BOF∽△AOD，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB的长，进而可得答案.
【详解】
解：如图所示，∵∠CEB=∠DBF=90°，∠CFE=∠DFB，CE=DB=1，
∴△CEF≌△DBF，
∴BF=EF=1
2
BE=
1
2
，
∵BF∥AD，
∴△BOF∽△AOD，
∴
1
1
2
48 BO BF
AO AD
===，
∴
8
9
AO AB
=，
∵22
1417 AB=+=，
∴
817 AO=.
故答案为：
817
【点睛】
本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股
定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.
17．x1＝0，x2＝2
【解析】
【分析】
先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴x(x-2)=0，
x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点睛】
本题考查了一
解析：x 1＝0，x 2＝2
【解析】
【分析】
先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵22x x =，
∴22=0x x -，
∴x(x-2)=0，
x 1＝0，x 2＝2．
故答案为：x 1＝0，x 2＝2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
18．．
【解析】
【分析】
根据比例的合比性质变形得：
【详解】
∵，
∴
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．
解析：
52
． 【解析】
【分析】 根据比例的合比性质变形得： 325.22
x y y ++== 【详解】 ∵32
x y =， ∴325.22
x y y ++== 故答案为：
52. 【点睛】
本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键．
19．【解析】
【分析】
首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，，然后根据，得出
∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧
2
【解析】
【分析】
首先判定直角三角形∠CAB=30°，∠ABC=60°，
AB ===PAB PBC ∠=∠，得出
∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°，定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小，构建圆，利用勾股定理，即可得解.
【详解】
∵90ACB ∠=︒，3AC =，BC =
，
∴AB ===∴∠CAB=30°，∠ABC=60°
∵PAB PBC ∠=∠，∠PAB+∠PAC=30°
∴∠ACB+∠PAC+∠PBC=∠APB=120°
∴定角定弦，点P 的轨迹是以AB 为弦，圆周角为120°的圆弧上，如图所示，当点C 、O 、P 在同一直线上时，CP 最小
∴CO ⊥AB ，∠COB=60°，∠ABO=30°
∴OB=2，∠OBC=90°
∴()2222237OC OB BC =+=
+= ∴72CP OC OP =-=
-
故答案为72-.
【点睛】
此题主要考查直角三角形中的动点综合问题，解题关键是找到点P 的位置.
20．2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的
解析：2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．21．y1＜y3＜y2
【解析】
【分析】
利用图像法即可解决问题．
【详解】
y＝mx2 +4mx+m2 +1（m＞0），
对称轴为x＝，
观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．
故答案为：y
解析：y1＜y3＜y2
【解析】
【分析】
利用图像法即可解决问题．
【详解】
y＝-mx2 +4mx+m2 +1（m＞0），
对称轴为x＝
4
2
2
m
m
-=
-
，
观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
【点睛】
本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小．22．【解析】
【分析】
作BM⊥AC于M，交AD于F，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三
角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF＝CF，根据垂线段最短得出CF＋EF≥BM，即可得出答案
解析：24 5
【解析】
【分析】
作BM⊥AC于M，交AD于F，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF＝CF，根据垂线段最短得出CF＋EF≥BM，即可得出答案．
【详解】
作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C关于AD对称，
∴BF＝CF，
根据垂线段最短得出：CF＋EF＝BF＋EF≥BF＋FM＝BM，
即CF＋EF≥BM，
∵S△ABC＝1
2
×BC×AD＝
1
2
×AC×BM，
∴BM＝
6424
55 BC AD
AC
，
即CF＋EF的最小值是24
5
，
故答案为：24
5
．
【点睛】
本题考查了轴对称−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
23．y＝－5（x+2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再
解析：y ＝－5（x +2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．
故答案为：y=-5（x+2）2-3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键． 24．4π
【解析】
【分析】
直接利用弧长公式计算即可求解．
【详解】
l ＝＝4π，
故答案为：4π．
【点睛】
本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝（n 是弧所对应的圆心角度数）
解析：4π
【解析】
【分析】
直接利用弧长公式计算即可求解．
【详解】
l ＝6012180
π⨯＝4π， 故答案为：4π．
【点睛】
本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝180
n r π（n 是弧所对应的圆心角度数） 三、解答题
25．（1）见解析；（2 【解析】
【分析】 （1）根据平行四边形的性质得AB ∥CD,AB=CD ，通过两角对应相等证明△FCG ∽△FBA ，利用对应边成比例列比例式，进行等量代换后化等积式即可；
（2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理，求出BE 的长,再由折叠性质求出BF 长，结合（1）的结论代入数据求解.
【详解】
解（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD,AB=CD,AD=BC
∴∠GCF=∠B, ∠CGF=∠BAF,
∴△FCG ∽△FBA, ∴
CG CF AB BF = , ∴CG CF CD BF
∴CG BF CD CF ⋅=⋅.
（2）∵AE BC ⊥，
∴∠AEB=90°,
∵∠B=30°, AB =
∴AE=1232
AB , 由勾股定理得，BE=6，
由折叠可得，BF=2BE=12，
∵AD=BC=8，
∴CF=4
∵CG BF CD CF ⋅=⋅,
∴124CG =,
∴ ,
∴. 【点睛】
本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质即为相似三角形判定的条件，利用相似三角形的对应边成比例是解答问题的关键.
26．（1）2y x 2x 3=-++；（2）6；（3）()1,1P
【解析】
【分析】
（1）将M,N 两点代入2
y x bx c =-++求出b,c 值，即可确定表达式；
（2）令y=0求x 的值，即可确定A 、B 两点的坐标，求线段AB 长，由三角形面积公式求解.
（3）求出抛物线的对称轴，确定M 关于对称轴的对称点G 的坐标，直线NG 与对称轴的交点即为所求P 点，利用一次函数求出P 点坐标.
【详解】
解：将点()0,3M ，()2,5N --代入2y x bx c =-++中得， 3425c b c =⎧⎨--+=-⎩
， 解得，23b c =⎧⎨=⎩
， ∴y 与x 之间的函数关系式为2y x 2x 3=-++；
（2）如图，当y=0时，2230x x -++=，
∴x 1=3,x 2= -1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∴S △ABM =
14362
⨯⨯= . 即ABM ∆的面积是6.
（3）如图，抛物线的对称轴为直线2122
b
x a ， 点()0,3M 关于直线x=1的对称点坐标为G(2，3),
∴PM=PG,
连MG 交抛物线对称轴于点P ，此时NP+PM=NP+PG 最小，即MNP ∆周长最短.
设直线NG 的表达式为y=mx+n,
将N(-2,-5),G(2,3)代入得，
2523m n m n -+=-⎧⎨+=⎩
， 解得，21m n =⎧⎨=-⎩
， ∴y=2m-1,
∴P 点坐标为(1,1).
【点睛】
本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.
如图，二次函数y=-x ²+bx+c 的图像经过M(0,3)，N(-2,-5)两点.
27．（1）4；（2）y=2x ＋83
π－3＜34) 【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理得到△AOB 是等边三角形，求出⊙O 的半径；
（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H,先求出AH=BH=
12
AB=2，再利用勾股定理得出OH 的值，进而求解.
【详解】
（1）解：（1）∵∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，又OA=OB ，
∴△AOB 是等边三角形，
∴⊙O 的半径是4；
（2）解：过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H
则∠OHA＝∠OHB＝90°∵∠APB＝30°
∴∠AOB＝2∠APB＝60°∵OA=OB，OH⊥AB
∴AH=BH=1
2
AB=2
在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2∴OH22
AO AH
3
∴y＝1
6
×16 π－
1
2
3＋
1
2
×4×x
=2x＋8
3
π－3＜34).
【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
28．（1）见解析；（2）1 2
【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质证明△DAC∽△EBC；
（2）依据△DAC∽△EBC所得条件，证明△ABC与△DEC相似，通过面积比等于相似比的平方得到结果.
【详解】
（1）证明：∵△EBC是等腰直角三角形
∴BC＝BE，∠EBC＝90°
∴∠BEC＝∠BCE＝45°．
同理∠DAC＝90°，∠ADC＝∠ACD＝45°
∴∠EBC＝∠DAC＝90°，∠BCE＝∠ACD＝45°．
∴△DAC∽△EBC．
（2）解：∵在Rt△ACD中， AC2＋AD2＝CD2，
∴2AC2＝CD2
∴
2
2 AC
CD
=,
∵△DAC∽△EBC
∴AC
BC
＝
DC
EC
，
∴EC
BC
＝
DC
AC
，
∵∠BCE＝∠ACD
∴∠BCE－∠ACE＝∠ACD－∠ACE，即∠BCA＝∠ECD，
∵在△DEC和△ABC中，EC
BC
＝
DC
AC
，∠BCA＝∠ECD，
∴△DEC∽△ABC，
∴S△ABC:S△DEC＝
2
DC
AC
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝
1
2
.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键在于利用（1）中的相似推导出第二对相似三角形.
29．（1）500户；（2）120户，图见解析；（3）5200户
【解析】
【分析】
（1）用A类贫困户的人数除以它所占的百分比即可得出答案；
（2）用总人数减去A,B,D类贫困户的人数即可得到C类贫困户，然后补全条形统计图即可；
（3）用总人数乘以C,D类所占的百分比的和即可得出答案．
【详解】
解：（1）260÷52%＝500（户）；
（2）500－260－80－40＝120（户），
如图：
（3）13000×（24%+16%）＝13000×40%＝5200（户）
答：估计至少得到4项帮扶措施的大约有5200户．
【点睛】
本题主要考查条形统计图与扇形统计图，能够将条形统计图和扇形统计图相结合并掌握用
样本估计整体的方法是解题的关键．
30．（1）30，10；（2）平均数为12元；（3）学生的捐款总数为7200元.
【解析】
【分析】
（1）由题意得出本次调查的样本容量是6118530
+++=，由众数的定义即可得出结果；
（2）由加权平均数公式即可得出结果；
（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．
【详解】
（1）本次调查的样本容量是6118530
+++=，这组数据的众数为10元；
故答案为30，10；
（2）这组数据的平均数为651110815520
12
30
⨯+⨯+⨯+⨯
=（元）；
（3）估计该校学生的捐款总数为600127200
⨯=（元）．
【点睛】
此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．
31．（1）DE与⊙O相切；理由见解析；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由D为AC的中点，得到AD CD
=，进而得到AD=CD，根据平行线的性质得到∠DOA＝∠ODE＝90°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据四边形对角互补得到∠DAB＝∠DCE，由AD CD
=得到∠DAC＝∠DCA ＝45°，求得△ABD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）解：DE与⊙O相切
证：连接OD，在⊙O中
∵D为AC的中点
∴AD CD
=
∴AD＝DC
∵AD＝DC，点O是AC的中点
∴OD⊥AC
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵DE∥AC
∴∠DOA＝∠ODE＝90°
∵∠ODE＝90°
∴OD⊥DE
∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D
∴DE与⊙O相切.
（2）解：连接BD
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠DAB＋∠DCB＝180°
又∵∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE
∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上,
∴∠ADC＝∠ABC＝90°
∵AD CD
=,
∴∠ABD＝∠CBD＝45°
∵AD＝DC，∠ADC＝90°
∴∠DAC＝∠DCA＝45°
∵DE∥AC
∴∠DCA＝∠CDE＝45°
在△ABD和△CDE中
∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°
∴△ABD∽△CDE
∴
AB
CD
＝
AD
CE
∴
6
CD
＝16
3
AD
∴AD＝DC＝2, CE＝
16
3
，AB＝6，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝2，∴AC22
AD DC
+8
∴⊙O 的半径为4.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
32．（1）()4,1；（2）4l 的函数表达式为()21412
y x =--+，24x ≤≤；（3）120a a +=，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）设x=0，求出y 的值，即可得到C 的坐标，根据抛物线L 3：21(2)12
y x =--得到抛物线的对称轴，由此可求出点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标； （2）由（1）可知点D 的坐标为（4，1），再由条件以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的解析式，可求出L 4的解析式，进而可求出L 3与L 4中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）根据：抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上，可以列出两个方程，相加可得（a 1+a 2）（h-m ）2=0．可得120a a +=．
【详解】
解：（1）∵抛物线l 3：21(2)12
y x =
--， ∴顶点为（2，-1），对称轴为x=2，
设x=0，则y=1，
∴C （0，1）， ∴点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标为：（4，1）；
（2）解：设4l 的函数表达式为()2
41y a x =-+
由“友好”抛物线的定义，过点()2,1- ()21241a ∴-=-+
12
a ∴=- 4l 的函数表达式为()21412
y x =--+
3l ∴与4l 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围是24x ≤≤
（3）120a a +=
理由如下：
∵ 抛物线()21y a x m n =-+与抛物线()2
2y a x h k =+－互为“友好”抛物线，
()()2122k a h m n n a m h k ⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩①② ①+②得：()()2
210+-=a a m h m h ≠
120a a ∴+=
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．。