《不等式(组)的新定义问题》专题(含解析)

《不等式（组）的新定义问题》专题姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 1．（2020春•盱眙县期末）定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．
（1）[]＝；
（2）如果[a]＝4，那么a的取值范围是；
（3）如果[]＝﹣5，求满足条件的所有整数x．
2．（2018•余姚市模拟）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分别求出x和y的值；
（2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围．
3．（2020春•西城区校级期中）阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若n x＜n，则《x》＝n．例如：《0.67》＝1，《2.49》＝2，…．请解决下列问题：
（1）《》＝；
（2）若《2x﹣1》＝5，则实数x的取值范围是；
（3）①《2x》＝2《x》；
②当m为非负整数时，《m+2x》＝m+《2x》；
③满足《x》x的非负实数x只有两个，其中结论正确的是．（填序号）4．（2020春•姜堰区期末）阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该
不等式组的“子方程”．例如：2x﹣1＝3的解为x＝2，的解集为﹣3≤x ＜4，不难发现x＝2在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x﹣1＝3是的“子方
程”．
问题解决：
（1）在方程①3x﹣1＝0，②x﹣1＝0，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组
的“子方程”是；（填序号）
（2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围．
5．（2020春•润州区期末）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．（注：取英文单词minimum（最少的）、maximum（最多的）前三个字母）
例如：min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；min{﹣1，2，a}，（1）min{﹣2014，﹣2015，﹣2016}＝；max{2，x2+2，2x}＝；
（2）若max{2，x+1，2x}＝2x，求x的取值范围；
（3）若min{4，x+4，4﹣x}＝max{2，x+1，2x}，求x的值．
6．（2020春•崇川区校级期末）若x为实数，定义：[x]表示不大于x的最大整数．（1）例如[1.6]＝1，[π]＝，[﹣2.82]＝．（请填空）
（2）[x]+1是大于x的最小整数，对于任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，利用这个不等式，求出满足[x]＝2x﹣1的所有解．
7．（2020春•锡山区期末）定义一种新运算“a⊗b”：当a≥b时，a⊗b＝a+2b；当a＜b时，a⊗b＝a﹣2b．
例如：3⊗（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）⊗12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣3）⊗（﹣2）＝；
（2）若（3x﹣4）⊗（5+x）＝（3x﹣4）+2（5+x），则x的取值范围为；
（3）已知（5x﹣7）⊗（﹣2x）＞1，求x的取值范围；
（4）利用以上新运算化简：（3m2+5m+10）⊗（2m2﹣m）．
8．（2020春•长沙期末）对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b 均为非零常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b．
（1）已知F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3．
①求a，b的值．
②已知关于p的不等式组求p的取值范围；
（2）若运算F满足，请你求出F（k，k）的取值范围（用含k的代数式表示，这里k为常数且k＞0）．
9．（2020春•凤凰县期末）阅读材料：
我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列各小题．
（1）若a⊕b＝1，a⊕2b＝﹣5，分别求出a和b的值；
（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．
10．（2020春•微山县期末）阅读新知
现对x，y进行定义一种运算，规定f（x，y）（其中m，n为常数且mn≠0），等式的右边就是加、减、乘、除四则运算．例如：
f（2，0）m
应用新知
（1）若f（1，1）＝5，f（2，1）＝8，求m，n的值；
拓展应用
（2）已知f（﹣3，0）＞﹣3，f（3，0），且m+n＝16，请你求出符合条件的m，
n的整数值．
11．（2020春•通山县期末）阅读材料：形如2＜2x+1＜3的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得1＜2x＜2，然后同时除以2，得x＜1．
解决下列问题：
（1）请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组；
（2）利用不等式的性质解双连不等式2≥﹣2x+3＞﹣5；
（3）已知﹣3≤x，求3x+5的整数值．
12．（2020春•天心区期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．
（1）在方程2x﹣1＝1①，4x﹣3＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组的相伴方程的序号．
（2）写出不等式组的一个相伴方程，使得它的根是整数：．（3）若方程2x﹣1＝3；1＝2都是关于x的不等式组的相伴方程，求m
的取值范围．
13．（2020秋•岳麓区校级月考）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．
例如：不等式组M：是N：的“子集”．
（1）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是；
（2）已知a，b，c，d为不互相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组A：a ≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”，B是C的“子集”，求a﹣b+c﹣d的值．
（3）已知不等式组M：有解，且M是不等式组N：1＜x≤3的“子集”，则满足条件的有序整数对（m，n）共有多少个？
14．（2020春•石城县期末）阅读材料：分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如0，如何求其解集呢？
它的理论依据是，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：
若a＞0，b＞0，则0；若a＜0，b＜0，则0．
若a＞0，b＜0，则0；若a＜0，b＞0，则0．
（1）反之：若0，则或，若0，则：；
（2）根据上述材料，求不等式的解集．
15．（2020春•椒江区期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且mn），例如：min{3，﹣1}＝﹣1，、min据此解决下列问题：
（1）min；
（2）若min2，求x的取值范围；
（3）若min{2x﹣5，x+3}＝﹣2，求x的值．
16．（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣
3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．
（1）求（﹣2）※；
（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
17．（2020•张家界）阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b 时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝；
（2）当min时，求x的取值范围．
18．（2020春•邗江区期末）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣4）*3＝．
（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为．
（3）计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）＝．
（4）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．
19．（2020春•仁寿县期末）对于任意实数a、b约定关于⊗的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如：（﹣3）⊗2＝2×（﹣3）+2＝﹣4．
（1）3⊗（﹣5）的值等于；
（2）若x满足（x+2）⊗3＞7，求x的取值范围；
（3）若x⊗（﹣y）＝5，且2y⊗x＝7，求x+y的值．
20．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：
（1）x☆4，求x取值范围；
（2）若|x☆（）|＝3，求x的值；
（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．21．（2020春•丹阳市校级期末）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a ＜b时，a※b＝2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）填空：（﹣2）※3＝；
（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为；
（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围；
（4）小明在计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）时随意取了一个x的值进行计算，得出结果是0，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．
22．（2020春•雨花区期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B 的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
1．（2020春•盱眙县期末）定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．
（1）[]＝﹣3；
（2）如果[a]＝4，那么a的取值范围是4≤a＜5；
（3）如果[]＝﹣5，求满足条件的所有整数x．
【分析】（1）直接利用新定义求解可得；
（2）根据新定义求解可得；
（3）利用新定义列出不等式组﹣54，解之求出x的范围，从而得出答案．【解析】（1）[]＝﹣3，
故答案为：﹣3．
（2）∵[a]＝4，
∴4≤a＜5；
故答案为：4≤a＜5；
（3）[]＝﹣5，
∴﹣54，
解得：﹣5≤x，
∴满足条件的x的整数有﹣4，﹣5．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．2．（2018•余姚市模拟）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分别求出x和y的值；
（2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围．
【分析】（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解；
（2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解．
【解析】（1）根据题意得，
解得；
（2）根据题意得，
解得﹣2＜x．
故x的取值范围是﹣2＜x．
【点评】此题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组，熟练掌握解一元一次不等式组，二元一次方程组的方法是解本题的关键．
3．（2020春•西城区校级期中）阅读理解：我们把对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为《x》，即当n为非负整数时，若n x＜n，则《x》＝n．例如：《0.67》＝1，《2.49》＝2，…．请解决下列问题：
（1）《》＝1；
（2）若《2x﹣1》＝5，则实数x的取值范围是x；
（3）①《2x》＝2《x》；
②当m为非负整数时，《m+2x》＝m+《2x》；
③满足《x》x的非负实数x只有两个，其中结论正确的是②．（填序号）
【分析】（1）根据题意判断即可；
（2）我们可以根据题意所述利用不等式解答；
（3）根据题意可以判断题目中各个结论是否正确，从而可以解答本题．
【解析】（1）《》＝1．
（2）若《2x﹣1》＝5，则52x﹣1＜5，解得x．
（3）《2x》＝2《x》，例如当x＝0.3时，《2x》＝1，2《x》＝0，故①错误；
当m为非负整数时，不影响“四舍五入”，故《m+2x》＝m+《2x》，故②正确；
《x》x，则x x x，解得﹣1＜x≤1，故③错误．
故答案为：1；x；②．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，根据题目中的结论，错误的举出反例或说明理由．
4．（2020春•姜堰区期末）阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该
不等式组的“子方程”．例如：2x﹣1＝3的解为x＝2，的解集为﹣3≤x ＜4，不难发现x＝2在﹣3≤x＜4的范围内，所以2x﹣1＝3是的“子方
程”．
问题解决：
（1）在方程①3x﹣1＝0，②x﹣1＝0，③2x+3（x+2）＝21中，不等式组
的“子方程”是③；（填序号）
（2）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的“子方程”，求k的取值
范围；
（3）若方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）解不等式组求得其解集，解方程求出x，根据“子方程”的定义列出关于k 的不等式组，解之可得；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
【解析】（1）解方程3x﹣1＝0得：x，
解方程x﹣1＝0得：x，
解方程2x+3（x+2）＝21得：x＝3，
解不等式组得：2＜x≤5，
所以不等式组的“子方程”是③．
故答案为：③；
（2）解不等式3x﹣6＞4﹣x，得：x，
解不等式x﹣1≥4x﹣10，得：x≤3，
则不等式组的解集为x≤3，
解2x﹣k＝2得x，
∴3，
解得3＜k≤4；
（3）解方程2x+4＝0得x＝﹣2，
解方程1得x＝﹣1，
当m＞2时，不等式组为，此时不等式组的解集为x＞1，不符合题意，舍去；
当m＜2时，解关于x的不等式组得m﹣5≤x＜1，
∵2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
解得2＜m≤3．
【点评】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解“子方程”的定义是解题的关键．
5．（2020春•润州区期末）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．（注：取英文单词minimum（最少的）、maximum（最多的）前三个字母）
例如：min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；min{﹣1，2，a}，（1）min{﹣2014，﹣2015，﹣2016}＝﹣2016；max{2，x2+2，2x}＝x2+2；
（2）若max{2，x+1，2x}＝2x，求x的取值范围；
（3）若min{4，x+4，4﹣x}＝max{2，x+1，2x}，求x的值．
【分析】（1）根据新定义即可得出结论；
（2）根据新定义列出关于x的不等式组，解之可得；
（3）分情况分别列出关于x的方程，解方程可得．
【解析】（1）∵﹣2014＞﹣2015＞﹣2016，
∴min{﹣2014，﹣2015，﹣2016}＝﹣2016；
∵x2+2＞2x，x2+2≥2，
∴max{2，x2+2，2x}＝x2+2；
故答案为：﹣2016，x2+2；
（2）∵max{2，x+1，2x}＝2x，
∴，
解得：x≥1；
（3）①当4最小时，∴x+4＞4，4﹣x＞4，此种情况不成立，
②当x+4最小时，∴4≥x+4，4﹣x≥x+4，∴x≤0，x+4＝2，解得：x＝﹣2；
③当4﹣x最小时，4＞4﹣x，4+x＞4﹣x，∴x＞0
Ⅰ、当2最大时，∴2≥x+1，2≥2x，∴x≤1，∴4﹣x＝2，解得：x＝2（舍）；
Ⅱ、当2x最大时，∴2x＞2，2x＞x+1，∴x＞1，∴4﹣x＝2x，解得：x；
Ⅲ、当x+1最大时，∴x+1＞2，x+1＞2x，此种情况不成立，
综上，x的值为或﹣2．
【点评】本题主要考查新定义下解不等式组和一元一次方程的能力，根据新定义列出不等式组和一元一次方程是根本，由已知等式找到x的两个分界点以准确分类讨论是解题的关键．
6．（2020春•崇川区校级期末）若x为实数，定义：[x]表示不大于x的最大整数．（1）例如[1.6]＝1，[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3．（请填空）
（2）[x]+1是大于x的最小整数，对于任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，利用这个不等式，求出满足[x]＝2x﹣1的所有解．
【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数即可求解；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．【解析】（1）[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3．
（2）∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，
∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，
解得0＜x≤1，
∵2x﹣1是整数，
∴x＝0.5或x＝1，
故答案为：3，﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，会解答一元一次不等式．
7．（2020春•锡山区期末）定义一种新运算“a⊗b”：当a≥b时，a⊗b＝a+2b；当a＜b时，a⊗b＝a﹣2b．
例如：3⊗（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）⊗12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣3）⊗（﹣2）＝1；
（2）若（3x﹣4）⊗（5+x）＝（3x﹣4）+2（5+x），则x的取值范围为x；
（3）已知（5x﹣7）⊗（﹣2x）＞1，求x的取值范围；
（4）利用以上新运算化简：（3m2+5m+10）⊗（2m2﹣m）．
【分析】（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式知3x﹣4≥5+x，解之可得；
（3）由题意可得①，②，分别求解可得；
（4）先利用作差法判断出3m2+5m+10＞2m2﹣m，再新运算化简即可得．
【解析】（1）（﹣3）⊗（﹣2）＝﹣3﹣2×（﹣2）＝1，
故答案为：1；
（2）∵（3x﹣4）⊗（5+x）＝（3x﹣4）+2（5+x），
∴3x﹣4≥5+x，
解得：x，
故答案为：x．
（3）由题意可知分两种情况讨论：
①，解之得x＞8，
②，解之得x＜1，
综上所述：x的取值范围为x＞8或x＜1；
（4）（3m2+5m+10）﹣（2m2﹣m）
＝m2+6m+10
＝（m+3）2+1＞0，
原式＝（3m2+5m+10）+2（2m2﹣m）＝7m2+3m+10．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
8．（2020春•长沙期末）对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b 均为非零常数）．例如：F（2，3）＝2a+3b．
（1）已知F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3．
①求a，b的值．
②已知关于p的不等式组求p的取值范围；
（2）若运算F满足，请你求出F（k，k）的取值范围（用含k的代数式表示，这里k为常数且k＞0）．
【分析】（1）①根据F（2，﹣1）＝﹣1，F（3，0）＝3列出关于a、b的方程组，解之可得；
②由列出关于p的不等式组，解之可得；
（2）根据列出关于a、b的不等式组，相加得出a+b的取值范围，再进一步求解可得．
【解析】（1）①由题意知，
解得；
②由题意知，
解得1＜p≤4；
（2）由题意知，
∴﹣3＜3a+3b≤9，
∴﹣1＜a+b≤3，
∵F（k，k）＝ka+kb，且﹣k＜k（a+b）≤3k，
∴﹣k＜F（k，k）≤3k．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据新定义及所给不等式组列出关于p的不等式组和关于a、b的不等式组是解答此题的关键．9．（2020春•凤凰县期末）阅读材料：
我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列各小题．
（1）若a⊕b＝1，a⊕2b＝﹣5，分别求出a和b的值；
（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．
【分析】（1）根据新运算，得到方程组，解方程组即可求解；
（2）根据新运算，得到不等式组，解不等式组即可．
【解析】（1）根据题意，得，
解得：，
∴a和b的值分别为，b＝2；
（2）根据题意，得，
解得：．
∴m的取值范围．
【点评】此题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组以及不等式组的方法和步骤是解本题的关键．
10．（2020春•微山县期末）阅读新知
现对x，y进行定义一种运算，规定f（x，y）（其中m，n为常数且mn≠0），等式的右边就是加、减、乘、除四则运算．例如：
f（2，0）m
应用新知
（1）若f（1，1）＝5，f（2，1）＝8，求m，n的值；
拓展应用
（2）已知f（﹣3，0）＞﹣3，f（3，0），且m+n＝16，请你求出符合条件的m，n的整数值．
【分析】（1）根据题中的新定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到a 与b的值；
（2）根据题中的新定义列出不等式组，求得不等式组的解，根据m+n＝16确定出m、n的整数值．
【解析】（1）根据题中的新定义得：，
解得：；
（2）根据题中的新定义得：，
解得：﹣3＜m＜2，
∵m、n是整数，且m+n＝16，
∴或或．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2020春•通山县期末）阅读材料：形如2＜2x+1＜3的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得1＜2x＜2，然后同时除以2，得x＜1．
解决下列问题：
（1）请你写一个双连不等式并将它转化为不等式组；
（2）利用不等式的性质解双连不等式2≥﹣2x+3＞﹣5；
（3）已知﹣3≤x，求3x+5的整数值．
【分析】（1）3＜x﹣2＜5，转化为不等式组；
（2）根据方法二的步骤解答即可；
（3）根据方法二的步骤解答，得出﹣4≤3x+5，即可得到结论．
【解析】（1）3＜x﹣2＜5，
转化为不等式组；
（2）2≥﹣2x+3＞﹣5，
不等式的左、中、右同时减去3，得﹣1≥﹣2x＞﹣8，
同时除以﹣2，得x＜4；
（3）﹣3≤x，
不等式的左、中、右同时乘以3，得﹣9≤3x，
同时加5，得﹣4≤3x+5，
∴3x+5的整数值﹣4或﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，参照方法二解不等式组是解题的关键，应用的是不等式的性质．
12．（2020春•天心区期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．
（1）在方程2x﹣1＝1①，4x﹣3＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组
的相伴方程的序号①③．
（2）写出不等式组的一个相伴方程，使得它的根是整数：x＝﹣2．（3）若方程2x﹣1＝3；1＝2都是关于x的不等式组的相伴方程，求m
的取值范围．
【分析】（1）分别解出三个一元一次方程的解和一元一次不等式的解集，方程的解在不等式解集范围内即为所求；
（2）求出不等式组的解集，在此范围内只有x＝﹣2一个整数解，写出符合条件的方程即可；
（3）求出不等式组的解集为m＜x≤m+2，x＝2和x＝3在此范围内，列出不等式m＜2，m+2≥3即可求解．
【解析】（1）分别求解一元一次方程为①x＝1；②x；③x＝2；
不等式组的解集为，
∵x＝1，x＝2是不等式组的解，
∴不等式组的相伴方程是①③；
故答案为①③；
（2）由不等式组，解得，﹣3＜x＜﹣1，则它的相伴方程的解是整数，
所以，相伴方程x＝﹣2，
故答案为x＝﹣2；
（3）得，
不等式组的解集为m＜x≤m+2，
解方程2x﹣1＝3；1＝2得，x＝2和x＝3，
∵方程2x﹣1＝3；1＝2都是关于x的不等式组的相伴方程，
∴m＜2，m+2≥3，
∴1≤m＜2．
【点评】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组的解；熟练掌握不等式组的解集特点是解本题的关键．
13．（2020秋•岳麓区校级月考）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．
例如：不等式组M：是N：的“子集”．
（1）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是a
≥2；
（2）已知a，b，c，d为不互相等的整数，其中a＜b，c＜d，下列三个不等式组A：a ≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”，B是C的“子集”，求a﹣b+c﹣d的值．
（3）已知不等式组M：有解，且M是不等式组N：1＜x≤3的“子集”，则满
足条件的有序整数对（m，n）共有多少个？
【分析】（1）根据“子集”的定义确定出a的范围即可；
（2）根据“子集”的定义确定出各自的值，代入原式计算即可求出值；
（3）根据“子集”的定义确定出所求即可．
【解析】（1）∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”，
∴a≥2，
故答案为a≥2；
（2）∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中a＜b，c＜d，
A：a≤x≤b，B：c≤x≤d，C：1＜x＜6满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，∴a＝3，b＝4，c＝2，d＝5，
则a﹣b+c﹣d＝3﹣4+2﹣5＝﹣4；
（3）不等式组M整理得：，
由不等式组有解得到，即x，
∵M：1＜x≤3是不等式组的“子集”，
∴1，3，即m＞2，n≤9，
当n＝9时，m＝3，4，5，
当n＝8时，m＝3，4，5，
当n＝7时，m＝3，4，
当n＝6时，m＝3，
当n＝5时，m＝3，
共10种情形，
∴满足条件的有序整数对（m，n）有10个
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集是解此题的关键．14．（2020春•石城县期末）阅读材料：分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如0，如何求其解集呢？
它的理论依据是，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：
若a＞0，b＞0，则0；若a＜0，b＜0，则0．
若a＞0，b＜0，则0；若a＜0，b＞0，则0．
（1）反之：若0，则或，若0，则：或；
（2）根据上述材料，求不等式的解集．
【分析】（1）根据有理数除法法则求解可得；
（2）根据题意列出不等式组，解之可得．
【解析】（1）若0，则或，
故答案为：或；
（2）由题意知①或②，
解不等式组①得x≥3；
解不等式组②得x＜﹣1，
故不等式的解集为x≥3或x＜﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．（2020春•椒江区期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且mn），例如：min{3，﹣1}＝﹣1，、min据此解决下列问题：
（1）min；
（2）若min2，求x的取值范围；
（3）若min{2x﹣5，x+3}＝﹣2，求x的值．
【分析】（1）利用题中的新定义确定出所求即可；
（2）利用题中的新定义得出2，计算即可求出x的取值；
（3）利用题中的新定义分类讨论计算即可求出x的值．
【解析】（1）根据题中的新定义得：min；
故答案为：；
（2）由题意2，
解得：x≥3.5；
（3）若2x﹣5＝﹣2，解得：x＝1.5，此时x+3＝4.5＞﹣2，满足题意；
若x+3＝﹣2，解得：x＝﹣5，此时2x﹣5＝﹣15＜﹣2，不符合题意，
综上，x＝1.5．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．（2020•通辽）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．
（1）求（﹣2）※；
（2）若3※m≥﹣6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；
（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．
【解析】（1）（﹣2）※（﹣2）2（﹣2）34233；
（2）3※m≥﹣6，
则32m﹣3m﹣3m≥﹣6，
解得：m≥﹣2，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤．
17．（2020•张家界）阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b 时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）min{﹣1，3}＝﹣1；
（2）当min时，求x的取值范围．
【分析】（1）比较大小，即可得出答案；
（2）根据题意判断出，解不等式即可判断x的取值范围．
【解析】（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）由题意得：
3（2x﹣3）≥2（x+2）
6x﹣9≥2x+4
4x≥13
x，
∴x的取值范围为x．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
18．（2020春•邗江区期末）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣4）*3＝﹣10．
（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为x≥5．
（3）计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）＝4x2+3．
（4）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．
【分析】（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式知3x﹣4≥x+6，解之可得；
（3）先利用作差法判断出2x2﹣4x+8＞x2+2x﹣2，再根据公式计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x ﹣2）即可得；
（4）由题意可得或，分别求解可得；【解析】（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，
故答案为：﹣10；
（2）∵（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），
∴3x﹣4≥x+6，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
（3）∵2x2﹣4x+7﹣（x2+2x﹣2）
＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2≥0；
∴2x2﹣4x+7≥x2+2x﹣2，
原式＝2x2﹣4x+7+2（x2+2x﹣2）
＝2x2﹣4x+7+2x2+4x﹣4
＝4x2+3；
（4）由题意知或，
解得：x＞5或x＜1；
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19．（2020春•仁寿县期末）对于任意实数a、b约定关于⊗的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如：（﹣3）⊗2＝2×（﹣3）+2＝﹣4．
（1）3⊗（﹣5）的值等于1；
（2）若x满足（x+2）⊗3＞7，求x的取值范围；
（3）若x⊗（﹣y）＝5，且2y⊗x＝7，求x+y的值．
【分析】（1）根据公式a⊗b＝2a+b代入计算可得；
（2）根据公式列出关于x的不等式，解之可得答案；
（3）根据已知条件并结合公式列出关于x、y的方程组，将两个方程相加，再两边都除以3即可得出答案．
【解析】（1）3⊗（﹣5）＝2×3+（﹣5）＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
（2）∵（x+2）⊗3＞7，
∴2（x+2）+3＞7，
∴2x+4+3＞7，
∴2x+7＞7，
∴2x＞0，
解得x＞0；
（2）∵x⊗（﹣y）＝5，且2y⊗x＝7，
∴，
①+②，得：3x+3y＝12，
∴x+y＝4．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，根据已知条件并结合公式列出不等式和方程组是解题的关键．
20．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n＝mn﹣3n．例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：
（1）x☆4，求x取值范围；
（2）若|x☆（）|＝3，求x的值；
（3）若方程x☆□x＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x＝1，求□中的常数．【分析】（1）根据已知公式得出x4，解之可得答案；
（2）根据公式得出|x|＝3，即可得出x3或x3，解之可得答案；
（3）根据公式得到□x2﹣3•□x＝6，把x＝1代入得到□﹣3□＝6，即可求得□＝﹣3．【解析】（1）∵x☆4，
∴x4，
解得：x＞11；
（2）∵|x☆（）|＝3，
∴|x|＝3，
∴x3或x3，
解得：x＝﹣9或x＝15；
（3）∵方程x☆□x＝6，
∴□x2﹣3•□x＝6，
∵方程的一个解为x＝1，
∴□﹣3□＝6，
∴□＝﹣3．
【点评】此题考查了实数的运算，解一元一次不等式，一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（2020春•丹阳市校级期末）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a ＜b时，a※b＝2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）填空：（﹣2）※3＝7；
（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为x≥7；（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围；
（4）小明在计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x﹣6）时随意取了一个x的值进行计算，得出结果是0，小丽判断小明计算错了，小丽是如何判断的？请说明理由．
【分析】（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式知3x﹣4≥2x+3，解之可得；
（3）由题意可得或，分别求解可得；（4）先利用作差法判断出2x2﹣2x+4＞x2+4x﹣6，再根据公式计算（2x2﹣2x+4）※（x2+4x ﹣6）即可．
【解析】（1）（﹣2）※3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，
故答案为：﹣7；
（2）∵（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），
∴3x﹣4≥2x+3，
解得：x≥7，
故答案为：x≥7．
（3）由题意知或，
解得：3≤x＜10或x＜3，
∴x＜10．
（4）∵2x2﹣2x+4﹣（x2+4x﹣6）
＝x2﹣6x+10
＝（x﹣3）2+1＞0
∴2x2﹣2x+4＞x2+4x﹣6，
原式＝2（2x2﹣2x+4）+（x2+4x﹣6）
＝4x2﹣4x+8+x2+4x﹣6
＝5x2+2；
∴小明计算错误．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
22．（2020春•雨花区期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．
如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B 的“子式”．
（1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出2，解不等式即可；
（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据m，n＜﹣1，且k 为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值；
【解析】（1）不等式A：x+2＞1的解集为x＞﹣1，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）∵不等式C：的解集为x，不等式D：2x﹣（3﹣x）＜3的解集为x＜2，且C是D的“子式”，
∴2，
解得a；
（3）由求得，
∵m，n＜﹣1，
∴，
解得﹣1.5≤k＜3，
∵k为整数，
∴k的值为﹣1，0，1，2；
不等式P：kx+6＞x+4整理得，（k﹣1）x＞﹣2；不等式Q：6（2x﹣1）≤4x+2的解集为x≤1，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴不等式P：kx+6＞x+4的解集为x，
∴k﹣1＜0，且1，
解得﹣1＜k＜1，
∴k＝0．
【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．。