哈尔滨市初中数学教师技能大赛编题

哈尔滨市初中数学教师编题竞赛
八十四中学崔秀艳
一、如图，已知矩形ABCD ，AB=3，BC=3，在BC 上取两点E ，F （E 在F 左边），以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PE ，PF 分别交AC 于点G ，H ．
请根据以上条件编制一道在平面直角坐标系中一次函数与几何的综合题．编题：已知如图，矩形AOCD ，O 轴的正半轴上，AO=3，OC=3，等边⊿
PEF 的顶点P 在射线AD 上，顶点E ，F 均落在x 轴上（E 在F 左边），PE ，PF 分别交射线AC 于点G ，H ． ∵AO=3∴PM= AO=3 ∵⊿PEF 是等边三角形 ∴∠PEM=60° ∠PEM=
2
3
=
PE PM ∴23
2
3sin =⋅=∠=
PEM PM PE
为矩形∴OM=AP=t
中∠PME=90∠PEM=30°
EM=
2
1
PE=1）∵四边形AOCD 是矩形
510
4
∴AP ∥CE ∴⊿AGP ∽⊿CGE ∴PG:GE=AP:CE=3：1 ①当0＜t ≤1时EO=1-t ∴CE=OE+OC=4-t
即t ：（4-t ）=3：1解得t=3（舍去） ②当1＜t ＜4时，OE = t -1∴CE= OC- OE =4-t
即t ：（4-t ）=3：1解得t=3
∴P （3，3）F （4，0）设PF 的解析式为y=kx+b ，解得32-x 3y = ③当t ＞4时，OE = t -1∴CE= OC- OE =t-4
即t ：（t -4）=3：1解得t=6
∴P （6，3）F （5，0）设PF 的解析式为y=kx+b ，解得35-x 3y =
∴当PG:GE=3：1时，t=3 PF 的解析式为32-x 3y =或t=6 PF 的解析式为35-x 3y =
二、如图，∠ABM 为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE ⊥AD ，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF ⊥CE ，交BD 于F ． 请根据以上条件编一道以几何知识为主的综合题. 具体要求：
（1）设计三问，难度有梯度，相当于中考最后压轴题的难度； （2）至少体现10个知识点； （3）要有图形变换；
（4）第（3）问的设计要新颖、有特点，不落入俗套；
（5）题目中给的条件可以改变，知识内容不能超出老课程标准的要求范围； （6）要有完整的解答过程；
（7）编制的题目没有知识性错误。

编题：如图，∠ABM 为直角，点C 为线段BA 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结AD ，作BE ⊥AD ，垂足为E ，连结CE ，过点E 作EF ⊥CE ，交BD 于F ．
（1）当∠ADB=30°时，求证：EF=BE
（2）无论D 运动到何处，试说明
AD
CF
为定值； （3）把⊿EFD 沿AD 翻折，F 点落于F ’处，连接EF ’、DF ’，试判断四边形EFDF ’的形状，并说明理由.
答案：（1）∵∠ABM 为直角，BE ⊥AD ，垂足为E ， EF ⊥CE ，垂足为E ∴∠ABD=∠AEB=∠BED=∠CEF=90° ∵∠ADB=30°∴∠A=60°
∵C 为线段BA 的中点∴在RT ⊿ABE 中,CE=AC=BC=
2
1AB ∴CE=AC=AE, ∠ACE=∠A =60°
∵在RT ⊿CBF 和RT ⊿CEF 中, CE =CB,CF=CF ∴RT ⊿CBF ≌RT ⊿CEF （HL ） ∴∠BCF =∠ECF =∠ACE=∠A =60°∴⊿AEB ≌⊿CEF （ASA ）∴EF=BE （2）由（1）可知RT ⊿CBF ≌RT ⊿CEF ∴∠BCF =∠ECF 且CE =CB
∴CF ⊥BE ∴∠BCF+∠ABE=90°
F E
C
且在RT ⊿ABE 中，∠A+∠ABE=90°∴∠BCF=∠A ∴CF ∥AD
∴⊿CBF ∽⊿ABD ∴
2
1
==AB BC AD CF （3）四边形EFDF ’为菱形
理由：由（2）可知⊿CBF ∽⊿ABD ∴2
1
==AB BC BD BF 且∠BED=90° ∴BF=FD=BF=
2
1
BD ∵⊿EFD 沿AD 翻折，F 点落于F ’处∴⊿EFD ≌⊿EF ’D ∴EF=EF ’,FD=F ’D ∴EF=EF ’=FD=F ’D ∴四边形EFDF ’为菱形
C
A。