高中数学 第一章 统计案例滚动训练(一)新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题

第一章统计案例
滚动训练(一)
一、选择题
1．根据变量x，y的观测数据得到的散点图如图所示，则( )
A．变量x与y正相关
B．变量x与y负相关
C．变量x与y可能正相关，也可能负相关
D．变量x与y没有相关性
考点线性回归分析
题点回归直线的概念
答案 A
解析图中的数据y随x的增大而增大，因此变量x与y正相关，故选A.
2．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长和面积
C．正n边形的边数和内角度数和
D．人的年龄和身高
考点回归分析
题点回归分析的概念和意义
答案 D
解析函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D. 3．在建立u与v的回归模型时，选择了4种不同模型，其中拟合最好的为( )
A．相关指数R2为0.75的模型
B．相关指数R2为0.90的模型
C．相关指数R2为0.25的模型
D ．相关指数R 2
为0.55的模型 考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用 答案 B
解析 相关指数R 2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选B.
4．两个变量x 与y 的散点图如图，可用如下函数进行拟合，比较合理的是( )
A ．y ＝a ·x b
B ．y ＝a ＋b ln x
C ．y ＝a ·e bx
D ．y ＝a ·e b x
答案 B
解析 由散点图知，此曲线类似对数型函数曲线，可用函数y ＝a ＋b ln x 进行拟合．故选B. 5．已知以下结论：
①事件A 与B 的关系越密切，K 2
的值就越大； ②K 2
的大小是判定事件A 与B 是否相关的唯一依据； ③若判定两事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生． 其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
考点 独立性检验思想的应用 题点 独立性检验在分类变量中的应用 答案 B
解析 ①正确；对于②，判断A 与B 是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助图形或概率运算，故②错误；对于③，两事件A 与B 有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A 发生了B 一定发生，故③错误．正确的只有1个，故选B.
6．在新媒体时代，酒香也怕巷子深，宣传是让大众最快了解自己产品的最有效的手段，已知某种产品的宣传费用x 与销售总额y 的统计数据如下表所示：
宣传费用x 万元 4 2 3 5 销售总额y 万元
49
26
39
54
根据上表求得的线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
中的b ^
为9.4，据此模型预报宣传费用为6万元时销售
额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72万元
考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用 答案 B
解析 由数据统计表可得x ＝3.5，y ＝42，根据回归直线的性质得点(3.5,42)在回归直线
上，代入方程y ^
＝9.4x ＋a ^
可得a ^
＝9.1，故线性回归方程为y ^
＝9.4x ＋9.1，因此当x ＝6时，估
计销售额y ^
＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．故选B.
7．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据：
种子处理 种子未处理
总计 生病 32 101 133 不生病 61 213 274 总计
93
314
407
根据以上数据，则( )
A ．种子是否经过处理跟是否生病有关
B ．种子是否经过处理跟是否生病无关
C ．种子是否经过处理决定是否生病
D ．以上都是错误的
考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 B
解析 因为K 2
的观测值k ＝407×(32×213－101×61)
2
133×274×93×314
≈0.164 1<2.706，所以有90%的把握
可判断种子是否经过处理与是否生病无关，故选B.
8．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用 答案 A
解析 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 二、填空题
9．若对于变量y 与x 的10组统计数据的回归模型中，相关指数R 2
＝0.95，又知残差平方和
为120.53，那么i ＝1
10(y i －y )2
＝________.
考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用 答案 2410.6
解析 依题意，由0.95＝1－
120.53i ＝1
10(y i －y )2，所以i ＝110(y i －y )2＝2 410.6. 10．如果由一个2×2列联表中的数据计算得k ＝4.073，那么有________的把握认为两变量有关系，已知P (K 2
≥3.841)≈0.05，P (K 2
≥5.024)≈0.025. 考点 独立性检验思想的应用 题点 独立性检验在分类变量中的应用 答案 95%
解析 因为K 2
的观测值k ＝4.073>3.841，
P (K 2≥3.841)≈0.05，
所以有95%的把握认为两变量有关系．
11．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程
为y ^
＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50cm 时，肱骨长度的估计值为________cm. 答案 56.19
解析 根据线性回归方程y ^
＝1.197x －3.660，将x ＝50代入，得y ^
＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.
三、解答题
12．抽测了10名13岁男生的身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)，得到如下数据：x 157153151158156159160158160162
y 45.544424644.54546.5474549
(1)画出散点图；
(2)你能从散点图中发现身高与体重近似成什么关系吗？
(3)如果近似成线性关系，试画出一条直线来近似地表示这种关系．
考点线性回归分析
题点回归直线的应用
解(1)散点图如图所示：
(2)从散点图可知，当身高增加时，体重也增加，而且这些点在一条直线附近摆动，因此身高与体重线性相关．
(3)作出直线如图所示：
13．某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期3月11日3月12日3月13日3月14日3月15日昼夜温差(℃)101113128
发芽数(颗)2325302616
(1)从3月11日至3月15日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；
(2)请根据3月12日至3月14日的三组数据，令昼夜温差为x，发芽数为y，求出y关于x
的线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月11日与3月15日的两组数据检验，问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
(参考公式：b ^
＝
i ＝1
n
(x i －x )·(y i －y )
i ＝1
n
(x i －x )
2
或b ^
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x 2
，a ^
＝y －b x )
考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用
解 (1)m ，n 的所有取值情况有(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共有10个．
设m ，n “均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有(25,30)，(25,26)，(30,26)，所以
P (A )＝3
10，故事件A 的概率为310
.
(2)由数据得x ＝12，y ＝27,3x y ＝972，∑i ＝1
3
x i y i ＝977，
∑i ＝1
3
x 2
i ＝434,3x 2
＝432， 由公式，得b ^
＝977－972434－432＝52，a ^＝27－52
×12＝－3，
所以y 关于x 的线性回归方程为y ^
＝5
2
x －3.
(3)当x ＝10时，y ^
＝22，|22－23|<2，当x ＝8时，y ^
＝17，|17－16|<2， 所以得到的线性回归方程是可靠的． 四、探究与拓展
14．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上 考点 回归分析
题点 回归分析的概念和意义
答案 B
解析 通常把自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量．故选B.
15．某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩
x 与物理成绩y 如下表：
数据表明y 与x 之间有较强的线性关系． (1)求y 关于x 的线性回归方程；
(2)该班一名同学的数学成绩为110分，利用(1)中的回归方程，估计该同学的物理成绩； (3)本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人，填写下面2×2列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？
参考数据：回归直线的系数b ^
＝
i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
i ＝1
n
(x i －x )
2
，a ^＝y －b ^
x .
K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，
P (K 2≥6.635)＝0.01， P (K 2≥10.828)＝0.001.
考点 独立性检验思想的应用
题点 分类变量与统计、概率的综合性问题 解 (1)由题意可知x ＝120，y ＝90，
故b ^
＝
i ＝1
5
(x i －x )(y i －y )
i ＝1
5
(x i －x )
2
＝
500＋0＋0＋180＋400625＋100＋0＋225＋400＝1 0801 350＝4
5
＝0.8，
a ^
＝90－120×0.8＝－6，
故线性回归方程为y ^
＝0.8x －6.
(2)将x ＝110代入上述方程，得y ^
＝0.8×110－6＝82.
(3)由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的共6人． 于是可以得到下面2×2列联表：
于是K 2
＝60×(24×18－12×6)
2
30×30×36×24
＝10>6.635，
因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．。