串珠成线 轻负高效——“一题复习法”在高中数学教学中的运用

38数学教学研究第40卷第3期 2021年5月
串珠成线轻负高效
“一题复习法”在高中数学教学中的运用
李信夫
(浙江杭州市富阳区第二中学311400)
摘要：传统数学教学与复习中.题海战术还是应用普遍.教师教得苦，学生学得累，效率低下.教育界呼吁提高课堂效率.激发学生兴趣，发展学生思维，而“一题复习法”就可以很好地解决这个问题.本文主要阐述了“一题复习法”的实施原则，并提供了一题多问、一题多变、一题多解等方面的实施方案和教学策略.
关键词：一题多问；一题多变；一题多解；课堂效率
1问题研究的背景
随着高中新课程改革的进一步推进和实施，教 育界对高中数学课堂教学的实效性的要求越来越高.基于这样的背景，从高中数学课堂高效教学的角度出发，如何合理的在45分钟内充分地发挥每一道例题、习题的功能，丰富例题包含的知识点，调动起学生的学习兴趣，使不同层次的学生数学思维能力得到提升，并逐步培养起主动探究的精神和创新意识，“一题复习法”在数学教学中有着独有的功能.
2目前高中数学“题海战术”的缺点
2.1 教师层面
在新一轮数学课程改革从理念渗透到内容实施的过程中.教师的观念和意识上有了很大的变化，然 而，因为应试教育的巨大压力，在目前高中具体的教学实践中，教师仍然没有脱离以“题海战术”为主的教学方式，还是常常通过大量的解题训练来提升学生的解题能力.有的教师一堂课的教学内容多而无法在一节课内完成；有的教师为了让学生多进行训练，就缩减内容，不可能引导学生进行观察、实验、猜 想、推理、验证、合作与交流等数学活动.有的教师不能按时下课，或者利用学生的自习课时间去继续讲题……如此种种，都使学生学习兴趣殆尽，课堂教学效率低下.
2.2 学生层面
不可否认，“题海战术”对于数学的学习是有一种有效的手段，但是繁重、重复的训练使学生产生疲
劳感，会束缚学生的数学思维，窒息学生的求知欲望.大量的训练使学生没有时间进行分析、反思、纠 正，久而久之，思维僵化，只会“做过的题”，模仿“见 过的题”，怕学，甚至厌学.
3问题研究的价值
所谓“一题复习法”，就是针对某一块复习课的
复习目标，围绕考试说明的知识点要求精心设计成
一道试题（其实是一组）的形式，将有关的基础知识、基础技能、基本思想和方法融于其中，即这一道题承载的功能是再现本节课所要复习的知识、技能、方 法、思想.并非是为解题而解题.
与传统的复习法相比，在每一节复习课中，我们 往往在课堂中配5个左右的例题，各题相对独立，学 生要读5个题干，耗费大量时间.主要的是学生思维的断层，缺乏延续性，如蜻蜓点水，在思维的广度和深度上欠缺.“一题复习法”就能很好地解决这两个问题.
复习课的教学目标是为了巩固所学知识，是知 识系统化，使学生在掌握复习内容的知识结构的同时，培养学生的概括能力、运用知识的能力和终身学习的习惯.长期的教学实践使我们体会到：无论是基础教学，还是高考复习，都不能在同一水平上简单重复.更不能使学生成为解题机器或是知识的存储器；练不在多，而在于精.因此，通过一题复习法，进行多
收稿日期：2020-10-21
作者简介：李信夫，男•浙江杭州富阳人.中学一级教师•主要研究高中数学教学.
第40卷第3期 2021年5月数学教学研究
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角度的分析解题思路、探讨解题规律和解题方法与 技巧，对学生巩固基础知识、形成知识网络、提高解 题技能、发展逻辑思维、提高分析问题与解决问题的 能力，势必事半功倍.4 ‘‘一题复习法”教学策略4. 1
基本教学原则
4.1.1目标导向性原则
在挑选习题之前，首先要做的工作是研究《考试 说明》，列出要复习的知识点与基本方法，然后从最 近3年的高考试题和模拟试题中，围绕本节复习课 的要求，进行试题的重组、拼接、改编等.
我们在选编这一道题目时，要围绕有利于复习 基础知识、巩固基本方法、提示某些解题规律来选 题、编题，并紧紧围绕考试说明，使基础知识、基本技 能、基本方法、基本思想、解题规律螺旋式递进.这符 合学生的认知规律，有助于学生记忆、理解，加速从 模仿到灵活运用的思维进程.4. 1.2结构层次性原则
维果斯基在“最近发展区理论”中指出：教学应 着眼于学生的“最近发展区”，为学生提供带有难度 的内容，调动学生的积极性，发展其潜能.超越其最 近发展区而达到下一发展阶段的水平，然后在此基 础上进行下一个发展区的发展.在实际的教学过程 中，我们可以通过如下最基本的途径完成.
(1)
采用“一题多解”的教学方式，通过对例题、 习题内涵的深刻地、有层次地挖掘，在调动学生学习 数学积极性的同时，满足了各个层次的学生的学习 需求，使得各个层次的学生寻求知识、提高能力的目 的在各个层次上得到实现.
(2)
采用“一题多变”的教学方式，通过设置若干 个小题，构成题组，由浅人深，循序渐进，实现了从低 水平至高水平的变化，再通过“多题一解”的归纳，实 现质的飞越.让学生感受变化的同时，又体会到万变 不离其宗，这种教学方法更有利于知识点的掌握，对 学生解题能力的提升更有帮助.
以上两种教学方式都是“过程性变式”的教学策 略-让教学活动有层次的推进.由此看来，“一题 复习法”必须满足教学结构具有层次性的教学原则.4. 1.3选题典型性原则
我们知道，数学学科的特点是知识点多而应用
灵活多变，复习时间紧迫.如果用常规的复习方法， 一则时间上不允许，二则效果也不理想，往往是老师 累得汗流浃背，学生却无精打采，课堂效率低下.怎 么办？
复习时不妨在全面中讲重点、在规范中讲策略， 在强化中讲效益.要针对某一块复习课的复习目标， 围绕《考试说明》的知识点要求精心设计成一道试题 (其实是一组）的形式，将有关的基础知识、基础技 能、基本思想和方法融于其中，即这一道题承载的功 能是再现本节课所要复习的知识、技能、方法、思想， 并非是为了做题而做题.所以我们的选题要具有典 型性，能做到一题多解、多题一解，能实现知识点的 递进，使学生的解题能力得到螺旋上升.4.1.4内容多样性原则
开展数学教学就是开展思维活动的教学，而学 生的思维主动性与积极性依赖于对客观事物认知过 程中的不断启发与善诱.怎样才能让学生的思维自 发地走人精彩的数学世界，除了离不开教师的合理 引导，更加离不开数学本身内容的丰富多彩.在高中 数学教学过程中，教师总是想让自己的课堂冲斥着 各种能够体现数学魅力的内容，而这其中，数学题目 设计的多样化可以让教师很轻松地实现这一教学目 的，让学生在变化的过程中体会到数学之美.所以， 我们必须充分地利用“一题多解”的变化功能，使我
们的解题教学过程显得多姿多彩，让学生在体验解
决问题的成就感的同时，从各个方面提升自己的数 学思维能力，让自己主动参与到数学教学中.4.2 —题复习法的例题设置模式
设置一题复习的例题应围绕核心，主动变式.将
知识和方法各自“串珠成线”，串成体系和网络，提升
学生的思维能力.
4.2.1 —题多问，串联知识点
数学的复习时间紧，知识点多变化灵活，任务繁 重.往往一节课讲不了多少题目.如何提高复习的效 率，既要保证知识点的复习，又要保证学生练习的时 间呢？我想设置一题多问的例题是最好的办法.可 以省去学生审题的时间，还能抓住题目的设问角度， 对例题的功能更有了解.知识点的联系有更清晰的 理解.
案例 1
已知函数 / (j ：) = 5s i n _rc o s J ：—
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数学教学研究
第40卷第3期 2021年5月
5 V^"cos2_r H—-—(x G R ).
(1) 求/(^)的单调增区间；(2) 写出/(_r )的最大值M ，最小值w ，以及最
小正周期T ;
(3) 求/(_r )图像的对称轴、对称中心；(4)
该函数图像可由：y = s i n _r (:r e R )的图像经
过怎样的平移和伸缩变换得到？
第1小题的设计，研究三角函数的性质，往往需 先化简，以化成一个三角函数为目标，讨论y = A sin(au: + ^3)(c u 〉0)的单调区间，应将o x r + p 看成 一个整体，设为？，从而归结为讨论:y =AsinZ的单 调性；需要用到二倍角公式，再进行合一变形.这里 主要是对三角公式的复习与运用.第2小题复习最 值、周期的定义.第3小题复习对称轴、对称中心.第 4小题，复习图像变换.
案例2
已知直线/经过抛物线，=4x 的焦
点，且与抛物线相交于A C jc ,，3>1)，6(：!：2,3；2)两点.
(1) 求^+乂的最小值；(2) 求|A B |的最小值;
(3) 求A A B O 的面积的最小值；(4) 求石又.石苦的值.
这些例题都是在同一条件下设计若干个问题的 形式出现，问题串珠成线，全面地展示、解决题型.该 形式能大大节省讲解的时间，并提高效率.4.2.2 —题多解，串联方法
数学是一门技巧性的学科.数学题目的解答方 法常常有多种，即一题多解，一道数学题，因思考的 角度不同可得到多种不同的思路，寻求多种解法，有 助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生 分析问题的能力.
案例3
已知6,62是空间单位向量，=
Y
，若空间向量满足6.6=2，/> . e 2=吾，且对于
任意：!：，3»61<，|6_(161+3^2)|>|& — (：|：。

61 +：y〇e2) | = 1 (:r。

，_y0 6 R )，则工。

=______, y 0 =______，丨 f t I =_______.
方法1
平方去模主元化.令
t =\b
—x e , ^
y e 2 12
= x 2j \-(,y —^)x Jr y 2—^y ^r \b \2
所以，当
一
卩
二
时
，（有最小值| f ) | 2 —
7•即：r = l ，：y =2，|fc |=2V ^时？的最小值是 1.
对于二元函数/(x ，：y )研究策略，若；r 与有 等量或不等量关系，则进行代人转化为一元函数；若 没有一点联系则利用主元思想即把其中一个看成常 数，转化为一个一元二次函数，从而求出二次函数的 最小值.
方法2 建系化归方程化.解向量题我们经常 从它的几何意义出发考虑，利用几何意义数形结合， 从而找到新的解题突破口.对于平面内两个向量
M
= = 以及任意实数r . |a _沁丨和|fl +紿|
的最小值的几何意义是:A 点到直线O B 的距离.那 么对于空间3个向量M
= a ，石芬= />，足= c (fc,c
不共线），对于任意实数：r ,3;，|c + (x f l +：^) |和|c — U a +如）|的最小值的几何意义是：C 点到平面 直线O A B 的距离.从几何意义出发看以下方法.
分析因e i ，e 2是空间单位向量，ei . e2=+， 所以可以以e i ，e 2为基底进行建系（图1)，则
e 1 = O A = (1，0,0)，e 2 = O B = ( j ，~^，0)_
P
(a ，6，r )是空间任意一点，因为
OP • e i =a =2,O P • e 2 =-^-a +^-6 =
由题意可知f = 1，即P (2，V 5"，1)，所以
x e x+y e 2 ~\~Q P =O P = (2 ,V3 ,1),
x +y ：y = 2，
<
即 x = 1，：y = 2，| & | =2V ^".
f ^=V3,方法3
选系向量本质化.在方法2的基础上，
同样从几何意义出发，挖掘本题的解题方法.我们
可
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以用基底来表示题中的向量，同样也可以解此题.如何选基底，在平面中只要不共线，在空间只要不共面，所以建系要灵活；平面向量可以选择共点系，也可以不建系利用向量的封闭性，即M=M+M
+互芦，此方法处理平行六面体、棱锥特别有效.
如图2,以e,，e2，e3为基底进行建系，所以
--►
OP=xe ye2~\~ze z.
OP •e x=x+y=2,
OP ^e2 = j +y = \,
j t=1?3? =2» \b |=2>\[2..
方法4 射影空间平面化.有数量积存在的题目条件中，向量的投影是个不容忽视的隐含条件，从 投影的角度来理解，处理此题也有意向不到的效果.
石？ •匕=2几何意义为在e,的投影是2;
同理在三角形C A F中由正弦定理可知1=1.
这道例题共阐述了 4种解题方法，分别从纯代数法的函数思想、几何法的建系和投影巧妙地从不同的角度来解决.把一道本无从下手的题目轻松地得到解决，打开了学生解题的思路，使学生很好地把握向量题的不同思考方向.在学生的头脑中会有一个解向量题的总的思路，起到很好的复习作用.
案例4给定两个长度为1的平面向量^■和
它们的夹角为如图4所示，点C在以O为圆心的^上运动.若逆+其中：T d
e R，求:r+：y的最大值.
方法1以O为坐标原点，所在的直线为I 轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，B(—y，¥).
设Z A O C=a(o:G[0，~^~])，则 C(cos a,s i n a).由$=:r^+：y流，得
O P • h=_^■几何意义为〇P在心的投影是
I b—(■rh+^ye 2) I>1的几何意义是点P得平面的距离是1.于是把本题转化为纯平面图形3.
A
图3
cos a=x--—y■
—妥.
则X=cos a+y s i n a,
2V3 .
y = -^r-sm a.
所以 x+3；=cos a+V^sin =2sin(a+—).
o
又a6[0，~^~]，所以当a =了时，x+jy取得最
在四边形A B C D中，A B=2，A D=7，A B丄
B C，A D丄D C，因为A，B，C，D 4点共圆，所以
B D
A C=V7.
在三角形A E C中，sinZC4B:V21
,Z A E C
•|T t，A C=V7.由正弦定理士=会得尸 2.
3 72173
~1~Y 大值2.
建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A，B的坐标，用三角函数表示出点C的坐标，最后转化为三角函数求最值.引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法（坐标法）解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.
方法2 由+可得
\O C\2=x2OA2+2xyOA •O B+y2O B2.
所以 j:2+>>2—jrj=1，即（x+>> )2—3jr：y=1
.
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因为
当且仅当:r=y 时取“ = 所以
l^(jr ~hy )2---^-(:r +j y )2 = 了 (_r +;y )2.
所以（j :+;y )2<4，jt +j y <2，所以>r = ：V 时，j t +;y 的最大值为2.
将方程的两边平方，利用向量的运算把向量的 问题转化为实数问题.利用基本不等式求出最值.4. 2.3 _题多变，串联思维4.2.3. 1
延伸拓展，类比变题
“类比”变题，是指对原来问题条件或结论的知 识载体进行类比引申，把相关知识进行迁移、运用， 变出的问题结构与原题基本相同的一种变题方法. 简言之，“类比”变题是由特殊到特殊的变题方法.类 比推理的思想，是新课标增加的一个知识点，因此. 启发学生“类比”变题，不但能使学生对所学知识起 到促进作用，同时对于开拓学生视野，举一反三、触 类旁通，培养学生的发散思维和创新思维能力，都具 有重要作用.
案例5
直线与圆锥曲线位置关系的变式举例.
(1) 如果直线;y =A :r — 1与椭圆+ l 有
两个公共点，求々的取值范围.
(2) 如果直线：y=/Lr — l 与双曲线x 2—y =4
有两个公共点，求6的取值范围.
(3) 如
果
直
线
—1与抛物线：y2=4:r有两
个公共点，求々的取值范围.
评析通过题组变式的设置，让学生体会圆锥 曲线与直线位置关系判断时的相同思路和解题方 法，同时又要分清在解题过程中的区别.使学生头脑 中形成一个知识体系，达到举一反三的目的.4. 2. 3. 2
设置梯度，阶式变题
变式复习可以说在高中数学复习中是主流方 法，把一道例题由易到难，设置若干个梯度，逐渐深 人，延伸知识点，让不同层次水平的学生都有一定的 收获，并且通过由浅人深的台阶式变形，更接近学生 的认知水平，使更多的学生能拾阶而上，到达另一个 层次水平.
案例6 已知直线/ ::r —w j ---^- = 0,椭圆C :i + y =l(/w >l),若直线与椭圆相交与A ，B 两
m
点，是否存在m 使得|A B |=V^?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
变式1
若原点O 分别在以为直径的圆
内、圆上、圆外，求w 的不同取值.
变式2 P 是椭圆上的一点，
(1) 若O A P B 为平行四边形，求w 的值；(2) 若求
A 的取值范围.
变式3设点D (j ，0),若|0八| = |0別，求爪
的值.
变式4
设点£：是椭圆的右顶点，是否存在m ，
使的角平分线是：r 轴？若存在，求出w 的 值;若不存在，请说明理由.
在复习直线和椭圆的位置关系时，笔者设计了 上述一串变式，这些变式基本包括了常见的直线和 椭圆的位置关系考题，通过集中展示、解决，能使学 生较为全面地掌握解决相关问题的思路和方法.
案例 7 已知 <2〉0,6〉0,〇十6 = 1，则 1~~—
a
〇
的最小值为______.
变式1
母题的条件不变，则（i+丄m
+各）
a
b
的最小值为______.
变式2
母题的条件和结论互换即：已知a >〇,
6>0，+ + + = 4,则a +6的最小值为______.
变式3若母题条件变为“已知a >0,6>0，a +
26 = 3”，则
h y •的最小值为 •
a
b ------变式4
若母题的条件变为“已知a 为正实数
且a 2+^=r ’，则“y i T F 的最大值为______•
变式5
若母题变为：设a ，6，c 均为正数，满足
a — 26 + 3f = 0,则的最小值是 .ac ------变式6 若母题变为：已知各项为正数的等比 数列{a …丨满足a 7 = a 6 + 2a 5，若存在两项a,…，a …，使得
a ，, = 2
!，则
h '—的最小值为 •
m
n ------
利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和 为定值或积为定值，主要有两种思路：（1)对条件使 用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解； (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数.利用变式
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的设计，有效、合理地突破了这一难点，让学生在动态中实践，通过一系列的变式题组.建构解决这类问题的数学思维体系.
5教学实践体会
5.1精讲精练，脱离题海
数学学科的特点是知识点多而应用灵活，复习 时间紧迫.常规的复习方法，往往是老师累得汗流浃背，学生却无精打采，课堂效率不高.采用“一题复习法”后，大大提高了课堂的效率，使学生脱离了题海战术.甚至比大量练习的效果更好.
5.2课堂变得生动，学生兴趣高涨
在数学教学中，采用一题多变、一题多解的形式进行教学，照顾到不同层次的学生的需求，使得每个学生都有了动脑、动手的机会，并使他们在原有的基础上都能有所提升.因此，课堂变得更加活跃、生动，
学生兴趣高涨.
5.3开拓了知识视野，发展了思维
在课堂中.教师的例题设计得好，尤其是一题多
变的设计，有助于启发学生分析思考，使得课堂变得
生动，逐步把学生引人胜境，使学生开拓知识视野，
增强能力，发展创造思维；一题多解的讲解，也可以
使学生增强对知识点的深人认识，形成对知识点的
串联，更有利于学生头脑中知识体系的形成.同时还
使学生对知识的系统性、特殊性、广泛性有了更深刻
的理解.
“一题多问”“一题多变”“一题多解”的复习方
法，既让学生在动态的过程中不断地握住数学问题
的本质，又让学生在掌握其本质的基础上探寻其动
态变化的轨迹.希望为我们的高中数学教学带来生
机，为我们的高中数学教学注人活力.
参考文献
[1]李忠瑞.高中数学课堂教学中一题多变的训练策略研
究[J].中学课程辅导，2019(5).
[2]黄辉.从“一题多变”中培养学生思维的深刻性[J].数
理化解题研究，2019(3).
(上接第26页）
性，增益其所不能”，整个周期性的定义经历了从形成到完善再到深化3个过程，可以说是“一波三折”，培养了学生用数学的语言表达世界的能力；而随后的概念运用过程也并非“一帆风顺”，从定义的简单模仿，到大胆地猜想出周期计算公式了=@，再到
C D
对猜想的完善及证明，以及后来的牛刀小试，教学过程环环相扣，让学生在潜意识中领悟学数学既需要大胆猜想，也需要小心地求证，更有追求简洁的渴望，整个探究过程为学生今后的研究指明了方向，培 养了学生用数学的思维思考世界的能力.
3.3求美：课堂教学要呈现数学的美感
数学课堂教学要呈现数学多样的美感，这就是求美.数学有多种形态的美，这些美可以用耳朵去倾听，比如带有节奏感的惊涛拍岸声；这些美也可以用眼睛去发现，比如花开花落、月圆月缺等自然美景；这些美也可以用思维去感知，比如物理周期，经济周 期等各种规律.在数学课堂中融人数学美的欣赏，可 以培育学生喜爱并乐学数学的情怀.[3]在本课中，教 师为学生呈现了数学的多样美感，课堂中不但有看得见的“周而复始”的自然现象，也有听得见的带有周期韵律的对联诗句，还有需要用思维去领悟的隐藏在函数背后奇妙的周期规律.通过这些美的渗透，让人文的种子在课堂中开枝散叶.
参考文献
[1] 徐文彬.关于数学文化视域中数学教学的若干思考
[J].课程教材教法，2012(11) ,39-44.
[2] 任伟芳.欣赏三角函数波浪起伏的和谐美[J].中学数
学教学参考，2016(1):5-9.
[3] 聂晓颖.论数学课堂文化的内涵与模式及对培养数学
核心素养的价值[J].数学教育学报，2017(4)
:7卜74.。