2019年建平中学高一期末

建平中学高一期末数学试卷
2019.06
一. 填空题
1. 1和4的等差中项为
2. 已知(1,2)a =r ，(,4)b x =r ，若a r ∥b r ，则实数x 的值为
3. 设函数()arctan f x x =，则(1)f -的值为
4. 已知数列{}n a 为等比数列，21a =，58a =，数列{}n a 的公比为
5. 已知3sin()25
a π+=
，则cos a 的值为 6. 已知无穷等比数列{}n a 的首项为1，公比为12
-，则其各项的和为 7. 131lim()312n n n n →∞++=-
8. 已知[)0,2ϕπ∈，若方程sin 2sin()x x x θ-=-的解集为R ，则ϕ=
9. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为12，1b =， 2c =，则角A 的弧度为
10. 数列{}n a 满足1111223(1)
n a n n =
++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+，设n S 为数列1{}n n a a +-的前n 项的 和，则10S = 11. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若814
2
n n n S n =⎧=⎨≥⎩，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式 为n a = 12. 已知等比数列1234,,,a a a a 满足1(0,1)a ∈，3(1,2)a ∈，4(2,4)a ∈，则6a 的取值范围为
二. 选择题
13. 已知基本单位向量(1,0)i =r ，(0,1)j =r ，则|34|i j -r r 的值为（ ）
A. 1
B. 5
C. 7
D. 25
14. 在学习等差数列时，我们由110a a d =+，211a a d =+，312a a d =+，⋅⋅⋅，得到等差 数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（ ）
A. 不完全归纳法
B. 数学归纳法
C. 综合法
D. 分析法
15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，4n n a S +=（*n ∈N ），则4S 的值为（ ）
A. 3
B. 72
C. 154
D. 不确定
16. 小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为 1，2，3，4，5，6，7的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到B 木桩上，则所需的最少次数为（ ）
A. 126
B. 127
C. 128
D. 129
三. 解答题
17. 已知点G 是△ABC 的重心，2AD DC =u u u r u u u r .
（1）用AB u u u r 和AC uuu r 表示AG uuu r ；（2）用AB u u u r 和AC uuu r 表示DG u u u r .
18. 已知函数22()sin 2sin cos cos f x x x x x =++，x ∈R .
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）函数()f x 的最小值和取到最小值时x 的取值.
19.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说---除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田，假设霍尔顿在一块呈凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设△BCD 中边AD 所对的角为A ， △BCD 中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===,23AD =.
（1）霍尔顿发现无论边BD 多长，3cos cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论， 并求出这个定值；
（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ABD 与△BCD 的面积分别
为1S 与2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.
20. 已知*1(,),()n n A A n n n +=∈N u u u u u u r .
（1）求122334A A A A A A ++u u u u r u u u u u r u u u u u r 的坐标；
（2）设11()n n b A A n ++=∈N u u u r ，求数列{}n b 的通项公式；
（3）设111(,)22n n a a B B +--=u u u u u u r
，1(22n n C C +=u u u u u u r （*n ∈N ），其中a 为常数， ||1a ≥，求112111lim ()1
n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++⋅++u u u u u u r u u u u u u u r u u u u u u u r u u u u u u r 的值.
21. 无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项12,,...,n a a a 中等于n a 的项的个数.
（1）若12019a =，求2a 和4a 的值；
（2）已知命题p ：存在正整数m ，使得12m m
a a +=，判断命题p 的真假并说明理由； （3）若对任意正整数n ，都有2n n a a +≥ 恒成立，求1039a 的值.
参考答案
一. 填空题 1.
52 2. 2 3. 4π- 4. 2 5. 35 6. 23 7. 1 8. 3π 9.
6π 10. 512- 11. 18134
2n n n -=⎧⎨⨯≥⎩，*n ∈N 12. (4,64) 二. 选择题
13. B 14. A 15. C 16. B
三. 解答题
17.（1）1()3AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r ；（2）1()3
DG AB AC =-u u u r u u u r u u u r . 18.（1）π；（2）min ()0f x =，4x k ππ=-
+，k ∈Z .
19.（1）1；（2）634
. 20.（1）(6,6)；（2）22(,)22n n n n n b ++=；（3）当1a =-时，112111lim 2()1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++=-⋅++u u u u u u r u u u u u u u r u u u u u u u u u u u u u u u u r u u u u u u u r ； 当1a ≠-时，112111lim 0()1n n n n n n n n n A A B B a A A C C n ++→∞++⋅++=⋅++u u u u u u r u u u u u u u r u u u u u u u u u u u u u u u u r u u u u u u u r . 21.（1）21a =，42a =；（2）真命题，证明略；（3）1039519a =.。