二次曲线化简的方法
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（3）常数项不变。 【例题详解方法】 例 1【无心二次曲线】 化简二次曲线方程，并画出它的图形 解：
由于二次曲线方程含有 xy 项，故可先通过转轴消去 xy 项。设旋转角为α，则有：
代入原方程化简整理后得： 配方
作移轴变换：
从而曲线的最简形式：
标准方程： 显然这是一条抛物线，根据直角坐标变换 可以作出其图形为： 例 2【中心二次曲线】 化简二次曲线方程，并作出图形
为新坐标系 x’轴， 为 y’轴作坐标变换
变换公式：
解得
代入已知方程可得：
标准方程：
例 3【线心二次曲线】 化简 曲线为线心二次曲线，有唯一的主直径即中心直线，也是曲线的主直径 其方程是：x-y+1=0，取它为新坐标系的 x’轴， 在取任意垂直于中心线的直线如：x+y=0 为新坐标系 y’轴作坐标变换
变换公式：
解得：
代入已知方程可得：
即：
二、 用不变量化简二次曲线方程 ① 中心二次曲线的简化方程为： 分析：如果曲线是中心二次曲线则有 I2≠0， 其简化方程为： 故有：
由二次方程的根与系数的关心易知 a11’与 a22’是特征方程 的两根，即λ1=a11’λ2=a22’分别是二次曲线的特征根
又有：
而 I3=I3’
所以 故可以推知上述内容 ② 无心二次曲线的简化方程是： (正负号任意选取) 分析：如果是无心二次曲线则有： 其简化方程为：
因此有：I1’=a22’=I1
而 I3’=I3,所以
从而推知上述内容 ③ 线心二次曲线的简化方程是：
分析：如果是线心二次曲线则有： 其简化方程为： 因此有 I1’=a22’=I1 而 K1 是线心曲线的不变量，从而我们有 K1’=K1 所以 从而推知上述内容
②
方法介绍：
一、 直角坐标变换：
1、 坐标变换
一般的，在曲线有中心的前提下，为了计算方便，往往先移轴再转轴
非中心二次曲线先转轴再移轴。
① 移轴下（
）二次曲线的新方程为：
化简整理得：
这里有：
在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律： （1） 二次项系数不变 （2）一次项系数变为 2F1（x0,y0） 与 2F2(x0,y0)
知 a12=0
所以曲线的方程为： 又由于它是中心曲线故有 ② 当曲线为无心二次曲线时，取它的唯一主直径为 x 轴，而过顶点（即主直径与曲线 的交点）且以非渐进主方向为方向的直线（即过顶点垂直于主直径的直线）为 y 轴 建立坐标系，这时不妨假设曲线方程为：
由于此时主直径的共轭方向为 0 ：1，所以主直径的方程为：
易知 cot2α=0，所以α=Π/4，故可作转轴变换
代入原方程整理后可得，
配方:
作移轴变换：
就有 x2=1/2
2、转轴（主直径） 在二次曲线方程里若 a12 ≠ 0，我们往往使用转轴使新方程中的 a12’= 0.为此我只有 取旋转角α使得：
所以
③
由于余切的值可以是任意实数，所以总有α满足③式，即总可以通过适当的转轴消去二 次曲线方程中的 xy 项。而这一做法具有如下几何意义：把坐标轴旋转到与二次曲线的 主方向平行的位置 这种方法实际上是把坐标轴变换到与二次曲线主直径(即对称轴)重合的位置，所以二 次曲线的化简，只要求出二次曲线的主直径，然后以它作为新坐标轴作坐标变换即可。 其中， 中心曲线 → 坐标原点和曲线的中心重合
如下定理： 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成以下三个简化方程之一：
Baidu Nhomakorabea
【例题详解方法】 例 1【中心二次曲线】 化简二次曲线方程： 解：
所以曲线的特征方程是： 因而曲线的两个主方向为：
曲线的两条主直径为：
解得两特征根为：
即： 取这两条主直径为新坐标轴，从而可得坐标变换公式为：
代入已知曲线方程，经过整理后可得曲线在新坐标系下方程为： 故曲线标准方程为：
② 在转轴（
）下二次曲线的新方程为：
这里有
在转轴下，二次曲线方程系数的变换规律： （1） 二次项系数一般要改变。新方程的二次项系数仅与原方程二次项系数及 旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关。 （2）新方程的一次项系数：
在转轴下，二次曲线方程的一次项系数 a13，a23 的变换规律是与点的坐标 x，y 的变换规律完全一样，当原方程有一次项时，通过转轴不难完全消去一次项， 当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项。
为 x 轴，任意垂直于它的直线为 y 轴，建立坐标系，设曲线的方程为：
由于线心二次曲线的中心直线方程是： 中的任意一个，其中第二个方程表示 x 轴的条件为：a12=a23=0,a22≠0，而第一个方程 在 a12=0 的条件下不可能再表示 x 轴，所以它必须是恒等式，因而有 a11=a13=0 所以线心曲线的方程为
其中：l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0,l1,l2 相互垂直
① ②
这里需要注意的是①中 x 的系数应和②中 y 的系数相等，所以在符号选取时要使得这 两项系数同号。 2、不变量：由 F（x，y）=0 的系数组成的一个非常数函数 f，如果经过直角坐标变换 函数值不变，那么这个函数 f 叫做二次曲线在直角坐标变换下的不变量；若这个函数 f 的值，只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线在直角坐标变换下的半不变 量。 ①
首先求曲线的中心坐标由方程组：
得
X = 0,y = 2,所以曲线的中心坐标是（0，2）
故可取（0，2）为新原点，作移轴变换
原方程可变为：
再由转轴消 xy，可得
从而可取 α = Π/4，故转轴公式为：
所以经转轴后曲线的方程为：
标准形式为： 显然是一个椭圆，作得其图形为：
例 3【线心二次曲线】 x2＋2xy＋y2＋2x＋2y ＝0.
思维导图
二次曲线化简的方法
二次曲线化简的 方法
平面直角坐标变 换
应用不变量化简 二次曲线的方程
坐标变换
转轴（主直径）
中心二次曲线
无心二次曲线 线心二次曲线
移轴系数变换规 律
转轴系数变换规 律
中心二次曲线
无心二次曲线
线心二次曲线
具体方法 相关定义及公式：
移轴公式
1、平面直角坐标变换
转轴公式
一般坐标变换公式：
无心曲线 → 坐标原点和曲线的顶点重合 线心曲线 → 坐标原点可与曲线的任何一个中心重合 此外有： ① 已知二次曲线为中心曲线时，我们取它的一对既共轭又互相垂直的主直径作为坐标 轴建立直角坐标系。设二次曲线在这样的坐标系下的方程是：
由于此时原点便是曲线中心，所以可以推知 a13=a23=0 又二次曲线的两条主直径（即坐标轴）的方向为 1 ：0 和 0 ：1，它们互相共轭 所以由
方法的比较
直角坐标变换
用不变量化简二次曲线
优点
有助于准确作出在原坐标系图形
强调代数方法可以快速知道方程表示 什么类型的曲线，计算量相对较小
缺点
计算量大，过程繁琐
无法准确作出在原坐标系的图形
Tips：要根据题意灵活选择方法如果是只要求化简优先选择用不变量化简，若要求作出 图形了，优先选择直角坐标变换。
【例题详解方法】 例 1【中心二次曲线】 利用不变量化简 解：由于
所以 而特征方程 所以曲线的简化方程
例 2【无心二次曲线、 利用不变量化简 解：由于
的两特征根是λ1=2，λ2=8 标准方程
所以曲线的简化方程： 标准方程：
例 3【线心二次曲线】 利用不变量化简 x2+2xy+y2+2x+2y-4=0 解：I1=2,I2=I3=0,K1=-10 所以简化方程：2y2-5=0，标准方程 y2=5/2
例 2【无心二次曲线】 化简二次曲线方程：
解：
曲线为无心二次曲线
特征方程：
特征根：
所以曲线的非渐进主方向为对应于λ1=2 的主方向：
所以曲线的主直径为：
即
求得曲线的顶点为（3/16，-15/16）
所以过曲线顶点且以非渐进主方向为方向的直线为：
这也是垂直于主直径的直线，取主直径 而过曲线的顶点且与主直径垂直的直线
它便是 x 轴，即与直线 y=0 重合，故 a12=a23=0，且 a22≠0 又由于其顶点与坐标原点重合，所以（0，0）满足曲线方程，故 a33=0
由于曲线为无心二次曲线故有
而 a12=0，a22≠0，
所以 a11=0，a13≠0.故曲线方程是：
③ 当曲线为线心二次曲线时，我们取它的中心直线（即曲线的唯一直径也是主直径）
由于二次曲线方程含有 xy 项，故可先通过转轴消去 xy 项。设旋转角为α，则有：
代入原方程化简整理后得： 配方
作移轴变换：
从而曲线的最简形式：
标准方程： 显然这是一条抛物线，根据直角坐标变换 可以作出其图形为： 例 2【中心二次曲线】 化简二次曲线方程，并作出图形
为新坐标系 x’轴， 为 y’轴作坐标变换
变换公式：
解得
代入已知方程可得：
标准方程：
例 3【线心二次曲线】 化简 曲线为线心二次曲线，有唯一的主直径即中心直线，也是曲线的主直径 其方程是：x-y+1=0，取它为新坐标系的 x’轴， 在取任意垂直于中心线的直线如：x+y=0 为新坐标系 y’轴作坐标变换
变换公式：
解得：
代入已知方程可得：
即：
二、 用不变量化简二次曲线方程 ① 中心二次曲线的简化方程为： 分析：如果曲线是中心二次曲线则有 I2≠0， 其简化方程为： 故有：
由二次方程的根与系数的关心易知 a11’与 a22’是特征方程 的两根，即λ1=a11’λ2=a22’分别是二次曲线的特征根
又有：
而 I3=I3’
所以 故可以推知上述内容 ② 无心二次曲线的简化方程是： (正负号任意选取) 分析：如果是无心二次曲线则有： 其简化方程为：
因此有：I1’=a22’=I1
而 I3’=I3,所以
从而推知上述内容 ③ 线心二次曲线的简化方程是：
分析：如果是线心二次曲线则有： 其简化方程为： 因此有 I1’=a22’=I1 而 K1 是线心曲线的不变量，从而我们有 K1’=K1 所以 从而推知上述内容
②
方法介绍：
一、 直角坐标变换：
1、 坐标变换
一般的，在曲线有中心的前提下，为了计算方便，往往先移轴再转轴
非中心二次曲线先转轴再移轴。
① 移轴下（
）二次曲线的新方程为：
化简整理得：
这里有：
在移轴下，二次曲线方程系数的变化规律： （1） 二次项系数不变 （2）一次项系数变为 2F1（x0,y0） 与 2F2(x0,y0)
知 a12=0
所以曲线的方程为： 又由于它是中心曲线故有 ② 当曲线为无心二次曲线时，取它的唯一主直径为 x 轴，而过顶点（即主直径与曲线 的交点）且以非渐进主方向为方向的直线（即过顶点垂直于主直径的直线）为 y 轴 建立坐标系，这时不妨假设曲线方程为：
由于此时主直径的共轭方向为 0 ：1，所以主直径的方程为：
易知 cot2α=0，所以α=Π/4，故可作转轴变换
代入原方程整理后可得，
配方:
作移轴变换：
就有 x2=1/2
2、转轴（主直径） 在二次曲线方程里若 a12 ≠ 0，我们往往使用转轴使新方程中的 a12’= 0.为此我只有 取旋转角α使得：
所以
③
由于余切的值可以是任意实数，所以总有α满足③式，即总可以通过适当的转轴消去二 次曲线方程中的 xy 项。而这一做法具有如下几何意义：把坐标轴旋转到与二次曲线的 主方向平行的位置 这种方法实际上是把坐标轴变换到与二次曲线主直径(即对称轴)重合的位置，所以二 次曲线的化简，只要求出二次曲线的主直径，然后以它作为新坐标轴作坐标变换即可。 其中， 中心曲线 → 坐标原点和曲线的中心重合
如下定理： 适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成以下三个简化方程之一：
Baidu Nhomakorabea
【例题详解方法】 例 1【中心二次曲线】 化简二次曲线方程： 解：
所以曲线的特征方程是： 因而曲线的两个主方向为：
曲线的两条主直径为：
解得两特征根为：
即： 取这两条主直径为新坐标轴，从而可得坐标变换公式为：
代入已知曲线方程，经过整理后可得曲线在新坐标系下方程为： 故曲线标准方程为：
② 在转轴（
）下二次曲线的新方程为：
这里有
在转轴下，二次曲线方程系数的变换规律： （1） 二次项系数一般要改变。新方程的二次项系数仅与原方程二次项系数及 旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关。 （2）新方程的一次项系数：
在转轴下，二次曲线方程的一次项系数 a13，a23 的变换规律是与点的坐标 x，y 的变换规律完全一样，当原方程有一次项时，通过转轴不难完全消去一次项， 当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项。
为 x 轴，任意垂直于它的直线为 y 轴，建立坐标系，设曲线的方程为：
由于线心二次曲线的中心直线方程是： 中的任意一个，其中第二个方程表示 x 轴的条件为：a12=a23=0,a22≠0，而第一个方程 在 a12=0 的条件下不可能再表示 x 轴，所以它必须是恒等式，因而有 a11=a13=0 所以线心曲线的方程为
其中：l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0,l1,l2 相互垂直
① ②
这里需要注意的是①中 x 的系数应和②中 y 的系数相等，所以在符号选取时要使得这 两项系数同号。 2、不变量：由 F（x，y）=0 的系数组成的一个非常数函数 f，如果经过直角坐标变换 函数值不变，那么这个函数 f 叫做二次曲线在直角坐标变换下的不变量；若这个函数 f 的值，只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线在直角坐标变换下的半不变 量。 ①
首先求曲线的中心坐标由方程组：
得
X = 0,y = 2,所以曲线的中心坐标是（0，2）
故可取（0，2）为新原点，作移轴变换
原方程可变为：
再由转轴消 xy，可得
从而可取 α = Π/4，故转轴公式为：
所以经转轴后曲线的方程为：
标准形式为： 显然是一个椭圆，作得其图形为：
例 3【线心二次曲线】 x2＋2xy＋y2＋2x＋2y ＝0.
思维导图
二次曲线化简的方法
二次曲线化简的 方法
平面直角坐标变 换
应用不变量化简 二次曲线的方程
坐标变换
转轴（主直径）
中心二次曲线
无心二次曲线 线心二次曲线
移轴系数变换规 律
转轴系数变换规 律
中心二次曲线
无心二次曲线
线心二次曲线
具体方法 相关定义及公式：
移轴公式
1、平面直角坐标变换
转轴公式
一般坐标变换公式：
无心曲线 → 坐标原点和曲线的顶点重合 线心曲线 → 坐标原点可与曲线的任何一个中心重合 此外有： ① 已知二次曲线为中心曲线时，我们取它的一对既共轭又互相垂直的主直径作为坐标 轴建立直角坐标系。设二次曲线在这样的坐标系下的方程是：
由于此时原点便是曲线中心，所以可以推知 a13=a23=0 又二次曲线的两条主直径（即坐标轴）的方向为 1 ：0 和 0 ：1，它们互相共轭 所以由
方法的比较
直角坐标变换
用不变量化简二次曲线
优点
有助于准确作出在原坐标系图形
强调代数方法可以快速知道方程表示 什么类型的曲线，计算量相对较小
缺点
计算量大，过程繁琐
无法准确作出在原坐标系的图形
Tips：要根据题意灵活选择方法如果是只要求化简优先选择用不变量化简，若要求作出 图形了，优先选择直角坐标变换。
【例题详解方法】 例 1【中心二次曲线】 利用不变量化简 解：由于
所以 而特征方程 所以曲线的简化方程
例 2【无心二次曲线、 利用不变量化简 解：由于
的两特征根是λ1=2，λ2=8 标准方程
所以曲线的简化方程： 标准方程：
例 3【线心二次曲线】 利用不变量化简 x2+2xy+y2+2x+2y-4=0 解：I1=2,I2=I3=0,K1=-10 所以简化方程：2y2-5=0，标准方程 y2=5/2
例 2【无心二次曲线】 化简二次曲线方程：
解：
曲线为无心二次曲线
特征方程：
特征根：
所以曲线的非渐进主方向为对应于λ1=2 的主方向：
所以曲线的主直径为：
即
求得曲线的顶点为（3/16，-15/16）
所以过曲线顶点且以非渐进主方向为方向的直线为：
这也是垂直于主直径的直线，取主直径 而过曲线的顶点且与主直径垂直的直线
它便是 x 轴，即与直线 y=0 重合，故 a12=a23=0，且 a22≠0 又由于其顶点与坐标原点重合，所以（0，0）满足曲线方程，故 a33=0
由于曲线为无心二次曲线故有
而 a12=0，a22≠0，
所以 a11=0，a13≠0.故曲线方程是：
③ 当曲线为线心二次曲线时，我们取它的中心直线（即曲线的唯一直径也是主直径）