(1)线性变换

m
i
=0
则
∴
T( ∑ k i x i ) = ∑ k i (Tx i ) = T(0) = 0
i =1 i =1
{Txi } 线性相关。
线性变换的矩阵表示 将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。 设 T 是线性空间 V n 的一个线性变换，且 {x1 , x 2 , , x n } 是 V 的一个基， ∀x ∈ V n，存在唯一的坐标表示
H ⎡ u1 ⎤ ⎢ H⎥ u H U 0 U 0 = ⎢ 2 ⎥ [ u1 ⎢ ⎥ ⎢ H⎥ ⎣ un ⎦
u2
H un u2
对 A 进行酉相似变换：
H ⎡ u1 ⎤ ⎢ H⎥ u H U0 AU0 = ⎢ 2 ⎥ A [ u1 ⎢ ⎥ ⎢ H⎥ ⎣ un ⎦
u2
un ] = uiH Au j
(
)
n×n
3 实对称矩阵与厄米矩阵 实对称 矩阵： 厄 米 矩阵： 实反对称矩阵： 反 厄米 矩阵： 实矩阵 A 复矩阵 A 实矩阵 A 复矩阵 A
AT = A
AH = A
AT = −A
AH = −A
4. 正交矩阵和酉矩阵 正交矩阵：实矩阵 A 酉矩阵：复矩阵 A
A T A = AA T = I
A H A = AA H = I
（ A −1 = A T ） （ A −1 = A H ）
正交相似变换和酉相似变换
P 为正交矩阵， A 为实矩阵， P −1 AP 为对 A 的正交相似变换；
P 为酉矩阵， A 为复矩阵， P −1 AP 为对 A 的酉相似变换。
5. 正规矩阵 实矩阵 A ，若满足 A T A = AA T ，则 A 为实正规矩阵； 复矩阵 A ，若满足 A H A = AA H ，则 A 为复正规矩阵。 显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均 为实正规矩阵； 厄米矩阵、 反厄米矩阵、 酉矩阵均为复正规矩阵。
⎡ kx1 ⎤ ⎡ lz1 ⎤ ⎡ kx1 + lz1 ⎤ kx + lz= ⎢ ⎥ + ⎢ lz ⎥ = ⎢ kx + lz ⎥ 2⎦ ⎣ kx 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2
⎡ cos θ sin θ ⎤ ⎡ kx1 + lz1 ⎤ T(kx + lz) = ⎢ − sin θ cos θ ⎥ ⎢ kx 2 + lz 2 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
*⎤ *⎥ ⎥ A2 ⎥ ⎦
⎡λ1 ⎢ U H AU = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0
λ2
*⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ λn ⎦
得证 什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为 对角阵呢？
n 2 定理： 阶方阵 A ， 酉相似于对角阵的充要条件是： A 为正规阵（实或复） 。
说明： （1）不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它 可逆变换将其对角化，例如
第二章
矩阵的标准型
第一节 矩阵的对角化 第二节 矩阵的标准形、基本概念
酉对角化 1. Schur 引理：设数 λ 1 , λ 2 , , λ n 是 n 阶方阵 A 的特征 值，则存在酉矩阵 U ，使
⎡λ1 ⎢ U −1 AU = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0 λ2 ∗⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ λn ⎦
[证明] 设 x1 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，即 Ax1 = λ 1x1 ，
⎡λ 3 ⎢0 U H A 2U 2 = ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣ ∗
, U n− 2 使
( A 3 )(n−3)×( n−3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
U
H n− 2
A n− 2 U n− 2
⎡ λ n−1 =⎢ ⎣ 0
∗⎤ λn ⎥ ⎦
⎡1 0 ⎤ ⎡ I2 令 U = U0 ⎢ 0 U ⎥ ⎢ 0 1⎦ ⎣ ⎣
⎡ I n− 2 ⎢ 0 ⎣
0 ⎤ U n−2 ⎥ ⎦
⎡λ1 U AU0 = ⎢ ⎣0
H 0
⎡1 0 ⎤ ⎡ λ1 ⎢0 UH ⎥ ⎢ 0 1 ⎦⎣ ⎣
∗ ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎡λ1 ⎥ ⎢0 U ⎥ = ⎢ 0 A1 ⎦ ⎣ 1⎦ ⎣
⎡λ1 * ∗ ⎤ ⎢ H ⎥ = ⎢ 0 λ2 U1 A 1 U1 ⎦ ⎢0 0 ⎣
[例 1]
⎧ ⎡ ξ1 ⎤ 二维实向量空间 R = ⎨ ⎢ ξ ⎥ ⎩⎣ 2⎦
2
⎫ ξ i ∈ R ⎬ ，将其 ⎭
绕原点旋转 θ 角的操作就是一个线性变换。 [证明]
⎡ ξ1 ⎤ η x = ⎢ ⎥ y = Tx = ⎡ 1 ⎤ ⎢η ⎥ ξ2 ⎦ ， ⎣ ⎣ 2⎦
⎧ η1 = ξ1 cos θ + ξ 2 sin θ ⎨ ⎩ η2 = −ξ1 sin θ + ξ 2 cos θ
第一章 第四节
线性空间与线性变换 线性变换
线性变换 1 定义：设 V 是数域 K 上的线性空间，T 是 V 到自身的 一个映射，使得对于 V 中的任意元素 x 均存在 唯一的 y ∈ V 与之对应，则称 T 为 V 的一个变换 或算子，记为 Tx＝y 称 y 为 x 在变换 T 下的象，x 为 y 的原象。 若变化 T 还满足 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) ∀ x,y ∈ V, k,l ∈ K 称 T 为线性变换。
1定义：设 A ∈ C ，用 A 表示以A 的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记
n× n
A = ( A)
H
T
则称 A 为
H
A
的复共轭转置矩阵。
复共轭转置矩阵满足下列性质：
(1)
A = (A )
H T H H H H H H
(2) ( A + B ) = A + B (3) ( kA) = kA
H
(4) ( AB ) = B A
Tx i = [ x 1 , x 2 ,
⎡ a i1 ⎤ ⎢a ⎥ , x n ] ⎢ i2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ a in ⎦
a n1 ⎤ an2 ⎥ ⎥ = [x 1 , x 2 , ⎥ ⎥ a nn ⎦ , x n ]A
T [x 1 , x 2 ,
, x n ] = [x 1 , x 2 ,
H
(5) ( A ) = ( A )
k H
H k
(6) ( A ) = A (7) A= A
H −1 −1 H
H H
(8) ( A ) = ( A )
n× n
2定义：设 A ∈ C ,如果A 那么称 A 为Hermite矩阵； 如果 A H = − A ， 那么称 A为反Hermite矩阵。
H
= A，
⎡ a 11 a 21 ⎢a a , x n ] ⎢ 12 22 ⎢ ⎢ ⎣ a1n a 2n
对于任意元素 x ，在该基下，变换后 Tx 的坐标表示为
⎡ ξ1 ⎤ ⎢ξ ⎥ x n ) ] ⎢ 2 ⎥ = [x 1 , x 2 , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ξn ⎦ ⎡ ξ1 ⎤ ⎢ξ ⎥ , x n ]A ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ξn ⎦
⎧0 第一列： u Au1 = u λ1u1 = λ1u u1 = ⎨λ ⎩ 1
H i H i H i
i ≠1 i =1
⎡λ1 ⎢0 H U 0 AU 0 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣
∗
( A1 )( n−1)×( n−1)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡u H ⎤ 2 ⎢ H⎥ ⎢u 3 ⎥ A ⎡u ( A1 )(n−1)×(n−1) = ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎢ H⎥ ⎢un ⎥ ⎣ ⎦
R(A) = Ax | x ∈ R n or x ∈ Cn
{
} 为矩阵 A 的值域；
N(A) = x | x ∈ R n or x ∈ C n , Ax = 0 为 A 的核。
dimR(T) 、 dim N(T) 称为 T 的秩和零度；
{
}
dimR(A) 、 dimN(A) 称为 A 的秩和零度。
几种矩阵
n
复习
线性变换及矩阵的值域和核 1. 定义：设 T 是线性空间 Vn 的线性变换，称
R(T) = Tx | x ∈ V n 为 T的值域；
N(T) = x | x ∈ V n , Tx = 0
{
}
{
} 称为 T 的核。
R(T) 和 N(T) 均为 V n 的子空间。
设 A 为 m × n 阶矩阵，称
u3
un ⎤ ⎦
相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于 A ， 其特征值为 λ , , λ ，与上相同，可得一个酉矩阵 U ， 使得
1 2 n 1
⎡λ 2 ⎢0 H U 1 A 1 U1 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣
∗
( A 2 )( n−2)×( n−2)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
2 3
依次类推，分别可找到酉矩阵 U , U ,
0⎤ U2 ⎥ ⎦
⎡ I n− 2 ⎢ 0 ⎣
0 ⎤ U n− 2 ⎥ ⎦
U 是酉矩阵， U H U = I
U H AU = ? ⎡ I n− 2 U AU = ⎢ ⎣ 0
H
0 ⎤ U H−2 ⎥ n ⎦ ∗⎤ A1 ⎥ ⎦
⎡1 0 ⎤ H ⎡1 0 ⎤ ⎢ 0 U H ⎥ U0 AU0 ⎢ 0 U ⎥ 1 ⎦ 1⎦ ⎣ ⎣
⎡ η1 ⎤ ⎡ cos θ sin θ ⎤ ⎡ ξ1 ⎤ ⎢ η ⎥ = ⎢ − sin θ cos θ⎥ ⎢ ξ ⎥ ∈ R 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣
可见该操作 T 为变换，下面证明其为线性变换
⎡ x1 ⎤ ∀x = ⎢ ⎥ ⎣x2 ⎦
⎡ z1 ⎤ z = ⎢ ⎥ ∈ R 2 ，k，l∈ R ⎣z2 ⎦
{1, x, x ,
2
,x
n
}
d ，微分算子 D = dx 是 Pn 上的一个线性
变换。 [证明] 显然 D 对 Pn 而言是变换， 要证明 D 满足线性变换的条件 ∀f , g ∈ Pn ， k，l∈ R
D(kf + lg) = k(Df ) + l(Dg)
D 是 Pn 上的线性变换。
∴
2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素 （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为 线性相关的元素组
n
x = [ x1 , x 2 ,
⎡ ξ1 ⎤ ⎢ξ ⎥ , xn ] ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ξn ⎦
Tx = T( ξ1x 1 + ξ 2 x 2 +
= (Tx1 Tx 2
+ ξn x n )
⎡ ξ1 ⎤ ⎢ξ ⎥ x n )] ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ξn ⎦
⎡ ξ1 ⎤ ⎢ξ ⎥ Tx n ) ⎢ 2 ⎥ = [ T(x1 x 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ξn ⎦
⎡ cos θ sin θ ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ cos θ sin θ ⎤ ⎡ z1 ⎤ =k⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ + l ⎢ − sin θ cos θ ⎥ ⎢ z ⎥ ⎣ − sin θ cos θ ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦
= k(Tx) + l(Tz)
∴
T 是线性变换。
[例 2] 次数不超过 n 的全体实多项式 Pn 构成实数 域上的一个 n+1 维的线性空间，其基可选为
[证明] 线性变换 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) （1）T(0)=T(0x)=0(Tx)=0 （2）T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx) （3）元素组 x1 , x 2 , , x m 线性相关，即存在一组 不全为零的数 k 1 , k 2 , , k m 使
∑k x
i =1 i
m m
1
x1 u1 = x1
，并由其扩充为一组标准正交向量 u1 , u 2 ,
⎧0 i ≠ j u uj = ⎨ ⎩1 i = j
H i
, un
令 U 0 = [ u1
u2
u n ] ， U 0 为酉矩阵
H ⎡ u1 u 1 ⎢ H u u un ] = ⎢ 2 1 ⎢ ⎢ H ⎣ u n u1 H u1 u 2 uHu2 2 H u1 un ⎤ ⎥ uH un ⎥ 2 = In ⎥ ⎥ H un un ⎦
T x = [T ( x 1
x2
即：
⎡ ξ1 ⎤ ⎢ξ ⎥ x ↔ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ξn ⎦
⎡ ξ1 ⎤ ⎢ξ ⎥ Tx ↔ A ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ξn ⎦
1. 定义：把 A 称为 T 在基 {x1 , x 2 , , x n } 下的矩阵。 2. 定理：设 {x1 , x 2 , , x n } 是 V 的一个基，T1 、T2 在该基 下的矩阵分别为 A 、 B ，则有 （1） (T1 + T2 ) [ x1 , x 2 , , x n ] = [ x1 , x 2 , , x n ] (A + B) （2） kT1 [ x1 , x 2 , , x n ] = [ x1 , x 2 , , x n ] (kA) （3） (T1T2 ) [ x1 , x 2 , , x n ] = [ x1 , x 2 , , x n ] (AB) （4） T1−1 [ x1 , x 2 , , x n ] = [ x1 , x 2 , , x n ] A −1