行列式的计算方法(最全版)PTT文档

12 1 3
0 2 3 14 0 2 3 14
160
0 0 8 47 0 0 8 47
0 0 8 37
0 0 0 10
方法3 拆行（列）法
由行列式拆项性质，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再 得原行列式值，此法称为拆行（列）法。
例3 求解行列式
axby aybz azbx D aybz azbx axby
azbx axby aybz
解 按第一列拆开,再提公因子得
x a ybza zbx y a ybza zbx Day a zbxa xbybz a zbxa xby
z a xbya ybz x a xbya ybz
再把第１个行列式按第３列展开，第２个行列式按第２列展开．最终得
xyz D= ( a 3 b 3 ) y z x
行列式的计算方法
行列式的计算是高等代数中的难点、重 点，特别是高阶行列式的计算，学生在学 习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握
计算高阶行列式的方法很多，但具体 到一个题，要针对其特征，选取适当的方 法求解。
方法1 定义法
利用n阶行列式的定义计算行列式,此法适用于0比较多的行列式。
例1 求下列行列式的值
zxy
方法4 降阶法
利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为 较低阶行列式求解的方法叫做降阶法.
它可以分为直接降阶法和递推降阶法
直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列 式值的情况。
递推降阶法用于需经多次降阶才能求解，并且较低 阶行列式与原行列式有相同结构的情况。
例4 求解下列行列式：
x y 00 0
Dn anxDn1 ①
把 Dn-1 按同样的方法展开得
D n1
an1xDn2
②
把 ② 代入① 中得
D nanxn a 1x2D n2
依次下去，得
D n a n xn 1 a x 2 D n 2 x n 2 D 2 ③
而
x D2a2
a11xa2a1xx2
④
将 ④代入 ③中得
D n a n a n 1 x a 1 x n 1 x n
0 x y0 0
（1）
Dn 0 0 0 x y
y 0 00 x
解 利用按行按列展开定理把原行列式按第1列展开
x y 0 0
y 0 0 0
Dnx 0 0 x y(1)n1y x y 0 0
0 0 0 x
0 0 x y
降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式,故原行列式的值为
1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1999 0 0 0 2000 0 0 0
解 利用n阶行列式的定义,可直接计算其值 Ｄ＝２０００！
方法2 化三角形法
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对
角一形。例行2列式计计算算行的列一式D种方 法751 。这1828是计521算行213列式的基本方法之 例Ｄ例方解乘例把 解乘解化递把行 递有有 把降解把递Ｄ解它解直化递例由利解解4＝4法141三推列推时时阶推＝可接三推4行用首 首 利 利 利加 加 行 行 行２ 3角 降 式降 为 为后 降 ２ 以 降 角 降 列 n求求求求先先用用用到到列列阶列代 代代代０形阶的 阶了了 的阶０分阶形阶式解解解解给给n按n拆第第式式行式入 入入入阶阶０法法计 法计计 行法０为法法法拆下 下 下 下第第行行44第第列第行行０是用算 用算算 列用０直用是用项列列列列行行按11（式111列列行行！将于是 于行行 式于！接于将于性中 中中中行行行行即即列列列列列的式式分分原需高 需列列 需降只原需质,得 得得得列列列列有有有可可展第）定的的别别行经等 经式式 经阶需行经，式式式式共共共。。开1法义定定个乘乘列多代 多，， 多法经列多将：：：：同同同定计义义--行式次数次特特次和少式次已元元元77理算,,列,,化降中 降意意 降递量化降知--可可素素素把55行式,,为阶的 阶把把 阶推几为阶行直直--原33列与上才难 才原原 才降次上才列,,接接行分分式原（能点 能行行 能阶降（能式计计列别别,行此下求、 求列列 求法阶下求拆算算式加加列法）解重 解式式 解就）解成其其按到到式适三，点 ，加加 ，可三，若值值第第第的用角并， 并上上 并求角并干122结于列,,形且特 且一一 且得形且个33,,构展 0行较别 较行行 较行行较行44比行行相开列低是 低一一 低列列低列较上上同式阶高 阶列列 阶式式阶式多,,,再再或行阶 行再再 行值或行之此的交交对列行 列进进 列的对列和行行换换角式列 式行行 式情角式，列列第第形与式 与计计 与况形与计式式22行原的 原算算 原。行原算用。,,33列行计 行，， 行列行其Ｄ两两式列算 列这这 列式列值n行行-计式， 式种种 式计式，1的的表算有学 有计计 有算有再位位示的相生 相算算 相的相得置置,而一同在 同行行 同一同原;;给给后种结学 结列列 结种结行第第一方构习 构式式 构方构列二二个法的过 的的的 的法的式行行行。情程 情方方 情。情值分分列况中 况法法 况况，别别式。， 。称称 。。此乘乘是普 为为 法以以三遍 加加 称22角存边 边为,,--33形在 法法 拆后后行很 或或 行,,分分列多 升升 （别别式困 阶阶 列加加,难 法法 ）则到到， 。。 法上第第难 。式33于,,可44行行掌表上上握示;;为最最后后给给第第33行行 3 0 24
解 首先给第1行分别乘-7,-5,-3,分别加到第2,3,4行上,再 交换第2,3两行的位置;给第二行分别乘以2,-3后,分别加 到第3,4行上;最后给第3行乘1加到第4行即可。
12 1 3
12 1 3
0 D
4
2
19
0
2
3
14
0 2 3 14
0 4 2 19
0 6 1 5
0 6 1 15
12 1 3
D nxn(1)n1yn
x 1 0
0 x 1
00
x
（2） Dn
00
0
an an 1 an 2
解 把原行列式按第1列展开得
0
0
0
0
0
0
x 1 a2 a1 x
x 1
00
1 0
00
0x Dn x
00
00
x 1
(1)n1an 0 x
x 1
0000
x 1
降阶后的行列式,第1个行列式与原行列式的结构相同,此行列式用Ｄn-1表 示,而后一个行列式是三角形行列式,则上式可表示为