高一数学集合思想及集合语言在解题中的应用.doc

透过伪装抓本质—集合思想及集合语言在解题中的应用
集合是高中数学的基础，也是高考常考的内容之一。

集合思想及集合语言可以渗透到高中数学的各个分支，它可与函数、方程和不等式等许多知识综合起来进行考查。

在解题时首先需要我们能读懂集合语言，将集合语言转换为数学语言，再用相关的知识解决问题。

本文将通过几个典型例题的剖析，与大家谈谈集合思想与集合语言与其它知识的综合应用。

一、集合与函数
例1、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P 等于 （ ）
A.（0,2）,(1,1)
B.{(0,2),(1,1)}
C. {1,2}
D.{}2≤y y
解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P 集合中y 是函数22+-=x y 中的y 的取值范围，故P 集合的实质是函数22+-=x y 的值域。

而Q 集合则为函数2+-=x y 的定义域，从而易知=Q P {}2≤y y ，选D.
评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，从而确定其实质。

例2、已知A=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=∈23sin x y R x ，B={}
A k k x x k ∈+=-,12sin 322cos ，若Φ≠
B ，求k 的取值范围。

分析：A 集合是函数2
3sin -=x y 的定义域，而B 集合中的方程可简化为： )32cos(21π+=+x k ，故本题的题意是使方程)3
2cos(21π+=+x k 有解的k 的取值范围，显然即求函数)32cos(2π
+=x y 的值域。

解：由023sin ≥-
x ，得A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,32232|ππππ，当 32232πππ
π+≤≤+k x k 时，可得：3
54324πππππ+≤+≤+k x k ， ∴1)3
2cos(212≤+=+≤-πx k ∴A=[-3,0] 二、集合与方程
例3、已知{}
φ=∈=+++=+R A R x x p x x A ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。

剖析：集合A 是方程x 2+(p+2)x+1=0的解集，则由φ=+R A ，可得两种情况：
（1） A=φ，则由()0422<-+=∆p ，得：04<<-p （2） 方程x 2+(p+2)x+1=0无正实根。

则⎩⎨⎧<+-=∆0)2(0p 或⎩⎨⎧<+->∆0
)2(0p （x 1x 2=1>0）
于是0≥p
例4、已知集合{}{}R t tx x x t A =≠--+=03422使,集合{}{}
φ≠=-+=0222t tx x x t B 使，其中x 、t 均为实
数，求B A 。

剖析：集合A 是使方程x 2+2tx-4t-3=0的解集为φ的t 的取值范围，集合B 是使方程x 2
+2tx-2t=0有解的t
的取值范围，于是由⎪⎩⎪⎨⎧≥+=∆<++=∆0840)34(442221t t t t ，得{}23-≤<-=t t B A . 三、集合与不等式
例5、已知集合A={a|ax 2+4x-1≥-2x 2-a 恒成立}，B={x| x 2-(2m+1)x+m(m+1)<0},
若A ∩B ≠Φ，求实数m 的取值范围。

分析：集合A 是使不等式ax 2+4x-1≥-2x 2-a 恒成立的a 的取值范围，集合B 是不等式x 2-(2m+1)x+m(m+1)<0的解集，下面即可用相关知识解决。

解：由不等式ax 2+4x-1≥-2x 2-a 恒成立，可得：(a ＋2)x 2+4x ＋(a-1)≥0(★),
(1)当a+2=0时，即a=-2时,(★)式可化为x>3/4，显然不符合题意。

(2) 当a+2≠0时，欲使(★)式对任意x 均成立，必需满足
⎩⎨⎧≤-+-=∆>+0
)1)(2(44022a a a ，解之得A={}2|≥a a 。

又可求得B={x|m<x<m+1},结合数轴，可得：m>1.
四、集合与解几
例6、已知集合(){}
(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A ,求实数a 的取值范围。

剖析：从代表元素(x,y)看,这两个集合均为点集，又x 2+mx-y+2=0及x-y+1=0是两个方程，故A ∩B ≠φ的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译成数学语言即为：“抛物线x 2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0（0≤x ≤2）有公共点，求实数m 的取值范围。

” 解：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+)
20(01022x y x y mx x ，得01)1(2=+-+x m x ① φ≠B A ，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.
首先，由()13,0412
-≤≥≥--=∆m m m 或得. 当3≥m 时，由x 1+x 2=-(m-1)<0及x 1x 2=1知，方程①只有负根，不符合要求；
当1-≤m 时，由x 1+x 2=-(m-1)>0及x 1x 2=1>0知, 方程①有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间(]1,0内，
从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内。

综上，所求m 的取值范围是(]1,-∞-。

例7、已知集合()(){}
30)1()1(,,123,2=-+-=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A ，求实数a 的值。

解：（1）当a=1时，集合B=Φ，符合题意。

（2）当a ≠1时，易知A 、B 两集合均为点集，其中A 集合为直线y=(a+1)(x-2)+3(x ≠2)上的点集，B 集合为直线上的点集，由φ=B A ，知两直线无公共点，故又有以下两种情况：
①若两直线平行，则-(a+1)=a+1 ∴a=-1
②若直线30)1()1(2=-+-y a x a 经过点（2,3），则30)1(3)1(22=-+-a a ，解之得：27,5-=a 。

综上：2
7,5,1-±=a 五、集合与导数
例7、已知22063
1)(,27104)(23234++-=-+-=x x x x g x x x x f ， A={}{}A x x f x B x g x ∈==≤,0)(|,0)(|'，则B 中的元素个数为
A.有3个
B.有2个
C.有且仅有1个
D.不存在
解：由导数的知识可知：A={x|x 2-12x+}＝{x|2≤x ≤10},
又27104)(234-+-=x x x x f ，
∴)53(420124)(223'+-=+-=x x x x x x x f
当x ∈A 时，易知：0)('>x f ∴f(x)在区间[2,10]上为增函数
而可求得f(2)<0,f(10)>0, ∴方程f(x)＝0在区间[2,10]上有且仅有一解。

即集合B 中仅有一个元素。

练习：
（1） 已知[]{}
1,0,22∈+-==x x y y P ， {}2+-==x y x Q , 求Q P
（2） 已知{}2),(2+-==x y y x P ， {}2+-==x y x Q , 求Q P
（3） 已知{}062≤--=y y y A ， {}A y y x x B ∈+==,2, 求B （4）已知()b ax x x f ++=2，(){}{}(){}b a M a x x f x A ,,====，求M。