颍州区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

颍州区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设集合（）
A．B． C．
D．
2．已知集合A={x|a﹣1≤x≤a+2}，B={x|3＜x＜5}，则A∩B=B成立的实数a的取值范围是（）A．{a|3≤a≤4} B．{a|3＜a≤4} C．{a|3＜a＜4} D．∅
3．已知
2,0
()
2,0
ax x x
f x
x x
⎧+>
=⎨
-≤
⎩
，若不等式(2)()
f x f x
-≥对一切x R
∈恒成立，则a的最大值为（）
A．
7
16
-B．
9
16
-C．
1
2
-D．
1
4
-
4．四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）
A．96 B．48 C．24 D．0
5．在中，、、分别为角、、所对的边，若，则此三角形的形状一定是
（）
A．等腰直角B．等腰或直角
C．等腰D．直角
6．如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置C 对隧道底AB的张角θ最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置C到AB的距离是（）
A ．2m
B ．2m
C ．4 m
D ．6 m
7． 自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）
A ．86210x y --=
B ．86210x y +-=
C ．68210x y +-=
D ．68210x y --=
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．
8． 已知函数f （x ）=
是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）
A ．﹣3≤a ＜0
B ．﹣3≤a ≤﹣2
C ．a ≤﹣2
D ．a ＜0
9． 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示．
杂质高 杂质低 旧设备 37 121 新设备
22
202
根据以上数据，则（ ） A ．含杂质的高低与设备改造有关 B ．含杂质的高低与设备改造无关 C ．设备是否改造决定含杂质的高低
D ．以上答案都不对
10．下列命题中正确的是（ ） （A ）若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题
（ B ） “0a >，0b >”是“
2b a
a b
+≥”的充分必要条件 （C ） 命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”
（D ） 命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥
11．若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自
然数为（ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
12．设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z =2（+i ），则z=（ ）
A ．﹣1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1+i
D ．1﹣i
二、填空题
13．函数f （x ）=
的定义域是 ．
14．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．
15．在数列
中，则实数a= ，b= ．
16．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．
17． 设函数()x
f x e =，()ln
g x x m =+．有下列四个命题：
①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <；
②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2
ln 2m e <-；
③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22
e
m <
-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <． 其中所有正确结论的序号为 .
【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.
18．设集合A={x|x+m ≥0}，B={x|﹣2＜x ＜4}，全集U=R ，且（∁U A ）∩B=∅，求实数m 的取值范围为 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1）的图象经过点（2，）． （1）求a 的值；
（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小；
（3）求函数f（x）=a（x≥0）的值域．
20．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
(不等式选做题)设，且，则的最小值为
（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则
21．已知函数f（x）=•，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=，且sinB=2sinC，求△ABC的面
积．
22．已知函数f （x ）=2x 2﹣4x+a ，g （x ）=log a x （a ＞0且a ≠1）． （1）若函数f （x ）在[﹣1，3m]上不具有单调性，求实数m 的取值范围； （2）若f （1）=g （1） ①求实数a 的值；
②设t 1=f （x ），t 2=g （x ），t 3=2x ，当x ∈（0，1）时，试比较t 1，t 2，t 3的大小．
23．已知函数f （x ）=x 2﹣ax+（a ﹣1）lnx （a ＞1）． （Ⅰ） 讨论函数f （x ）的单调性； （Ⅱ） 若a=2，数列{a n }满足a n+1=f （a n ）． （1）若首项a 1=10，证明数列{a n }为递增数列；
（2）若首项为正整数，且数列{a n }为递增数列，求首项a 1的最小值．
24．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()2
ln R f x x ax x a =-+-∈.
（1）若函数()f x 是单调递减函数，求实数a 的取值范围；
（2）若函数()f x 在区间()0,3上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.
颍州区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：集合A 中的不等式，当x ＞0时，解得：x ＞；当x ＜0时，解得：x ＜，
集合B 中的解集为x ＞，
则A ∩B=（，+∞）． 故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2． 【答案】A
【解析】解：∵A={x|a ﹣1≤x ≤a+2} B={x|3＜x ＜5} ∵A ∩B=B ∴A ⊇B
∴
解得：3≤a ≤4 故选A
【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，通过对集合间的关系转化为元素的关系，属于基础题．
3． 【答案】C
【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．
当0a >（如图1）、0a =（如图2）时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与函数2y ax x =+图象相切时，916
a =-，切点横坐标为83，函数2y ax x =+图象经过点(2,0)时，1
2a =-，
观察图象可得1
2
a ≤-，选C ． 4． 【答案】
B
【解析】
排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．
【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P，底面四边形的个顶点为A、B、C、D．
分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，
（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）
那么安全存放的不同方法种数为2A44=48．
故选B．
【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖．
5．【答案】B
【解析】
因为，所以由余弦定理得，
即，所以或，
即此三角形为等腰三角形或直角三角形，故选B
答案：B
6．【答案】A
【解析】解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=﹣2py（p＞0），
将点（4，﹣4）代入，可得p=2，
所以抛物线方程为x2=﹣4y，
设C（x，y）（y＞﹣6），则
由A（﹣4，﹣6），B（4，﹣6），可得k CA=，k CB=，
∴tan∠BCA===，
令t=y+6（t＞0），则tan∠BCA==≥
∴t=2时，位置C 对隧道底AB 的张角最大，
故选：A ．
【点评】本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tan ∠BCA ，正确运用基本不等式是关键．
7． 【答案】D
【解析】由切线性质知PQ CQ ⊥，所以2
2
2
PQ PC QC =-，则由PQ PO =，得，
2222(3)(4)4x y x y -++-=+，化简得68210x y --=，即点P 的轨迹方程，故选D ，
8． 【答案】B
【解析】解：∵函数
是R 上的增函数
设g （x ）=﹣x 2
﹣ax ﹣5（x ≤1），h （x ）=（x ＞1）
由分段函数的性质可知，函数g （x ）=﹣x 2
﹣ax ﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h （x ）=在（1，+∞）单调
递增，且g （1）≤h （1）
∴
∴
解可得，﹣3≤a ≤﹣2 故选B
9． 【答案】
A
【解析】
独立性检验的应用． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表 杂质高 杂质低 合计 旧设备 37 121 158 新设备 22 202 224 合计
59
323
382
由公式κ2
=
≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．
10．【答案】D
【解析】对选项A ，因为p q ∨为真命题，所以,p q 中至少有一个真命题，若一真一假，则p q ∧为假命题，
故选项A 错误；对于选项B ，2b
a
a
b
+≥的充分必要条件是,a b 同号，故选项B 错误；命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，故选项C 错误；故选D ．
11．【答案】A 【解析】
考
点：得出数列的性质及前项和．
【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“10a >，0d <”判断前项和的符号问题是解答的关键．
12．【答案】B
【解析】解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），则=a ﹣bi ，
由z=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，
整理得a2+b2=2a+2（b﹣1）i．
则，解得．
所以z=1+i．
故选B．
【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
二、填空题
13．【答案】{x|x＞2且x≠3}．
【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得
解可得，x＞2且x≠3
故答案为：{x|x＞2且x≠3}
14．【答案】③④
【解析】
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM与ED是异面直线，所以是错误
AN AC，由于几何体是正方体，所以三角形ANC 的；②DN与BE是平行直线，所以是错误的；③从图中连接,
AN AC所成的角为60 ，所以是正确的；④DM与BN是异面直线，所以是正确的．为等边三角形，所以,
考点：空间中直线与直线的位置关系．
15．【答案】a=，b=．
【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，
a﹣b=26，
由3，8，a+b，24，35知，
a+b=15，
解得，a=，b=；
故答案为：，．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．
16．【答案】[，3]．
【解析】解：直线AP的斜率K==3，
直线BP的斜率K′==
由图象可知，则直线l的斜率的取值范围是[，3]，
故答案为：[，3]，
【点评】本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．
17．【答案】①②④
【解析】
18．【答案】m≥2．
【解析】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以C U A={x|x＜﹣m}，又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁U A）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2．
故答案为m≥2．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，），
∴a2=，
∴a=
（2）∵f（x）=（）x在R上单调递减，
又2＜b2+2，
∴f（2）≥f（b2+2），
（3）∵x≥0，x2﹣2x≥﹣1，
∴≤（）﹣1=3
∴0＜f（x）≤（0，3]
20．【答案】
【解析】A
B
21．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=•=2cos2
x+sin2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，
函数y=f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，
（Ⅱ）∵f（A）=2
∴2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=…．
又∵0＜A＜π，∴A=．…
∵a=，
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7 ①…
∵sinB=2sinC∴b=2c ②…
由①②得c2=．…
∴S△ABC=．…
22．【答案】
【解析】解：（1）因为抛物线y=2x2﹣4x+a开口向上，对称轴为x=1，
所以函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
因为函数f（x）在[﹣1，3m]上不单调，
所以3m＞1，…（2分）
得，…（3分）
（2）①因为f（1）=g（1），所以﹣2+a=0，…（4分）
所以实数a的值为2．…
②因为t1=f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
t2=g（x）=log2x，
t3=2x，
所以当x∈（0，1）时，t1∈（0，1），…（7分）
t2∈（﹣∞，0），…（9分）
t3∈（1，2），…（11分）
所以t2＜t1＜t3．…（12分）
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵，
∴（x＞0），
当a=2时，则在（0，+∞）上恒成立，
当1＜a＜2时，若x∈（a﹣1，1），则f′（x）＜0，若x∈（0，a﹣1）或x∈（1，+∞），则f′（x）＞0，当a＞2时，若x∈（1，a﹣1），则f′（x）＜0，若x∈（0，1）或x∈（a﹣1，+∞），则f′（x）＞0，
综上所述：当1＜a＜2时，函数f（x）在区间（a﹣1，1）上单调递减，
在区间（0，a﹣1）和（1，+∞）上单调递增；
当a=2时，函数（0，+∞）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞2时，函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（0，1）和（a﹣1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）若a=2，则，由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
（1）因为a1=10，所以a2=f（a1）=f（10）=30+ln10，可知a2＞a1＞0，
假设0＜a k＜a k+1（k≥1），因为函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f（a k+1）＞f（a k），即得a k+2＞a k+1＞0，
由数学归纳法原理知，a n+1＞a n对于一切正整数n都成立，
∴数列{a n}为递增数列．
（2）由（1）知：当且仅当0＜a1＜a2，数列{a n}为递增数列，
∴f（a1）＞a1，即（a1为正整数），
设（x≥1），则，
∴函数g（x）在区间上递增，
由于，g（6）=ln6＞0，又a1为正整数，
∴首项a1的最小值为6．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，同时考查函数的零点存在定理和数学归纳法的运用，考查运算能力，属于中档题．
选做题：本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题计分．【选修4-2：矩阵与变换】 24．【答案】（1
）a ≤2
）193
a <<. 【解析】试题分析：
（1）原问题等价于()0f x '≤对()0,+∞恒成立，即1
2a x x
≤+对()0,+∞恒成立，结合均值不等式的结论可
得a ≤
（2）由题意可知()221
0x ax f x x
-+-'=
=在()0,3上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数a 的
取值范围是19
3
a <<.
试题解析：
（2）∵函数()f x 在()0,3上既有极大值又有极小值，
∴()221
0x ax f x x
-+-'=
=在()0,3上有两个相异实根， 即2
210x ax -+=在()0,3上有两个相异实根，
记()2
21g x x ax =-+，则()()0
03{ 4
0030a
g g ∆><<>>
，得{012 19
3
a a a a -<<<
，
即193
a <<.。