高考数学大一轮复习 9.7抛物线学案 理 苏教版

学案51 抛物线
导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．
自主梳理
1．抛物线的概念
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
自我检测
1．(2010·四川)抛物线y 2
＝8x 的焦点到准线的距离是________．
2．若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 2
2
＝1的右焦点重合，则p 的值为________．
3．(2011·陕西改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．
4．设F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|＝________.
5．(2010·佛山模拟)已知抛物线方程为y 2
＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN ＝________.
探究点一抛物线的定义及应用
例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是
抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．
探究点二求抛物线的标准方程
例2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)过点P(2，－4)．
探究点三抛物线的几何性质
例3过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．
(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2
；
(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．
变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：
(1)x 1x 2＝p 2
4；
(2)1AF ＋1
BF
为定值．
分类讨论思想
例
(14分)过抛物线y2＝2px (p>0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设O为坐标原点，问：是
否存在实数λ，使AO →＝λOD →
？
多角度审题
这是一道探索存在性问题，应先假设存
在，设出A 、B 两点坐标，从而得到D 点坐标，再设出直线AB 的方程，利用方程组和向量条件求出λ.
【答题模板】
解 假设存在实数λ，使AO →＝λOD →
.
抛物线方程为y 2
＝2px (p >0)，
则F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，准线l ：x ＝－p
2，[2分]
(1)当直线AB 的斜率不存在， 即AB ⊥x 轴时，
交点A 、B 坐标不妨设为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p
2，－p . ∵BD ⊥l ，∴D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p
2，－p ，
∴AO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，OD →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2，－p ， ∴存在λ＝1使AO →＝λOD →
. [6分] (2)当直线AB 的斜率存在时，
设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
x －p 2 (k ≠0)，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，x 1＝y 212p ，x 2＝y 2
22p ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪
⎫x －p 2y 2＝2px
得ky 2
－2py －kp 2
＝0，∴y 1y 2＝－p 2
，∴y 2＝－p
2
y 1
，
[8分]
AO →
＝(－x 1，－y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 212p ，－y 1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－p
2
，－p 2
y 1，
假设存在实数λ，使AO →＝λOD →
，则
⎩⎪⎨⎪⎧
－y 21
2p ＝－p 2
λ－y 1
＝－p 2
y
1
λ，解得λ＝y 21
p
2，
∴存在实数λ＝y 21p
2，使AO →＝λOD →
.
综上所述，存在实数λ，使AO →＝λOD →
.
[14分]
【突破思维障碍】
由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物
线方程组成方程组，研究A 、D 两点坐标关系，求出AO →和OD →
的坐标，判断λ是否存在．
【易错点剖析】
解答本题易漏掉讨论直线AB 的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．
1．关于抛物线的定义
要注意点F 不在定直线l 上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线． 2．关于抛物线的标准方程
抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于： (1)p 的几何意义：参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数．
(2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．
3．关于抛物线的几何性质
抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：
已知过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，则有下列性质：AB ＝x 1＋x 2＋p 或AB ＝2p sin 2α(α为AB 的倾斜角)，y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝
p 24
等．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．(2011·大纲全国改编)已知抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于________．
2．(2011·湖北改编)将两个顶点在抛物线y 2
＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则n ＝________.
3．(2011·连云港模拟)已知抛物线y 2
＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．
4．抛物线y 2
＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
5．(2011·淮安模拟)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →
＝－4，则点A 的坐标为________．
6．(2011·重庆，15)设圆C 位于抛物线y 2
＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．
7．已知A 、B 是抛物线x 2
＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则AB ＝________.
8．(2010·浙江)设抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．
二、解答题(共42分) 9．(14分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．
10．(14分)(2010·韶关一模)已知抛物线C ：x 2
＝8y .AB 是抛物线C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ .
11．(14分)(2010·济南一模)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1
相切的动圆圆心为点C .
(1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →
的最小值．
学案51 抛物线
答案
自主梳理
1．相等 焦点 准线 自我检测 1．4 2.4
3．y 2
＝8x 解析 因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p
2
＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是
y 2
＝8x .
4．6 5.90° 课堂活动区
例
1解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
解
将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝± 6.
∵6>2，∴A 在抛物线内部． 设抛物线上点P 到准线l ：
x ＝－1
2
的距离为d ，由定义知
PA ＋PF ＝PA ＋d ，
当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为7
2
，
即PA ＋PF 的最小值为7
2
，
此时P 点纵坐标为2，
代入y 2
＝2x ，得x ＝2，∴点P 坐标为(2,2)．
变式迁移1 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，－1 解析
点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最
小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，－1.
例
2 解题导引 (1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；
(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p 的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；
(3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把PF 转化为点P 到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．
解 方法一 设抛物线方程为x 2
＝－2py (p >0)，
则焦点为F ⎝
⎛
⎭⎪⎫
0，－p 2，准线方程为y ＝p
2.
∵M (m ，－3)在抛物线上，且MF ＝5，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
＝6p ， m 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3＋p 22＝5， 解得⎩⎨
⎧
p ＝4，
m ＝±2 6.
∴抛物线方程为x 2
＝－8y ，m ＝±26， 准线方程为y ＝2. 方法二 如图所示，
设抛物线方程为x 2
＝－2py (p >0)， 则焦点F ⎝
⎛
⎭⎪⎫
0，－p 2，
准线l ：y ＝p
2，作MN ⊥l ，垂足为N . 则MN ＝MF ＝5，而MN ＝3＋p
2
，
∴3＋p
2
＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2
＝－8y ，
准线方程为y ＝2.
由m 2
＝(－8)×(－3)，得m ＝±2 6.
变式迁移2 解 (1)双曲线方程化为x 29－y 2
16
＝1，
左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2
＝－2px (p >0)且－p
2
＝－3，∴p ＝6.
∴方程为y 2
＝－12x .
(2)由于P (2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y 2
＝mx (m >0)或 x 2＝ny (n <0)，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，
∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2
＝－y .
例
3 解题导引 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB 为焦
点弦，以y 2
＝2px (p >0)为例)：
①y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4
；
②AB ＝x 1＋x 2＋p .
证明 (1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，0.设过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．
①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，
消去x ，得ky 2
－2py －kp 2
＝0.(*)
当k ＝0时，方程(*)只有一解，∴k ≠0，
由韦达定理，得y 1y 2＝－p 2
；
②当斜率不存在时，得两交点坐标为
⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，－p ，∴y 1y 2＝－p 2. 综合两种情况，总有y 1y 2＝－p 2
.
方法二 由抛物线方程可得焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，0，设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p
2，并设A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)，
则A 、B 坐标满足⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝ky ＋p 2，y 2＝2px ，
消去x ，可得y 2
＝2p ⎝
⎛
⎭⎪⎫
ky ＋p 2，
整理，得y 2－2pky －p 2
＝0，
∴y 1y 2＝－p 2
.
(2)直线AC 的方程为y ＝y 1x 1x ，
∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p
2
，－py 12x 1，
y C ＝－py 12x 1＝－p 2y 1
2px 1
.
∵点A (x 1，y 1)在抛物线上，∴y 2
1＝2px 1.
又由(1)知，y 1y 2＝－p 2
，
∴y C ＝y 1y 2·y 1
y 21
＝y 2，∴BC ∥x 轴．
变式迁移3 证明 (1)∵y 2
＝2px (p >0)的焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －p 2 (k ≠0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪
⎫x －p 2y 2＝2px
，消去x ，得ky 2－2py －kp 2
＝0.
∴y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝y 1y 22
4p
2
＝p 24
， 当k 不存在时，直线方程为x ＝p
2，这时x 1x 2＝p 2
4.
因此，x 1x 2＝p 2
4
恒成立．
(2)1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋
p
2
＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋
p 24
.又∵x 1x 2＝p 2
4，
代入上式得1AF ＋1BF ＝2p ＝常数，所以1AF ＋1
BF
为定值．
课后练习区
1．－45
解析 方法一 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －4，
y 2
＝4x ，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝－2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝4.
令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，
∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.
∴cos ∠AFB ＝BF 2＋AF 2－AB 22BF ·AF ＝4＋25－45
2×2×5
＝－45
.
方法二 由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →
＝(0，－2)， ∴|FA →|＝32＋42
＝5，|FB →|＝2.
∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|
＝3×0＋4×－25×2＝－4
5.
2．2
解析 如图所示，A ，B 两点关于x 轴对称，F 点坐标为(p
2
，0)，设A (m ，2pm )(m >0)，
则由抛物线定义，
AF ＝AA 1，
即m ＋p
2＝AF .
又AF ＝AB ＝22pm ，
∴m ＋p
2＝22pm ，整理，得m 2
－7pm ＋p 2
4＝0，①
∴Δ＝(－7p )2
－4×p 2
4
＝48p 2
>0，
∴方程①有两相异实根，记为m 1，m 2，且m 1＋m 2＝7p >0，m 1·m 2＝p 2
4
>0，∴m 1>0，m 2>0，
∴n ＝2.
3．相切 4.(18，±2
4
) 5.(1，±2)
6.6－1
解析 如图所示，若圆C 的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x ＝3同时相切，设
圆心的坐标为(a,0)(a <3)，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝(3－a )2，与抛物线方程y 2
＝2x 联立
得x 2＋(2－2a )x ＋6a －9＝0，由判别式Δ＝(2－2a )2
－4(6a －9)＝0，得a ＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－1.
7．4 2 8.32
4
9．解 设直线和抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y 2
＝2px (p >0)，则⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2＝2px y ＝2x ＋1，消去y 得，
4x 2
－(2p －4)x ＋1＝0，
∴x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝1
4
， (4分)
∴AB ＝1＋k 2
|x 1－x 2|
＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2
＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫p －222－4×14＝15，
(7分)
则
p 2
4
－p ＝3，p 2
－4p －12＝0，
解得p ＝6(p ＝－2舍去)，
抛物线方程为y 2
＝12x .(9分)
(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y 2
＝－2px (p >0)，仿(1)不难求出p ＝2，
此时抛物线方程为y 2
＝－4x . 综上可得，
所求的抛物线方程为y 2＝－4x 或y 2
＝12x . (14分) 10．证明 因为直线AB 与x 轴不垂直，
设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋2，y ＝18
x 2
，
可得x 2
－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.
(4分)
抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝1
4
x .(7分)
所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是
k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2
＝1
16
x 1·x 2＝－1. 所以AQ ⊥BQ .(14分)
11．解 (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，
所以点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，
∴所求轨迹的方程为x 2
＝4y .(5分)
(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y 得x 2
－4kx －4＝0. 记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. (8分)
因为直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2k ，－1. (9分)
RP →
·RQ →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1＋2
k ，y 1＋1·⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
x 2＋2
k ，y 2＋1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)
＝(1＋k 2
)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k
2＋4
＝－4(1＋k 2
)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k
＋2k ＋4k
2＋4
＝4⎝
⎛⎭
⎪⎫k 2＋1k 2＋8，(11分)
∵k 2
＋1k
2≥2，
当且仅当k 2
＝1时取到等号． RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →
的最小值为16.(14分)。