《创新设计》2021届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)习题：填空题训练

限时练(一)
(建议用时：40分钟) 1.若a ＋b i ＝
5
1＋2i
(i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝________. 解析 a ＋b i ＝51＋2i
＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2.
答案 －2
2.在区间[20，80]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50，75]内的概率为________. 解析 选择区间长度度量，则所求概率为75－5080－20
＝5
12.
答案 5
12
3.已知平面对量a ＝(2，4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a·b )b ，则|c |＝________. 解析 由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，
所以c ＝a －(a·b )b ＝a ＋6b ＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，所以|c |＝8 2. 答案 8 2
4.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ∩A ＝B ，则实数m 的取值范围是________.
解析 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ∩A ＝B ，则B ⊆A ，如图所示.
则⎩⎪⎨⎪
⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，
解得2＜m ≤4. 综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 答案 (－∞，4]
5.某地政府调查了工薪阶层1 000人的月工资收入，并依据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满足程度，要接受分层抽样的方法从调查的1 000人中抽出100人做电话询访，则(30，35](单位：百元)月工资收入段应抽取________人.
解析 月工资收入落在(30，35](单位：百元)内的频率为1－(0.02＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，则0.15÷5＝0.03，所以各组的频率比为0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝2∶4∶5∶5∶3∶1，
所以(30，35](单位：百元)月工资收入段应抽取3
20×100＝15(人). 答案 15
6.运行如图所示的伪代码，其结果为________.
S ←1
For I From 1 To 7 step 2
S ←S ＋I End For Print S
解析 该伪代码输出的S ＝1＋1＋3＋5＋7＝17. 答案 17
7.在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝3
5，则边c ＝________. 解析 由题意可得sin B ＝4
5，sin C ＝sin(A ＋B )
＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋B ＝sin π4cos B ＋cos π4sin B ＝22×35＋22×45＝72
10.
在△ABC 中，由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ，则c ＝a sin C
sin A ＝5×7210
22＝7.
答案 7
8.已知数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 解析 法一 由于数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列. 又a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列， 所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5是常数列，故q ＝1.
法二 由于数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，
得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2， 所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1. 答案 1
9.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，E 为棱CC 1的中点，则三棱锥A 1－B 1C 1E 的体积为________.
解析 由题意得S △A 1B 1C 1＝1
4×3×22＝3，又由于E 为棱CC 1的中点，所以EC 1＝1，所以V 三棱锥A 1－B 1C 1E ＝V 三棱锥E －A 1B 1C 1＝13EC 1·S △A 1B 1C 1＝3
3. 答案 3
3
10.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P 使得PF 1＋PF 2＝3b ，PF 1·PF 2＝9
4ab ，则该双曲线的离心率为________.
解析 由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ，又PF 1＋PF 2＝3b ，所以(PF 1＋PF 2)2－(PF 1－PF 2)2＝9b 2
－4a 2
，即4PF 1·PF 2＝9b 2
－4a 2
，又4PF 1·PF 2＝9ab ，因此9b 2
－4a 2
＝9ab ，即9⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－9⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b a －4
＝0，
则⎝ ⎛⎭⎪⎫3b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫
3b a －4＝0， 解得b a ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝－13舍去，
则双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝53. 答案 5
3
11.若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________. 解析 由于x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时，取“＝”，所以x 2＋2y 2的最小值为2 2. 答案 2 2
12.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，
0，x ＝0，－1，x ＜0，
g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.
解析
由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，
函数图象如图所示，其递减区间是[0，
1).
答案 [0，1)
13.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE
→·AF →＝1，CE →·CF →＝－23
，则λ＋μ＝________.
解析 如图所示，以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy ，不妨设A (0，－1)，B (－3，0)，C (0，1)，D (3，0)，由题意得CE
→＝(1－λ)CB →＝(3λ－3，λ－1)，
CF
→＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1). 由于CE →·CF →＝－23，所以3(λ－1)·
(1－μ)＋(λ－1)·(μ－1)＝－23，
即(λ－1)(μ－1)＝1
3.
由于AE
→＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1)，AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)， 又AE
→·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2. 由⎩⎨⎧（λ－1）（μ－1）＝13，（λ＋1）（μ＋1）＝2，
整理得λ＋μ＝56. 答案 5
6
14.设A (1，0)，B (0，1)，直线l ：y ＝ax ，圆C ：(x －a )2＋y 2＝1.若圆C 既与线段AB 有公共点，又与直线l 有公共点，则实数a 的取值范围是________.
解析 由于圆与直线l 有交点，则圆心到直线的距离小于等于半径， 即有
a 21＋a
2
≤1，
所以a 2
∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，
1＋52； 由于圆C 与线段AB 相交， 则a ≤2且
|a －1|2≤1，
即⎩⎪⎨⎪⎧1－2≤a ≤2＋1，
a ≤2⇒1－2≤a ≤2. 综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤
1－2，
1＋52. 答案 ⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤
1－2，
1＋52 限时练(二)
(建议用时：40分钟)
1.设集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则∁R (A ∩B )＝________.
解析 由已知条件可得A ＝[－2，2]，B ＝[－4，0]， ∴∁R (A ∩B )＝(－∞，－2)∪(0，＋∞). 答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)
2.某中学为了了解同学的课外阅读状况，随机调查了50名同学，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下图的条形图表示.依据条形图可得这50名同学这一天平均每人的课外阅读时间为________小时.
解析 一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与同学的比，即 0×7＋0.5×14＋1.0×11＋1.5×11＋2.0×7
50＝0.97(小时).
答案 0.97
3.若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________.
解析 ∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴z ＝－3＋4i
1＋2i ＝（－3＋4i ）（1－2i ）
（1＋2i ）（1－2i ）＝5＋10i
5＝1＋2i.
答案 1＋2i
4.下图是某算法的流程图，则算法运行后输出的结果是________.
解析 由框图的挨次，s ＝0，n ＝1，s ＝(s ＋n )n ＝(0＋1)×1＝1，n ＝n ＋1＝2，依次循环s ＝(1＋2)×2＝6，n ＝3，留意此刻3＞3仍旧否，所以还要循环一次s ＝(6＋3)×3＝27，n ＝4，此刻
输出s ＝27. 答案 27
5.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________. 解析 从袋子中随机取2个小球共有10种不同的方法，其中取出的小球标注的数字之和为3或6的方法共有3种，因此所求的概率等于310. 答案
310
6.在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB →·AC →的最小值为________.
解析 依题意得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即b 2＋c 2＋bc ＝4≥3bc ，bc ≤43，AB →·AC →
＝bc cos A ＝－12bc ≥－2
3，当且仅当b ＝c ＝ 4
3时取等号，
因此AB →·AC →
的最小值是－23. 答案 －2
3
7.在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m ，1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________.
解析
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －4|5＝4，
2m ＋1≥3，
解得m ＝6.
答案 6
8.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α
＝________. 解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋π12＝±154，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
α＋π12＝±154.
答案 ±15
4
9.已知四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且VA ＝4，则此四棱锥的侧面中，全部直角三角形的面积的和是________.
解析 可证四个侧面都是直角三角形，其面积S ＝2×12×3×4＋2×1
2×3×5＝27. 答案 27
10.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________. 解析 由焦距为10知，
c ＝5，即a 2＋b 2＝25，依据双曲线方程可知，渐近线方程为y ＝±
b
a x ，代
入点P 的坐标得，a ＝2b ，联立方程组可解得a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线方程x 220－y
25＝1.
答案 x 220－y 2
5＝1
11.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－3)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为________.
解析 由导数的几何意义可知，f ′(x 0)＝(x 0－3)(x 0＋1)2≤0，解得x 0≤3，即该函数的单调递减区间是(－∞，3]. 答案 (－∞，3]
12.在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝5
5，则c ＝________，a ＝________.
解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，所以c ＝b sin C
sin B ＝25×5
5
22＝2 2.由c ＜b 得C ＜B ，故C 为锐
角，所以cos C ＝255，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝31010，由正弦定理得b
sin B ＝a sin A ，所以a ＝b sin A
sin B ＝25×31010
2
2＝6.
答案 22 6
13.已知函数f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)有且仅有一个零点x 0，若x 0＞0，则a 的取值范围是________.
解析 已知f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)，则f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， ①若f ′(x )≥0恒成立，则a ＝0，这与a ＞0冲突. ②若f ′(x )≤0恒成立，明显不行能.
③若f ′(x )＝0有两个根a ，－a ，而a ＞0，则f (x )在区间(－∞，－a )上单调递增，在区间(－a ，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增，故f (－a )＜0，即2a 2
－6a ＋3＜0，解得3－3
2
＜a
＜3＋32.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3－32，3＋32
14.已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1
S n ≤B 对n ∈N *恒成
立，则B －A 的最小值为________.
解析 依题意得S n ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13＝1－
⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n .当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤1，43； 当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
89，1.
由函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上是增函数得S n －1S n 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1772，0∪⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，712，
因此有A ≤－1772，B ≥712，B －A ≥712＋1772＝59
72， 即B －A 的最小值是59
72. 答案 59
72
限时练(三)
(建议用时：40分钟)
1.设全集U ＝{n |1≤n ≤10，n ∈N *}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.
解析 由题意，得U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故∁U A ＝{4，6，7，9，10}，所以(∁U A )∩B ＝{7，9}. 答案 {7，9} 2.不等式
4
x －2
≤x －2的解集是________. 解析 ①当x －2＞0，即x ＞2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4； ②当x －2＜0，即x ＜2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x ＜2. 答案 [0，2)∪[4，＋∞)
3.已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的________条件.
解析 若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，明显两条直线垂直； 若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，
所以a ＝－1或a ＝2，因此“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件. 答案 充分不必要
4.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调增区间是________.
解析 由于f (x )＝(x －3)e x ，则f ′(x )＝e x (x －2)，令f ′(x )＞0，得x ＞2，所以f (x )的单调增区间为(2，＋∞).
答案 (2，＋∞)
5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π
6，a ＝1，b ＝3，则角B ＝________.
解析 由正弦定理得a sin A ＝b
sin B ，
得sin B ＝b sin A a ＝3
2，又由于A ＝π6，且b ＞a ，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，
所以B ＝π3或2π
3.
答案 π3或2π
3
6.执行如图所示的流程图，假如输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 的取值范围为________.
解析 由流程图可知S 是分段函数求值，
且S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2－2，t ∈[－2，0），
t －3，t ∈[0，2]，
其值域为(－2，6]∪[－3，－1]＝[－3，6]. 答案 [－3，6]
7.若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”时真命题，则实数a 的取值范围是________.
解析 当a ＝0时，不等式明显成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上
－8≤a ≤0. 答案 [－8，0]
8.从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a ，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为________.
解析 由题意可知m ＝(a ，b )有(2，1)，(2，3)(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种状况.由于m ⊥n ，即m·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ，
满足条件的有(3，3)，(5，5)，共2个.故所求的概率为1
6. 答案 1
6
9.已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此正四棱锥的侧棱长为________. 解析 设正四棱锥的高为h ，底面正方形的边长为a ，
则a ＝42，V ＝1
3a 2h ＝32，解得h ＝3，所以此正四棱锥的侧棱长为h 2
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫2a 22
＝5. 答案 5
10.已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，且圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________.
解析 C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1，1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，
－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案 (x －2)2＋(y ＋2)2＝1
11.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，7个剩余分数的方差为________.
8 9
7 7
4 0 1 0 x 9 1
解析 由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4，所以s 2＝17×[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝36
7. 答案 36
7
12.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n ＞0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a n ＞0得q ＞0，S n ＞0.又S 6－2S 3＝(a 4＋a 5＋a 6)－(a 1＋a 2＋a 3)＝S 3q 3
－S 3＝5，则S 3＝5
q 3－1，由S 3＞0，得q 3
＞1，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝S 3q 6
＝5q 6
q 3－1
＝
5
1
q 3－1q 6
，令1q 3＝t ，t ∈(0，1)，则1q 3－1q
6＝t －t 2
＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14∈⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，14，所以当t ＝12，即q 3＝2时，1q 3－1q 6取得最大值14，此时S 9－S 6取得最小值20.
答案 20
13.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，
x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实
数a 的值为________.
解析 法一 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示， 可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C ＞z A 即可， 解得a ＝－1或a ＝2.
法二 目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2. 答案 －1或2
14.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x
＋m
2x ，设g (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞1，f （－x ），x ≤1，
若函数y ＝g (x )
－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________. 解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数可得f (0)＝1＋m ＝0， 解得m ＝－1，则f (x )＝2x
－1
2x ，
f ′(x )＝2x ln 2＋ln 2
2x ＞0，则f (x )在R 上是递增函数.函数y ＝g (x )－t 有且只有一个
零点即函数y ＝g (x )，y ＝t 的图象只有一个交点，作出函数y ＝g (x )，y ＝t 的图象如图所示，由图可知实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－32，32.
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－32，32
限时练(四)
(建议用时：40分钟)
1.设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝______. 解析 由于N ＝{x |x 2≤x }＝{x |0≤x ≤1}，所以M ∩N ＝{0，1}. 答案 {0，1}
2.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________. 解析 设应抽取的女运动员人数是x ，则x 98－56＝28
98，易得x ＝12.
答案 12 3.复数
1
1＋i
＝________. 解析 1
1＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝1－i 2＝12－12i.
答案 12－1
2i
4.某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是________.
I ←1 S ←1 While S ≤24 S ←S ×I I ←I ＋1 End While Print I
解析 逐次写出运行结果.该伪代码运行5次，各次S 和I 的值分别是1和2；2和3；6和4；24和5；120和6，所以该算法输出的I ＝6. 答案 6
5.将一颗骰子先后抛掷两次，观看向上的点数，则点数相同的概率是________.
解析 利用古典概型的概率公式求解.将一颗骰子先后抛掷两次，向上的点数共有36种不同的结果，其中点数相同的有6个，故所求概率为636＝1
6.
答案 1
6
6.已知等比数列{a n }满足a 5a 6a 7＝8，则其前11项之积为________.
解析 利用等比数列的性质求解.由a 5a 6a 7＝a 36＝8得，a 6＝2，所以，其前11项之积为a 1a 2…a 11
＝a 116＝211.
答案 211
7.对于任意x ∈[1，2]，都有(ax ＋1)2
≤4成立，则实数a 的取值范围为________.
解析 由不等式(ax ＋1)2≤4在x ∈[1，2]恒成立，得－2≤ax ＋1≤2在x ∈[1，2]恒成立，利用分别参数的方法得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x min
，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x max ，
利用反比例函数的单调性得－32≤a ≤1
2. 答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－32，12
8.若α是锐角，且cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3＝－33，则sin α的值等于________.
解析 ∵α是锐角，∴π3＜α＋π3＜5π
6， 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α＋π3＝63.
∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π
3
＝63×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－33×32＝6＋36.
答案
6＋36
9.设四周体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a
的取值范围是________.
解析 由题知令BD ＝BC ＝AD ＝AC ＝1，AB ＝a ，则DC ＝2，分别取DC ，AB 的中点E ，F ，连接AE 、BE 、EF .由于EF ⊥DC ，EF ⊥AB .而BE ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫222
＝
1－12＝2
2，BF ＜BE ，AB ＝2BF ＜2BE ＝ 2.
答案 (0，2)
10.过点P (1，1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分成两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________.
解析 当OP 与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为x ＋y －2＝0. 答案 x ＋y －2＝0
11.两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________. 解析 在△ACD 中，简洁求得AD ＝2010， AC ＝305，又CD ＝50，由余弦定理可得
cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝2
2，所以∠CAD ＝45°，
即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 答案 45°
12.两个半径分别为r 1，r 2的圆M 、N ，公共弦AB 长为3，如图所示，则AM →·AB →
＋AN
→·AB →＝________. 解析 连接圆心MN 与公共弦相交于点C ，则C 为公共弦AB 的中点，且MN ⊥AB ，故AM →·AB →＝
|AB
→||AM →|·cos ∠MAC ＝|AB →|·|AC →|＝12|AB →|2＝92，同理AN →·AB →＝|AB →||AN →|·cos ∠NAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92， 故AM →·AB →＋AN →·AB →＝9.
答案 9
13.设a ＝2 0110.1，b ＝ln 2 0122 010，c ＝log 122 011
2 010，则a ，b ，c 的大小关系是________.
解析 由指数函数、对数函数图象可知a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0，所以a ＞b ＞c . 答案 a ＞b ＞c
14.设f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是________.
解析 原问题等价于方程|ln x |＝ax 在区间(0，4)上有三个根，令h (x )＝ln x ⇒h ′(x )＝1
x ，
由h (x )在(x 0，ln x 0)处切线y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)过原点得x 0＝e ，即曲线h (x )过原点的切线斜率为1
e ，
而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 22，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
ln 22，1e .
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ln 22，1e
限时练(五)
(建议用时：40分钟)
1.已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2－1＞0}，则A ∩B ＝________. 解析 由题意得B ＝{x |x ＜－1或x ＞1}，则A ∩B ＝{2}. 答案 {2}
2.已知复数z 满足：z (1－i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为________. 解析 由题意得z ＝2＋4i 1－i
＝
（2＋4i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）
＝－1＋3i.所以|z |＝|－1＋3i|＝
（－1）2＋32＝
10. 答案
10
3.将四个人(含甲、乙)分成两组，每组两人，则甲、乙为同一组的概率为________.
解析 设4个人分别为甲、乙、丙、丁，依题意，基本大事有(甲乙，丙丁)，(甲丙，乙丁)，(甲丁，丙乙)，共3种.满足要求的大事只有(甲乙，丙丁)，共1种，所以其概率为1
3. 答案 1
3
4.直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________.
解析 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°
cos 150°
＝33.
答案 3
3
5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x ＞0，2x ，x ≤0，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.
解析 由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
19＝log 319＝log 33－2＝－2，
所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝2－2＝14.
答案 1
4
6.某中学从某次考试成果中抽取若干名同学的分数，并绘制成如图所示的频率分布直方图.样本数据分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].若接受分层抽样的方法从样本
中抽取分数在[80，100]范围内的数据16个，则其中分数在[90，100]范围内的样本数据有________个.
解析 分数在[80，100]内的频率为(0.025＋0.015)×10＝0.4，而分数在[90，100]内的频率为0.015×10＝0.15.设分数在[90，100]内的样本数据有x 个， 则由16x ＝0.4
0.15，得x ＝6. 答案 6
7.假如关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a 的取值范围是________. 解析 由5x 2－a ≤0，得－a
5≤x ≤
a
5，由于正整数解是1，2，3，4，则4≤
a
5＜5，
所以80≤a ＜125. 答案 [80，125)
8.已知将圆锥的侧面开放恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________. 解析依题意可得原圆锥的母线长为l＝2，
设底面半径为r，则2πr＝π×2⇒r＝1，
从而高h＝l2－r2＝22－12＝3，
所以圆锥的体积为V＝1
3Sh＝1
3
πr2h＝
3π
3.
答案3π3
9.执行如图所示的流程图，假如输入的x，t均为2，那么输出的S＝________.
解析循环体部分的运算为：
第一步，M＝2，S＝5，k＝2；
其次步，M＝2，S＝7，k＝3.故输出的结果为7.
答案7
10.已知向量a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________. 解析(a－2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，
故|a|2－2a·b＝|a|2－2|a|2cos〈a，b〉＝0，
可得cos〈a，b〉＝1
2，又由于0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝
π
3.
答案π
3
11.设α为锐角，若cos
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
6＝
3
5，则sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α－
π
12＝________.
解析由于α∈
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
0，
π
2
，所以α＋
π
6
∈
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
6
，
2π
3
，
故sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
6
＞0，从而sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
6
＝1－9
25
＝4
5
，
所以sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α－
π
12
＝sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
6
－
π
4
＝sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
6
cos
π
4
－
cos
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
α＋
π
6
sin
π
4
＝2
10.
答案
2
10
12.设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中
点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为________.
解析法一设线段PF1的中点为Q，则OQ是△PF1F2的中位线，则PF2∥OQ，又由OQ⊥x
轴，得PF2⊥x轴.
将x＝c代入x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)中，得y＝±b2
a
，
则点P
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
c，±
b2
a.
由tan∠PF1F2＝PF2
F1F2
＝3
3
，得
b2
a
2c
＝3
3
，
即3b2＝23ac，得3(a2－c2)＝23ac，
则3c2＋23ac－3a2＝0，
两边同时除以a2得3e2＋23e－3＝0，
解得e＝－3(舍去)或e＝3
3.
法二设线段PF1的中点为Q，则OQ是△PF1F2的中位线，则PF2∥OQ，则由OQ⊥x轴，得
PF 2⊥x 轴.
将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)中， 得y ＝±b
2
a ，
则点P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫c ，±b 2a .由椭圆的定义，得PF 1＝2a －b 2a ，
由∠PF 1F 2＝30°，得PF 1＝2PF 2， 即2a －b 2a ＝2b 2
a ，得2a 2＝3
b 2＝3(a 2－
c 2)， 得a 2
＝3c 2，得c 2a 2＝1
3，
故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝3
3. 答案 3
3
13.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1
c 的最小值为________.
解析 由于a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋
a ＋
b ＋c
c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，
取等号. 答案 9
14.若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 014积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________.
解析 由题可知a 1a 2a 3·…·a 2 014＝a 2 014，
故a 1a 2a 3·…·a 2 013＝1，由于{a n }是各项均为正数的等比数列且a 1＞1，所以a 1 007＝1，公比q ∈(0，1)，
所以a 1 006＞1且0＜a 1 008＜1，
故当数列{a n }的前n 项的乘积取最大值时n 的值为1 006或1 007. 答案 1 006或1 007
限时练(六)
(建议用时：40分钟)
1.已知集合M ＝{1，2，3}，N ＝{2，3，4}，则M ∩N ＝________. 解析 {1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}. 答案 {2，3}
2.为了分析某篮球运动员在竞赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场竞赛中的
得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________.
解析 平均数x －
＝14＋17＋18＋18＋20＋21
6＝18，故方差s 2＝16
(42＋12＋02＋02＋22＋32
)＝5.
答案 5
3.已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 为虚数单位)，则z 的模为________. 解析 由(z －2)i ＝1＋i ，得z ＝1＋i
i ＋2＝3－i ，所以|z |＝10. 答案
10
4.如图是一个算法的流程图，则最终输出的S ＝________.
解析 这是一个典型的当型循环结构， 当n ＝1，3，5，7，9，11时满足条件，
执行下面的语句，S ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＝36，当n ＝13时不满足条件，退出循环，执行输出S ＝36.
答案 36
5.已知m ∈{－1，0，1}，n ∈{－1，1}，若随机选取m ，n ，则直线mx ＋ny ＋1＝0恰好不经过其次象限的概率是________.
解析 依题意，留意到可形成数组(m ，n )共有6组，其中相应直线mx ＋ny ＋1＝0恰好不经过其次象限的数组(m ，n )共有2组(它们是(0，1)与(－1，1))，因此所求的概率是26＝1
3. 答案 1
3
6.在△ABC 中，BD →＝2DC →，若AD →＝λ1AB →＋λ2AC →，则λ1λ2
的值为________.
解析 利用向量的运算法则求解.由于AD
→＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，所以λ1＝13，λ2＝23，故λ1λ2＝2
9. 答案 2
9
7.已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是________. 解析 作出函数图象可知若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，即为a 2＋2a －1＝－(b 2＋2b －1)， 整理得(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝4， 设⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋2cos θ，b ＝－1＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4，
所以ab ＋a ＋b ＝－1＋2sin 2θ∈(－1，1). 答案 (－1，1)
8.在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝45°，则b ＝________.
解析 由已知得sin A ＝sin(B ＋C )＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋2
4，又a ＝8， ∴b ＝a sin B sin A ＝
8×326＋24
＝
1636＋2
＝122－4 6.
答案 122－4 6
9.在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________.
解析 圆x 2
＋y 2
＝4的圆心O (0，0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|
5＝1，
弦AB 的长AB ＝2r 2－d 2＝2 3.
答案 2 3
10.已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2)，且当n ＝1时其图象过点(2，8)，则a 7的值为________. 解析 由于y ＝a n x 2在x ＝1处的切线斜率为2a n ， 所以2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)， 即a n ＝a n －1＋1
2(n ≥2)， 又8＝4a 1⇒a 1＝2， 所以a 7＝a 1＋6×1
2＝5. 答案 5
11.设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是________(填序号). ①假如α⊥β，那么α内肯定存在直线平行于β
②假如α不垂直于β，那么α内肯定不存在直线垂直于β ③假如α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ
④假如α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角互余 解析 假如α⊥β，那么α内肯定存在直线平行于β，
即命题①正确；假如α不垂直于β， 那么α内肯定不存在直线垂直于β， 即命题②正确；假如α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，
那么l ⊥γ，即命题③正确； 假如α⊥β，l 与α，β都相交，
那么l 与α，β所成的角不肯定互余，即命题④不正确. 答案 ④
12.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝
⎛
⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ≤π2的部分图象如图，则φ的值为________.
解析 由三角函数图象可得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，0，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π
3＋φ＝0⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，
且0＜φ≤π2，所以φ＝π
3. 答案 π
3
13.若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________.
解析 利用二次函数图象求解.由题意可得(f (x )max －f (x )min )min ≥8.f (x )min 越大， 所以当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，
f (x )max －f (x )min 取得最小值，为f (t ＋1)－f (t )＝a ≥8， 所以实数a 的最小值为8. 答案 8
14.已知函数f (x )＝x 33＋ax 2
2＋2bx ＋c 在区间(0，1)内取极大值，在区间(1，2)内取微小值，则z ＝(a ＋3)2＋b 2的取值范围为________.
解析 由于函数f (x )在区间(0，1)内取极大值，在区间(1，2)内取微小值，
所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即⎩⎪⎨⎪
⎧b >0，1＋a ＋2b ＜0，a ＋b ＋2＞0，
对应可行域如图，目标函数z ＝(a ＋3)2＋b 2的几何意义是可行域上的点(a ，b )到定点P (－3，0)
的距离的平方，点P 到边界a ＋b ＋2＝0的距离的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1
2，到点(－1，0)的距离的平方
为4，由于可行域不含边界，所以z 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，4.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，4
限时练(七)
(建议用时：40分钟) 1.已知复数
a ＋3i
1－2i
是纯虚数，则实数a ＝________. 解析 a ＋3i
1－2i ＝a －6＋（2a ＋3）i 5，所以当a ＝6时，复数a ＋3i
1－2i 为纯虚数.
答案 6
2.函数y ＝ln ⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.
解析
要使函数有意义，需⎩⎨⎧1＋1
x ＞0，
1－x 2≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＞0，
x 2≤1，
即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，－1≤x ≤1，解得0＜x ≤1，所以其定义域为(0，1]. 答案 (0，1]
3.检验某产品直径尺寸的过程中，将某尺寸分成若干组，[a ，b )是其中的一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组在频率分布直方图上的高为h ，则|a －b |＝________. 解析 依据概率分布直方图的概念可知，|a －b |×h ＝m ，由此可知|a －b |＝m h . 答案 m
h
4.已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________. 解析 集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2，4]，由于A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2， 即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]. 答案 (－∞，－2]
5.在四边形ABCD 中，AC
→＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为________.
解析 依题意得，AC
→·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，
所以AC
→⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5. 答案 5
6.依据如图所示的伪代码可知，输出的S ＝________.
i ←1 While i ＜8 i ←i ＋2 S ←2i ＋3 End While Print S
解析 初始值i ＝1，第一次循环：i ＝3，S ＝9； 其次次循环：i ＝5，S ＝13；
第三次循环：i ＝7，S ＝17； 第四次循环：i ＝9，S ＝21；
此时不满足条件“i ＜8”，循环停止，输出S 的值为21. 答案 21
7.点P 从(1，0)动身，沿单位圆逆时针方向运动2π
3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________. 解析 由三角函数定义可知点Q 的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝3
2. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，32
8.在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为________.
解析 过点A 作AH ⊥BC 于点H ，则BH ＝1. 过点A 作AG ⊥AB 交BC 于点G ，则BG ＝4.
要使△ABD 为钝角三角形，则点D 在线段BH 或CG 上(不含端点B ，H ，G )，故所求概率为P ＝1＋26＝12. 答案 1
2
9.设α和β为不重合的两个平面，给出下列四个命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；
③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充要条件是l 与α内的两条直线垂直. 则其中为真命题的是________(填序号).
解析 由面面平行，线面平行的判定定理可知①②是正确的；③错误；④l 与α内的两条直线垂直不能得到直线l 与α垂直，l 与α内的两条直线垂直是直线l 与α垂直的必要不充分条件. 答案 ①②
10.以双曲线x 23－y 2
＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为________.
解析 由双曲线方程x 23－y 2＝1得c ＝2 ，所以双曲线右焦点的坐标为(2，0)，即p
2＝2，所以2p ＝8，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x . 答案 y 2＝8x
11.已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________.
解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，
方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故1
2＜k ＜1. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1
12.若sin θ＝－35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2θ＋π3＝________.
解析 由于sin θ＝－3
5，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，
所以cos θ＝
1－sin 2θ＝4
5
，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝7
25， 所以2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2θ＋π3＝2sin 2θcos π3＋
2cos 2θsin π3＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2425×1
2＋2×725×32＝73－2425.
答案
73－24
25
13.在等差数列{a n }中，已知a n
a 2n 是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为________.
解析 由题意知a n a 2n ＝a 1＋（n －1）d a 1＋（2n －1）d ＝1
2＋12a 1－1
2
d a 1＋（2n －1）d .
当d ＝0时，上式＝1；当a 1＝d 时，上式＝1
2. 答案
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫1，12
14.已知正实数x ，y ，z 满足2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋1z 的最小值为________.
解析 由题知，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋1z ＝x 2＋x z ＋x y ＋1yz
＝x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1y ＋1z ＋1yz ， 又2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1z ＝yz 2＋1yz .
又由于x ，y ，z 为正实数，所以yz 2＋1yz ≥2yz 2·1
yz ＝2，当且仅当yz ＝2时，等号成立，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋1z 的最小值为 2.
答案
2
限时练(八)
(建议用时：40分钟)
1.已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x ≤0}，则A ∩B ＝________. 解析 ∵B ＝[0，2]，∴A ∩B ＝[0，1]. 答案 [0，1]
2.复数5（1＋4i ）2
i （1＋2i ）
＝________.
解析 5（1＋4i ）2i （1＋2i ）＝5（－15＋8i ）－2＋i ＝5（－15＋8i ）（－2－i ）（－2＋i ）（－2－i ）
＝5（38－i ）
5＝38－i.
答案 38－i
3.某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成果进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________.
解析 高三班级总人数为：90
0.05＝1 800；90～100分数段人数的频率为0.45；分数段的人数为1 800×0.45＝810. 答案 810
4.曲线y ＝1
x 在x ＝2处的切线斜率为________.
解析 依据导数的几何意义，只要先求出导数以后，将x ＝2代入即可求解.由于y ′＝－1
x 2，所以y ′|x ＝2＝－1
4，即为切线的斜率. 答案 －1
4
5.将一枚骰子(一种六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )落在区域|x －2|＋|y －2|≤2的概率是________. 解析 利用古典概型的概率公式求解.将一枚骰子先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )共有36个，其中落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，2)，共11个，故所求概率是11
36. 答案 11
36
6.已知向量a ＝(3，1)，b ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，12，若a ＋λb 与a 垂直，则λ等于________.
解析 依据向量线性运算、数量积运算建立方程求解.由条件可得a ＋λb ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫3－λ，1＋12λ，所以
(a ＋λb )⊥a ⇒3(3－λ)＋1＋1
2λ＝0⇒λ＝4. 答案 4
7.已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8y
xy
的最小值为________.
解析 利用“1”的代换，结合基本不等式求解.由于x ，y 为正数，且x ＋2y ＝2，x ＋8y xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
x 2＋y ＝x 2y ＋8y
x ＋5≥2
x 2y ·8y x ＋5＝9，当且仅当x ＝4y ＝4
3时，等号成立，所以x ＋8y xy 的最小值为9.
答案 9
8.给出四个命题：
①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同始终线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同始终线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的序号是________. 解析 若α∥β，α∥γ，则β∥γ，
即平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①正确； 若a ∥α，a ∥β，则α与β平行或相交，故②错误； 若α⊥γ，β⊥γ，则平面α与β平行或相交，故③错误；
若a ⊥α，a ⊥β，则α与β平行，故④正确. 答案 ①④
9.设某流程图如图所示，该算法运行后输出的k 的值是________.
解析 阅读算法中流程图知： 运算规章是S ＝S ×k 2故
第一次进入循环体后S ＝1×32＝9，k ＝3；
其次次进入 循环体后S ＝9×52＝225＞100，k ＝5.退出循环，其输出结果k ＝5.故答案为：5. 答案 5
10.已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1的取值范围为________.
解析 利用a 1，a 2，a 5成等比数列确定公差与首项的关系，再解不等式即可.设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以
a 1，a 2，a 5成等比数列⇒a 2
2＝a 1a 5⇒(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )⇒d ＝2a 1，代入
不等式a 1＋a 2＋a 5＞13，解得a 1＞1. 答案 (1，＋∞)
11.P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.
解析
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 3a x ，
x 2a 2－y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32
4a ，
y ＝－24b ，
又PF 1垂直于x 轴，所以32
4a ＝c ， 即离心率为e ＝c a ＝32
4. 答案
32
4
12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________.
解析 由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝3
2， 又C 为三角形的内角，所以C ＝60°或120°.
若C ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝84， 此时，最大边是b ，故最大角为B ， 其余弦值cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3
221，
正弦值sin B ＝
53221
，正切值tan B ＝53
3； 若C ＝120°，此时，C 为最大角，其正切值为tan 120°＝－ 3. 答案
53
3或－ 3
13.若存在区间M ＝[a ，b ](a ＜b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个“稳定区间”.给出下列四个函数：①y ＝e x ，x ∈R ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝cos πx
2；④f (x )＝ln x ＋1.其中存在稳定区间的函数有________(写出全部正确命题的序号).
解析 依据新定义逐一推断.由于函数y ＝e x ，x ∈R 递增，且e x ＞x ，x ∈R 恒成立，函数y ＝e x ，x ∈R 不存在“稳定区间”，故①不存在“稳定区间”；函数f (x )＝x 3存在稳定区间[－1，0]或[0，1]或[－1，1]，故②存在“稳定区间”；函数f (x )＝cos πx
2存在稳定区间[0，1]，故③存在“稳定区间”；函数f (x )＝ln x ＋1在(0，
＋∞)上递增，且ln x ＋1≤x ，x ＞0恒成立，函数f (x )＝ln x ＋1在定义域上不存在“稳定区间”，故④不存在“稳定区间”. 答案 ②③
14.若关于x 的方程|x |
x ＋2
＝kx 2有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.
解析 由于关于x 的方程|x |
x ＋2＝kx 2有四个不同的实根，x ＝0是此方程的一个根，故关于x 的方
程
|x |
x ＋2
＝kx 2有3个不同的非零的实数解.
∴方程1
k ＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧x（x＋2），x＞0，
－x（x＋2），x＜0
有3个不同的非零的实数解，
即函数y＝1
k 的图象和函数g(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧x（x＋2），x＞0，
－x（x＋2），x＜0
的图象有3个交点，画出函数g(x)的图象，
如图所示，
故0＜1
k
＜1，解得k＞1.
答案(1，＋∞)
限时练(九)
(建议用时：40分钟)
1.已知集合M⊂≠{0，1，2，3，4}，则满足M∩{0，1，2}＝{0，1}的集合M的个数为________. 解析由题意易知M＝{0，1}或{0，1，3}或{0，1，4}或{0，1，3，4}，所以满足M∩{0，1，2}＝{0，1}的集合M的个数为4.
答案 4
2.若3＋b i
1－i
＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
解析由3＋b i
1－i
＝
（3＋b i）（1＋i）
（1－i）（1＋i）
＝
3－b＋（3＋b）i
2
＝a＋b i，得a＝
3－b
2
，b＝
3＋b
2
，解得b
＝3，a＝0，所以a＋b＝3.
答案 3
3.若命题p：|x|＝x，命题q：x2＋x≥0，则p是q的________条件.
解析设p：{x||x|＝x}＝x|x≥0＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，由于A B，所以p是q的充分不必要条件.
答案充分不必要4.若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2＝________.
解析由于
2＋3＋7＋8＋a
5
＝5，所以a＝5，所以s2＝1
5[(2－5)
2＋(3－5)2＋(7－5)2＋(8－5)2＋(5
－5)2]＝26
5.
答案
26
5
5.函数f(x)＝sin x cos x＋
3
2cos 2x的最小正周期为________.
解析由f(x)＝sin x cos x＋
3
2cos 2x＝
1
2sin 2x＋
3
2cos 2x＝sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2x＋
π
3
，得最小正周期为π.
答案π
6.已知四边形ABCD是半径为2的圆的内接正方形，现在圆的内部随机取一点P，点P落在正方形ABCD内部的概率为________.
解析由已知可得，正方形边长为22，再利用几何概型概率计算公式可得概率为
（22）2
π×22
＝2
π. 答案
2
π
7.执行如图所示的流程图，假如输入a＝2，b＝2，那么输出的a的值为________.
解析log32＞4不成立，执行第一次循环，a＝22＝4；
log34＞4不成立，执行其次次循环，a＝42＝16；
log316＞4＝log334＝log381不成立，执行第三次循环，a＝162＝256；
log3256＞4＝log381成立，跳出循环，输出的a的值为256.。