2020衡水名师理科数学专题卷：专题七《三角恒等变换与解三角形》 Word版含答案

2020衡水名师原创理科数学专题卷 专题七 三角恒等变换与解三角形
考点19：三角恒等变换（1-6题，13,14题，17,18题）
考点20：正，余弦定理及解三角形（7-12题，15,16题，19-22题）
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I 卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

） 1、考点19 易
已知π0π2αβ<<<<，又3sin 5α=，()4
cos 5αβ+=-，则sin β=（ ） A.0或2425- B.0或2225 C ．0 D.24
25
2、考点19 易
22cos 5sin 5
sin 40cos 40
-=( )
A ．1
B ．
1
2
C ．2
D ．1- 3、考点19 中难
cos104sin 80sin10︒
︒-
=︒
( )
A. D.3 4、考点19 中难
化简3cos 3
sin 14
cos 14
sin 222-+
-的结果为( ) A ．3- B ．1- C ．1 D ．3
5、考点19 中难
若πcos()sin 6
x αα++=,则2ππ
cos(2)cos()sin 36ααα++++的最大值为( ) A.
98
B.1
C.7
9
D.0 6、考点19 中难 已知1tan()42απ+=
，且02
απ
-<<，则sin 22sin 2αα+等于( )
A ．5
-
B ．25
-
C ．
25
D ．
5
7、考点20 易
在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若1a =,b =30A =︒,则角B 等于
( )
A. 60︒或120︒
B. 30︒或150︒
C. 60︒
D.120︒ 8、考点20 易 在ABC △中，若,2cos ,13
A b a
B c π
=
==，则ABC △的面积等于( )
A.
2
B.
4 C.
6
D.
8
9、考点20 易
ABC △中，a b c ，，分别为,,A B C ∠∠∠的对边，如果a b c ，，成等差数列，30B ∠=°，
ABC △的面积为3
2
，那么B 于
A.
12+ B. 1 C. 22
+ D. 2
10、考点20 中难
在ABC △中,已知2220b bc c --=,且a =
7
cos 8
A =
,则ABC △的面积是( )
A.
2
11、考点20 中难
在ABC △中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，2π
3
A =
,1,ABC b S ==△则2sin sin 2sin a b c
A B C
+-=+-（ ）
A ．． C ．．12、考点20 中难
如图,从山顶A 望地面上,C D 两点,测得它们的俯角分别为45和30,已知100CD =米,点C 位于BD 上,则山高AB 等于( )
A. 100米
B.
C. 米
D. )
50
1米
第Ⅱ卷（非选择题）
二.填空题（每题5分，共20分） 13、考点19 易 若ππ0,022αβ<<
<<，且13
tan ,tan 74
αβ==，则αβ+的值为__________ 14、考点19 难
如图,在△ABC 中, 1AB AC =
=,以BC 为斜边构造等腰直角三角形△BCD ,则得
到的平面四边形ABCD 面积的最大值为__________.
15、考点20 中难
在ABC △中，2,2,AB AC BC ===AB AC ⋅=______． 16、考点20难
在ABC △中,若(sin sin ):(sin sin ):(sin sin )4:5:6A B A C B C +++=,且该三角形的
面积为则ABC △的最大边长等于 . 三.解答题（共70分）
17、（本小题满分10分）考点19 易
已知函数2()sin 2f x x x a =-. 1.求函数()f x 的单调递减区间;
2.设π[0,]2
x ∈时,函数()f x 的最小值是-2,求()f x 的最大值. 18、（本小题满分12分）考点19 中难
已知函数2()2sin cos f x x x x =+-． 1.求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；
2.已知ABC △的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中7a =，若锐角A 满足
π
(
)26A f -=sin sin B C +=bc 的值． 19、（本小题满分12分）考点20 易
如图,在四边形ABCD 中, π
3
DAB ∠=,:2:3AD AB =,BD =
AB BC ⊥.
1.求sin ABD ∠的值;
2.若2π
3
BCD ∠=
,求CD 的长. 20、 （本小题满分12分）考点20 中难
为绘制海底地貌图,测量海底两点,C D 间的距离,海底探测仪沿水平方向在,A B 两点进行测量,,,,A B C D 在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得
30BAC ∠=︒,45DAC ∠=︒,45ABD ∠=︒, 75DBC ∠=︒同时测得AB =
1.求AD 的长度;
2.求,C D 之间的距离
21、（本小题满分12分）考点20 中难
如图，在ABC △中，D 为边BC 上一点，13,5,AC CD AD ===
1.求cos C 的值；
2.若4
cos 5
B =
，求ABC △的面积． 22、（本小题满分12分） 考点20 难
在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(2)cos cos a c B b C -=. 1.求角B ；
2.若ABC △a c +=sin sin A C 的值
答案以及解析
1答案及解析： 答案：D 解析：
2答案及解析： 答案：C 解析：
3答案及解析： 答案：A 解析：
4答案及解析： 答案：A 解析：
5答案及解析： 答案：A
解析：πcos()sin 6x αα++=,展开化简可得πsin()([1,1])3
x x α+=∈-,所以
222ππ
cos(
2)12sin ()1233x αα+=-+=-,所以22ππcos(2)cos()sin 1236x x ααα++++=-+,所以当1
4x =时,212x x -+有最大值为
9
8,故选A.
6答案及解析： 答案：B 解析：
7答案及解析： 答案：A 解析：
8答案及解析： 答案：B
解析：由正弦定理得2sinB sinAcosB =，故22
3
t a n B s i n A s i n π
===又0()B π∈，，
所以3
B π
=
，又3
A B π
==
,则ABC △是正三角形，所以
11sin 112224
ABC S bc A ==⨯⨯⨯=
△ 故答案为：B
9答案及解析： 答案：B 解析：解：
,,a b c 成等差数列，2b a c ∴=+，
平方得22242a c b ac +=-，
又ABC △的面积为3
2
，且30B ∠=°， 由1113sin sin 302242
ABC
S ac B ac ac =⋅=⋅==△°， 解得6ac =， 代入
式可得222412a c b +=-，
由余弦定理222222412312cos 226122
a b c b b b B ac ++---====
⨯，
解得24b =+ 又
b 为边长，
∴1b =+
故选B ．
10答案及解析： 答案：A
解析：由2220b bc c --=,得(2)()0b c b c -⋅+=,故2b c =或b c =- (舍去), 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及已知条件, 得23120c -=,故2c =,4b =,
又由7cos 8A =
及A 是ABC △
的内角可得sin A =,
故1242S =⨯⨯=
,故选A.
11答案及解析： 答案：C 解析：由2π3A ∠=
，得到sin A =,1cos 2A =-， 又1b =
，ABC S △，
∴
11sin 122bc A c =⨯⨯=，解得4c =， 根据余弦定理得：2222cos 116421a b c bc A =+=++=-
，解得a =
根据正弦定理sin sin sin 2
a b c A B C ====，
则
2sin sin 2sin sin sin sin a b c a b c
A B C A B C
+-====+-
12答案及解析： 答案：D 解析：
在ACD ∆中, 100CD =米
,30,453015,sin sin AC CD
D DAC ACB D D DAC
∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒∴=
=∠∠
在ABC ∆中
50,45,90,sin15ACB ABC AC ∠=︒∠=︒=
︒
米,∴)
50sin 45 4550sin151AB ACsin ︒
==
=︒︒米
13答案及解析：
答案：
π4
解析：∵ππ0,022
αβ<<
<<， ∴(0,π)αβ+∈， 又∵13tan ,tan 74
αβ=
=， ∴tan tan tan()11tan tan αβ
αβαβ++==-，
∴可得π4
αβ+=
14答案及解析：
答案：12
+ 解析：
15答案及解析： 答案：32
解析:
ABC △中，3,2,AB AC BC ===
由余弦定理，可得94101
cos 2324
A +-=
=⨯⨯
133242
AB AC ∴⋅=⨯⨯
= 故答案为：32
16答案及解析： 答案：14
解析：∵(sin sin ):(sin sin ):(sin sin )4:5:6A B A C B C +++=, ∴由正弦定理,得():():()4:5:6a b a c b c +++=,解得::3:5:7a b c =.
设3(0)a x x =>,则5,7,b x c x c ==为ABC △的最大边长.
∵2221
cos ,018022
b a
c C C ab +-==-︒<<︒,
∴120,sin C C =︒=
∴1sin 2ABC S ab C =
==△解得60ab =,即21560x =,解得2x =, ∴ABC △的最大边长7214c =⨯=.
17答案及解析： 答案：
1.π
()sin 2cos 2)sin 222sin(2)3
f x x x a x x a x a =+=+=-+,
令ππ3π2π22π232k x k +
≤-≤-,得5π11ππ+π+,Z 1212
k x k k ≤≤∈, ()f x ∴的单调递减区间5π11π
[π,π](Z)1212
k k k ++∈.
2.π
02
x ≤≤,
ππ2ππ2,sin(2)13333
x x ∴
≤-≤≤-≤,
min max ();()2f x a f x a ∴==+,
令2a =-,得2a =
,
所以max ()22f x =解析：
18答案及解析：
答案：1.2()2sin cos sin 22f x x x x x x =+-=+
π2sin(2)3
x =+ 因此()f x 的最小正周期为2ππ2
T =
=， ()f x 的单调递减区间为ππ3π2π22π232
k x k ≤≤+++， 即π7π[π,π]1212
x k k ∈++(Z)k ∈ 2.
由πππ()2sin(2())2sin 26263
A A f A -=-+== 又∵A 为锐角，∴π3A =，
由正弦定理可得2sin a R A ===
sin sin 214
b c B C R ++==，
则13b c +== 由余弦定理可知，22222()21cos 222
b c a b c bc a A bc bc +-+--=== 可求得40bc =
解析：
19答案及解析：
答案：1.由题意可设AD k =,()30AB k k =>.
∵BD =π 3
DAB ∠=, ∴由余弦定理,
得
()()22232232cos π3
k k k k =+-⨯⨯, 解得1k =, ∴2,3AD AB ==,
∴sin sin AD DAB ABD BD ∠∠
=27==. 2.∵AB BC ⊥
,∴cos sin 7
DBC ABD ∠=∠=,
∴sin DBC ∠==, ∴sin sin BD CD BCD DBC =∠∠,
∴CD ==解析：
20答案及解析：
答案：1.在ABD ∆中
∵304575BAD BAC DAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒
∴60ADB ∠=︒
由正弦定理可得,sin sin AB AD ADB ABD =∠∠
,45sin 60AD ︒==︒
2.∵4575120ABC ABD DBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒,30BAC BCA ∠=∠=
∴BC AB ==3AC =
在ACD ∆中,由余弦定理得, 2222CD AC AD AC =+-cos 5AD DAC ⋅∠=
即CD =
海里).
解析：
21答案及解析：
答案：1.在ADC △中，由余弦定理，得
2221692516216cos 2213565
CA CD AD C CA CD +-+-===⋅⨯⨯； 2.∵4cos 5B =，∴3sin 5
B =， ∵16cos 65
C =，∴63sin 65C =， ∴sin sin()sin cos cos sin BAC B C B C B C ∠=+=+
3164631256556513
=⨯+⨯= 在ABC △中，由正弦定理有
sin sin AB AC C B =， ∴sin 21sin AC C AB B
==， ∴1sin 1262
ABC S AB AC BAC ⋅∠=△=． 解析：
22答案及解析：
答案：1.在ABC △中，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 2sin cos sin cos sin cos sin()A B B C C B B C =+=+∴，
又πB C A +=-，∴sin()sin(π)sin B C A A +=-=，
∴2sin cos sin A B A =.
∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =
. ∵0πB <<，故π3
B =.
2.∵1sin 2ABC S ac B ===△，所以4ac =.
又a c +=
∴由余弦定理得2222
2cos ()312b a c ac B a c ac =+-=+-=，
∴b =
又由正弦定理知4sin sin sin sin 60a c b A C B ====︒
，
∴4sin ,4sin a A c C ==，即sin ,sin 44a c A C ==， ∴1sin sin 164ac A C =
=. 解析：。