高中数学 2.1.3函数的单调性基础过关训练 新人教B版必修1

2.1.3 函数的单调性
一、基础过关
1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是
( )
A ．y ＝x 2－2
B ．y ＝3x
C ．y ＝1＋2x
D ．y ＝－(x ＋2)2
2．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x
|)<f (1)的实数x 的取值范围是 ( )
A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
3．如果函数f (x )＝ax 2
＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是
( )
A ．a >－14
B ．a ≥－14
C ．－14≤a <0
D ．－14≤a ≤0 4．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是
( )
A.f x 1－f x 2x 1－x 2
>0 B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0
C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )
D.x 1－x 2f x 1－f x 2
>0 5．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________．
6．函数f (x )＝2x 2
－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.
7．画出函数y ＝－x 2
＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间．
8．已知f (x )＝x 2－1，试判断f (x )在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
二、能力提升
9．已知函数f (x )的图象是不间断的曲线，f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )<0，则
方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上
( )
A ．至少有一个根
B ．至多有一个根
C ．无实根
D ．必有唯一的实根 10．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，
则实数m 的取值范围是
( )
A ．0≤m ≤4
B ．0≤m ≤2
C ．m ≤0
D ．m ≤0或m ≥4
11．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2
(a 为常数)在(－2,2)内为增函数，则实数a 的取值范围是__________． 12．求证：函数f (x )＝－x 3
＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
三、探究与拓展 13．已知函数f (x )＝x 2＋a x
(a >0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．
答案
1．C 2．C 3．D 4．C
5．m >0 6.－3
7．解 y ＝－x 2＋2|x |＋3
＝⎩
⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3 x ≥0－x 2－2x ＋3 x <0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －12＋4 x ≥0－x ＋12＋4 x <0.
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y ＝－x 2
＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
8．解 函数f (x )＝x 2－1在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下： 任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，
则f (x 2)－f (x 1)＝x 22－1－x 21－1
＝x 2
2－x 21x 22－1＋x 2
1－1
＝x 2－x 1x 2＋x 1x 22－1＋x 2
1－1
. ∵1≤x 1<x 2，
∴x 2＋x 1>0，x 2－x 1>0，x 22－1＋x 21－1>0.
∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，
故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．
9．D 10．A
11．a >12
12．证明 设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝(－x 3
1＋1)－(－x 32＋1)
＝x 32－x 31＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 2
2)．
∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，
又∵x 21＋x 1x 2＋x 22
＝(x 1＋x 22)2＋34
x 22， 且(x 1＋x 22)2≥0与34
x 22≥0中两等号不能同时取得(否则x 1＝x 2＝0与x 1＜x 2矛盾)， ∴x 21＋x 1x 2＋x 22＞0，
∴f (x 1)－f (x 2)＞0，
即f (x 1)＞f (x 2)，
又∵x 1<x 2，
∴f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数． 13．解 设2<x 1<x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋a x 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2
＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2
<0恒成立． 由于x 1－x 2<0 , x 1x 2>0，即当2<x 1<x 2时，x 1x 2>a 恒成立．又x 1x 2>4，则0<a ≤4.。