20-21版： 专题强化 电磁感应中的动力学及能量问题(步步高)

mgRsin θ B2L2
解析 当a＝0时，ab杆达到最大速度vm， 即 mgsin θ＝B2LR2vm，解得 vm＝mgBR2sLi2n θ.
总结提升
分析电磁感应动力学问题的基本思路 导体受外力运动―E― ＝―B→lv产生感应电动势―I―＝―R―E+→r 产生感应电流―F―＝―B→Il 导 体受安培力―→合外力变化―F―合＝――m→a 加速度变化―→速度变化―→感应电 动势变化……→a＝0，v 达到最大值.
ab是一根与导轨垂直且始终与导轨接触良好的金属杆，
开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，
过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金
属杆ab的速度v随时间t变化的图像不可能是下图中的
图6
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√
解析 S 闭合时，若金属杆受到的安培力B2Rl2v＞mg，ab 杆先减速再匀速， D 项有可能； 若B2Rl2v＝mg，ab 杆匀速运动，A 项有可能； 若B2Rl2v＜mg，ab 杆先加速再匀速，C 项有可能； 由于 v 变化，mg－B2Rl2v＝ma 中 a 不恒定，故 B 项不可能.
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2.(电磁感应中的动力学问题)(多选)如图7所示，有两根和水平方向成
α(α<90°)角的光滑平行的金属轨道，上端接有滑动变阻器R，下端足够
长，空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质
量为m、电阻不计的金属杆从轨道上由静止滑下且始终与导轨接触良好.
经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则
针对训练2 (多选)如图5所示，在光滑的水平地面上方，有两个磁感应
强度大小均为B、方向相反的水平匀强磁场，PQ为两个磁场的边界，磁
场范围足够大.一个半径为a、质量为m、电阻为R的金属圆环垂直磁场
方向，以速度v从图示位置(实线所示)开始运动，当圆环运动到直径刚好 与边界线PQ重合时(虚线所示)，圆环的速度变为v2 ，则下列说法正确的是 A.此时圆环的电功率为2B2Ra2v2
左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，
过程中ab棒始终保持与导轨垂直且接触良
好.(g＝10 m/s2)
(1)分析导体棒的运动性质；
图1
答案 做加速度减小的加速运动，最终做匀速运动
解析 导体棒做切割磁感线运动，产生的感应电动势
E＝BLv
①
回路中的感应电流 I＝R＋E r
②
导体棒受到的安培力F安＝BIL
二、电磁感应中的能量问题
1.电磁感应现象中的能量转化
安培力 做功
做正功：电能 转化 机械能，如电动机
做负功：机械能 转化
电能
电流 做功
焦耳热或其他形式的 能量，如发电机
2.焦耳热的计算
(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt.
(2)感应电流变化，可用以下方法分析：
①利用动能定理，求出克服安培力做的功W安，即Q＝W安. ②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量.
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(3)0～1.5 s内，电阻R上产生的热量.
答案 0.26 J
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解析 0～1.5 s时间内，金属棒的重力势能减小，转化为金属棒的动能 和电路中产生的焦耳热. 设电路中产生的总焦耳热为Q 根据能量守恒定律有：mgx＝12mv2＋Q 代入数据解得：Q＝0.455 J 故 R 产生的热量为 QR＝R＋R r Q＝0.26 J.
则通过圆环截面的电荷量
Q＝
I
Δt＝
E R
Δt＝ΔRΦ＝BπRa2，故
C
正确；
此过程中回路产生的电能等于动能的减少量，
故 E＝12mv2－12m(v2)2＝38mv2＝0.375mv2，故 D 错误.
随堂演练
1.(电磁感应中的动力学问题)如图6所示，MN和PQ是两根互相平行竖直
放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计，
√A.导体棒克服安培力做的功为R＋R rQ
√B.通过电阻 R 的电荷量为 q＝rB＋LxR
C.导体棒与导轨因摩擦产生的热量为12mv02－Q
图8
√D.导体棒与导轨间的动摩擦因数 μ＝2vg02x－mr＋gxRRQ
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解析 由功能关系可知，导体棒克服安培力做的功等于回路中产生的焦 耳热，R上产生的焦耳热为Q， 根据串联电路中焦耳热按电阻分配可知，W 安＝Q 焦＝R＋R rQ，故 A 正确； 通过电阻 R 的电荷量 q＝rΔ＋ΦR＝rB＋LxR，故 B 正确； 由能量守恒可知，12mv02＝Q 焦＋Q 摩， 所以导体棒与导轨因摩擦产生的热量为 Q 摩＝12mv02－R＋R rQ＝μmgx，
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(2)磁感应强度B的大小；
答案 0.1 T
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解析 由题图乙x－t图像可知，t＝1.5 s时金属棒的速度为： v＝ΔΔxt＝121..12－－17..50 m/s＝7 m/s 金属棒匀速运动时所受的安培力大小为：F＝BIL 又 I＝R＋E r，E＝BLv 根据平衡条件有：F＝mg 联立并代入数据解得：B＝0.1 T
解析 当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv， 则此时电路中的电流 I＝ER＝BRLv ab 杆受到的安培力 F 安＝BIL＝B2RL2v 根据牛顿第二定律，有 mgsin θ－F安＝ma 联立各式得 a＝gsin θ－Bm2LR2v.
(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值.
答案
√B.此时圆环的加速度大小为8Bm2aR2v
√C.此过程中通过圆环截面的电荷量为πBRa2
图5
D.此过程中回路产生的电能为 0.75mv2
解析 当圆环的直径与边界线重合时，圆环左右两半环均产生感应电动势， 故圆环中的感应电动势 E＝2B×2a×v2＝2Bav， 圆环的电功率 P＝ER2＝4B2Ra2v2，故 A 错误； 此时圆环受到的安培力 F＝2BI×2a＝2B×2BRav×2a＝8BR2a2v， 由牛顿第二定律可得，加速度 a＝mF＝8Bm2Ra2v，故 B 正确； 圆环中的平均电动势 E ＝ΔΔΦt ，
A.如果B增大，vm将变大
√B.如果α变大(仍小于90°)，vm将变大 √C.如果R变大，vm将变大
D.如果m变小，vm将变大
图7
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解析 金属杆由静止开始下滑的过程中，其受力情况如图所示，根据牛 顿第二定律得： mgsin α－B2RL2v＝ma 所以金属杆由静止开始做加速度逐渐减小的加速运动， 当 a＝0 时达到最大速度 vm，即 mgsin α＝B2LR2vm， 可得：vm＝mgBR2sLi2n α，故由此式知选项 B、C 正确.
针对训练1 (多选)如图3所示，一金属方框abcd从离磁场区域上方高h处
自由下落，然后进入与线框平面垂直的匀强磁场中.在进入磁场的过程中，
可能发生的情况是
√A.线框做变加速运动
B.线框做匀加速运动
C.线框做匀减速运动
√D.线框做匀速运动
图3
解析 在进入磁场的过程中，若安培力等于重力，即 mg＝B2RL2v， 线框做匀速运动，D对. 若安培力大于重力，线框做减速运动，随着速度的变化，安培力也发生 变化，由牛顿第二定律可知加速度大小也发生变化，不是匀减速直线运 动，C错； 若安培力小于重力，线框做加速运动，但随着速 度增大，向上的安培力的逐渐增大，加速度逐渐 减小，线框做的是变加速直线运动，B错，A对.
例3 如图4所示，足够长的平行光滑U形导轨倾斜放置，所在平面的倾 角θ＝37°，导轨间的距离L＝1.0 m，下端连接R＝1.6 Ω的定值电阻，导 轨电阻不计，所在空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强 度B＝1.0 T.质量m＝0.5 kg、电阻r＝0.4 Ω的金属棒ab垂直放置于导轨上， 现用沿导轨平面且垂直于金属棒、大小为F＝5.0 N的恒力使金属棒ab从 静止开始沿导轨向上滑行且始终与导轨接触良好，当金属棒滑行x ＝2.8 m后速度保持不变.求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2) (1)金属棒匀速运动时的速度大小v；
为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的定值电
阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，整
套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，
导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金
属杆接触良好，不计它们之间的摩擦.(重力加速度为g) (1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，
第二章 电磁感应
学习目标
1.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法. 2.理解电磁感应过程中能量的转化情况，能用能量的观点分析和
解决电磁感应问题.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
重点探究 随堂演练 专题强化练
重点探究
一、电磁感应中的动力学问题 电磁感应问题往往与力学问题联系在一起，处理此类问题的基本方法是： (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向. (2)用闭合电路欧姆定律求回路中感应电流的大小. (3)分析导体的受力情况(包括安培力). (4)列动力学方程(a≠0)或平衡方程(a＝0)求解.
使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触
良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所
示，图像中的OA段为曲线，AB段为直线，
g＝10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的
影响)，求：
(1)判断金属棒两端a、b的电势高低；
图9
答案 a端电势低，b端电势高
1Байду номын сангаас34
解析 由右手定则可知，ab中的感应电流由a流向b，金属棒ab相当于 电源，则b端电势高，a端电势低.
请在此图中画出ab杆下滑过程中的受
力示意图；
答案 见解析图
图2
解析 如图所示，ab杆受重力mg，方向竖直向下； 支持力FN，方向垂直于导轨平面向上； 安培力F安，方向沿导轨向上.
(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流 大小及其加速度的大小；
答案
BLv R
gsin θ－Bm2LR2v
解得：μ＝2vg02x－mr＋gxRRQ，故 C 错误，D 正确.
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4.(电磁感应中的力电综合问题)(2020·怀化市高二期中)如图9甲所示，足够
长、电阻不计的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度L＝1 m，一
匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值为R＝0.40 Ω
的电阻，质量为m＝0.01 kg、电阻为r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上.现
③
导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，根据牛顿
第二定律有：
F－μmg－F安＝ma
④
由①②③④得：F－μmg－BR2＋L2rv＝ma ⑤
由⑤可知，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减
小到0时，速度达到最大，此后导体棒做匀速直线运动.
(2)求导体棒所能达到的最大速度； 答案 10 m/s
解析 当导体棒达到最大速度时， 有 F－μmg－BR2L＋2vrm＝0 可得：vm＝F－μBm2gL2R＋r＝10 m/s
(3)试定性画出导体棒运动的速度－时间图像. 答案 见解析图
解析 由(1)(2)中的分析与数据可知，导体棒运动的速度－时间图像如 图所示.
例2 如图2甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角
例1 如图1所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、
PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距L＝0.2 m，R＝0.3 Ω的电阻接在
导轨一端，ab是跨接在导轨上质量m＝0.1 kg、接入电路的电阻r＝0.1 Ω
的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始，对ab
棒施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向
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3.(电磁感应中的能量问题)(多选)(2019·昆明市第一中学月考)如图8，一平行金属导
轨静置于水平桌面上，空间中有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B，
粗糙平行导轨间距为L，导轨和阻值为R的定值电阻相连，质量为m的导体棒和导轨
垂直且接触良好，导体棒的电阻为r，导体棒以初速度v0向右运动，运动距离x后停 止，此过程中电阻R产生的焦耳热为Q，导轨电阻不计，重力加速度为g，则
答案 4 m/s
图4
解析 金属棒匀速运动时产生的感应电流为 I＝RB＋Lvr 由平衡条件有F＝mgsin θ＋BIL 联立并代入数据解得v＝4 m/s.
(2)金属棒从静止到开始匀速运动的过程中，电阻R上产生的热量QR.
答案 1.28 J 解析 设整个电路中产生的热量为Q， 由动能定理得 Fx－mgx·sin θ－W 安＝12mv2， 而 Q＝W 安，QR＝R＋R rQ，联立并代入数据解得 QR＝1.28 J.