5-2换元积分法

（三角代换很繁琐）
解
令 t 1x2 x2t21, xdxtd,t
x5
1- cosx2
1+ cos2x
+C
=ln
1- cosx sinx
+C
=lncscx-cotx+C
例21 求证 secxd xlnsecx ta n x C
s e c x d x = c o 1 s x d x = c c o o s s 2 x x d x = 1 - d s s i i n n x 2 x d x
a
= arcsin x + C a
例12
求
x2
1 dx. 8x25
解
x2
81x25dx(x41)2
dx 9
1 32
x
3
1 42
1dx13
1
x42
3
d 1
x34
1arcx ta 4nC.
3
3
例13 求
1 1 exdx.
解
1
1 e
x dx
11exexexdx
11exex dxdx1exexdx
1 4dxx214d(xx6644)
1lnx1lnx64C 1 ln x6 C
4
24
24 x6 4
二、第二类换元法
问题 x5 1x2dx?
解决方法 寻找中间变量，使变换后的被积函 数能够用第一积分法求得积分.
过程 令 xsitn d xco td ,st
x5 1x2dx (st)i5n 1si2tn co tdst
三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下：当被积函数中含有
(1) a2x2 (2) a2x2 (3) x2a2
可令 xasitn ; 可令 xatat;n 可令 x a se t. c
说明(2) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角
代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.
例5
求
x5 dx 1 x2
2 co sx sinxco sx
sinx
sinx
2 22
解（二）
cscxdx
=
1 sinx
dx
=
sinx sin2x
dx
=-1-c1os2xd(cosx)
=-2 11-c1osx+1+c1osxdcosx
= 21ln11+-ccoossxx+C =ln
1- cosx + C 1+ cosx
=ln
x21a2dxasaetctatntantdt
x
sectdt lnt (tsa t) e C n c
t
x2a2
lnax x2aa2C.
a
tant= x2-a2 sect=x
a
a
例4 求 x3 4x2dx .
解
令
x2sitnd x 2 co tdstt
π 2
x3 4x2dx 2 sti 3n 4 4 s2 i t2 n cto dst
x
x
dx
=2
e xd
x
=2e x +C
例5 求 tanxdx
解 tanxdx
=cso insxxdx=-dccoossxx
=-lncosx+C
例6 求 cos3xdx
解 cos3xdx
= c o s2 x d sin x = (1-sin 2 x )d sin x
= dsinx-sin2xdsinx
dx
(2) x ln 2 x
(3) cos3 xdx
dx
(4) 1 ex
cot x
(5) ln(sin x) dx (6) sec4 xdx
(7)
dx x(x6
4)
(1) 2xex2dx
2xex2dxex2d(x2) ex2 C
dx
(2) x ln 2 x
dlnl2nxxl1nxC
解
Q dx1x1x12dx
(1x12)ex1xdx
ex1xd(x1) x
x1
e x
C.
例16
求
1 2x3
d.x 2x1
原式 2 x 3 2 2 x x 3 1 2 2 x x 3 1 2 x 1 dx
1 4 2x3 d x1 4 2x1 dx 1 8 2 x 3 d ( 2 x 3 ) 1 8 2 x 1 d ( 2 x 1 )
si5ntco2tsd t （应用“凑微分”即可求出结果）
1. 积分 f(x)d x 不易计算时所采用的方法。
一般情况下在积分 f(x )d x 中，设 x =(t) ，有
f(x)dx=f[ (t)] (t)dt
若 (t) 连续， 且 (t)0
f ( x ) d x = f [( t ) ] ( t ) d t = F ( t ) + C = F [- 1 ( x ) ] + C
F[(x)]C
说明
使用此公式的关键在于如何找到积分
f[(x)](x)dx 中的 ( x )使得
(x)dxd(x)
2. 举例
例1 求 sin2xd.x
解（一）si1nc2xod2sxx12C;sin2xd(2x)
2
解（二） sin2xdx2six ncoxsdx 2six n(dsix)n six n 2C;
解 si2nxco5x s d xsi2x n c4 o xs (d sx i)n s2 ix n (1 s2 ix ) n 2 d (sx )in (s 2 x i2 s n 4 i x n s6 i x ) d n (s x )in
1si3x n 2 si5x n 1si7x n C . 357
f(u )f(u )d u 1 ud u
u1u2 C, 2
f(x)x1x2C. 2
例23 求
1 4 x2 arcsixndx.
2
解
4 x21arcsinxdx
2
1
x
d
1
x2
arcsixn
2
2
2
arc1sixnd(arcs2xin)
lnarcsxinC. 2
2
练习： 1 求积分
(1) 2xex2dx
(x11x)31dx
[(1 1x)2(1 1x)3]d(1x)
1
1
1x2(1x)2 C
11x2(11x)2 C
例9 求 a2+1x2dx (a>0)
解
a2
1
x2dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1 x a
2 d
x a
1arctaxnC.
a
a
例10 求
1
a2-x2
dx
(a>0)
解
1 dx = a2 + x2
ase1ctasec2tdt
x2a2 x
= sectdt =ln(sect+tant)+C
t
=ln
x2 +a2 a
ax +C
a
sect = a2 + x2 t a n t = x
a
a
例3 求
1 dx(a0). x2a2
解 令xase t c d a x ste ta tcd n t t π2
a2
1 - x2
dx
=1 2a
( 1 + 1 )dx a+x a-x
=21a(d(aa+ +xx)-d(aa--xx))
=21a(lna+x-lna-x)+C
= 1 ln a+x +C 2a a- x
例11 求
dx (a>0) a2 - x2
解
dx =
a2 - x2
d( x ) a
1 -( x )2
=2 1(1+s1inx+1-s1inx)dsinx=
1ln1+sinx 2 1-sinx
+C
=ln
1+ sinx 1- sinx
+C
=ln
1+ sinx cosx
+
C
=lnsecx+tanx+C
例22 设 f(s2ixn )co 2x,s求 f (x).
解 令 usi2nx c o s2x 1 sin 2x 1 u f(u)1u,
(3)cos3 xdxcos2 xds源自nx(1sin2x)dsinx
dsinxsin2xdsinx
sinx1sin3 xC 3
(4 )
dx
1 ex
1 ex ex 1 ex dx
ex
(1 1 ex )dx
xln(1ex)C
(5)
cot x ln(sin x)
dx
cos xdx sin xln(sin
dx 1 1exd(1ex)
xln 1(ex)C .
例14 求
xln(1+ x2) 1+ x2
dx
解
xln(1+ x2) 1+ x2
dx
=1 2
ln1(+1+x2x2)d(1+x2)
=1 ln(1+x2)dln(1+x2)
2
=1 ln2(1+x2)+C 4
例15 求
(1x12)ex1xdx.
第二节 换元积分法
第一类换元法 第二类换元法
一、第一类换元法
问题 cos2xdxsi2n xC ,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t2xdx 1dt, 2
cos2xdx
12costdt
1sint 2
C1sin2xC. 2
1. 积分 f[(x)](x)dx 不易计算时所采用的方法。
=sinx- 1sin3x+C 3
例7
求
1 dx. x(12lnx)
解
x(1
1 2 ln
dx x)
121lnxd(lnx)
1 212 1ln xd(12ln x)
u 1 2 lx n
1
2
1 u
du
1 2
ln
u
C
1ln12lnx C 2
例8 求
x (1 x)3dx.
解
(1
x x)3
dx
1six n1si5n xC. 2 10
例20 求 cscxdx.
解（一）cscxdx
1 sinx
dx
1 2sinxcosx
dx
22
1 tan2xcos2x2
d
2x
1 tanx
2
dtan2x
ln tan x C lncscxcotxC
2
ta nxsin2 x
sin 2x 2
1(12sin 22 x)1co sxcscxco tx
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例19 求 co3sxco2sxd.x
解 cA o cs B o 1 s [cA o B )s c (o A B s)(], 2
co 3xc so 2x s1(cxo cso 5x )s, 2
c3 o x cs2 o xs d 1 2 x (cx o cs 5 o x )d sx
一般情况下：
设 F (u)f(u),则 f(u )d u F (u )C .
如果 u(x)可导且 f(u) (x) 连续，则
u=(x)
f[(x)](x)dx [ f (u)du]
F (u ) C F [(x )] C
此公式称为第一类换元公式（凑微分法）
f[(x)](x)dx f (x)d(x)
解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
2coxs(dcx o)sco x2 sC .
例2
求
3
1 dx. 2x
解 (1)
u=3+2x
3
1
d
dx
+ 2x
x
=1 2
=
d
u
1 2
1du u
= 1ln u + C 2
= 1ln 3+ 2x + C 2
(2)
3
1 dx + 2x
=
1
2
1 d(3+2x) 3+2x
32si3tnco2tsd t3s 2ti(1 n c2 o t)cs2 o td st
3(2c2 t o cs 4 o t)d c stos
2
3(2 1co 3t s1co 5t)sC
x
t
35
44 x 23 14 x 25 C .
4x2
3
5
说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换.
即 f[(x )](x )d x= F [(x )]+ C
此方法称为第二积分法或换元积分法。
例1 求 a2-x2 dx (a>0)
解 令 x=asint dx=acostdt ( t < π ) 2
a 2 - x 2d x =a c o s t a c o s t d t = a 2c o s 2 t d t
=a2
cos2t+1 2
dt
=a2(t+sin2t)+C 24
=a2(t+sintcost)+C 2
=a2arcsinx+x a2-x2+C
2
a2
sint = x a
ax
t
a2 - x2
cost = a2 - x2 a
例2 求
1 dx (a>0)
a2 +x2
解 令 xatat ndx=asec2tdt ( t < π ) 2
12 x 3 312 x 1 3 C .
12
12
例17 求 1c1osxdx.
解 1c1osxdx1c1oxcs1o xcsoxsdx
11ccoo2sxsxdx1sicn2oxsxdx s1 i2n xd xs1 i2n xd(sx i)n
coxt 1 C. sin x
例18 求 si2nxco5x s d.x
x)
sin
d sin x x ln(sin
x)
．
d ln(sin x)
ln(sin x)
lnln(sx)inC
(6)sec4 xdx
sec2xd(tanx)
(1tan2x)d(tanx)
tanx1tan3xC 3
dx
(7) x(x6 4)
1 4
x6 4x6 dx x(x6 4)
1 (1 x5 )dx 4 x x6 4
= 1ln 3+ 2x + C 2
一般地
u=ax+b
dx= 1du a f(axb)dx=
1[
f(u)du]
a
例3 求 x x2 +4dx
解
x x2 +4dx
=1
1
x2+4 2d(x2+4)
2
=
1 2
23(x2
3
+4)2
+C
=
1(x2
+
3