安徽省阜阳高一上学期第三次月考数学试题(解析版)

安徽省阜阳第一中学高一上学期第三次月考数学试题
一、单选题
1．下列各角中，与终边相同的角是（ ） 40-︒A ． B ．140° C ．40° D ．320°
320-︒【答案】D
【分析】由终边相同的角的定义表示出与终边相同的角，求解即可. 40-︒【详解】与终边相同的角一定可以写成的形式，， 40-︒36040k ⨯︒-︒k ∈Z 令可得，与320°终边相同，其他选项均不合题意. 1k =40-︒故选：D.
2．函数的定义域为（ ） ()()lg 3f x x =-A ． B ．
C ．
D ．
[)1,3()1,3()[),13,-∞⋃+∞(](),13,-∞⋃+∞【答案】B
【分析】根据具体函数解析式有意义解不等式组可得.
【详解】由题意可得，解得，即定义域为.
30
10x x ->⎧⎨->⎩
13x <<()1,3故选：B
3．“”是“”的（ ）
2x >()2log 21x -<A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据集合的包含关系可得.
【详解】，，解得，记，，因为
()2log 21x -<022x <-<24x <<{|24}A x x =<<{|2}B x x =>，所以“”是“”的必要不充分条件.
A B ≠
⊂2x >()2log 21x -<故选：B
4．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
()23x
f x x =--A ． B ． C ． D ． )(01，
()12，()23，()34，
【答案】C
【分析】根据零点存在定理，分别求各选项的端点函数值，找出函数值异号的选项即可
【详解】由题意，因为，，
()2222310f =--=-<()3
323320f =--=>由零点存在定理，故函数的零点所在的区间为
()23x
f x x =--()2,3故选：C
5．已知幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ）
()()2
2244m
m
f x m m x
-=-+()0,∞+m A ．1或 B ．3
C ．
D ．或3
3-1-1-【答案】B
【分析】由函数是幂函数，解得或，再代入原函数，由函数在上是增函数确定最3m =1m =()0,∞+后的值.
m 【详解】∵函数是幂函数，则，∴或.当时在上是增
2441m m -+=3m =1m =3m =()3
f x x =()0,∞+函数，符合题意；当时在上是减函数，不合题意.
1m =()1
f x x -=()0,∞+故选：B.
6．已知是定义在上的增函数，，则a ，b ，c 的
()y f x =(0,)+∞()()()
0.355
5,0.3,0.2a f b f c f ===大小关系是（ ） A ． B ． C ． D ．
a b c >>b a c >>a c b >>c a b >>【答案】A
【分析】利用幂函数以及指数函数的单调性判断的大小关系，结合是定义在550.30.3,0.2,5()y f x =上的增函数，即可判断出答案.
(0,)+∞【详解】因为函数为R 上单调增函数，故，而，
5y x =5510.30.20>>>0.351>由于是定义在上的增函数，故，
()y f x =(0,)+∞()()()0.355
50.30.2f f f >>即. a b c >>故选：A. 7．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） ()(),1,5
13,13x a x f
x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩
R a A ．
B ．
C ．
D ．
12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦()1,211,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
20,3⎛⎫
⎪⎝⎭【答案】A
【分析】根据分段函数的性质，以及函数在上单调递减，结合指数函数的性质，可知
()f x R
，求解不等式，即可得到结果. 011305133a a a a
⎧
⎪<<⎪
-<⎨⎪⎪-+≥⎩
【详解】∵函数在上单调递减，∴，解得，实数的取值范围是
()f x R 011305
133a a a a
⎧
⎪<<⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩12
33a <≤a . 12,33⎛⎤
⎥⎝⎦故选：A.
8．已知函数且时，，则()()log ),,(x x x x x f ⎧
>⎪⎨
⎪++≤⎩=122
0301234x x x
x <<<()()()()1234f x f x f x f x === ） 43x x A ．
B ．
C ．
D ．
1,84⎛⎤ ⎥⎝⎦[)2,+∞()4,+∞[)64,4--【答案】D
【分析】根据已知条件作出分段函数的图象，利用二次函数和对数函数的性质结合不等式的性质即可求解.
【详解】作出图象如图所示
()f x
设，由图象可知：时有四个交点，可得 ()f x t =13t <≤()413f x <≤即，解得；
1<log x ≤244428x <≤∵关于
∴
12,x x x =12x x +=-又，则，∴，
13142
2
log log x x =13141
4
2
2
2
1
log log log x x x =-
=341x x =∴
， 2222
4444432x x x x x x =+=-=-∵，∴，
4
28x <≤2
4644x -≤-<-即∴
. 43x x [)64,4--故选：D.
【点睛】解决此题的关键是作出函数的图象，将问题转化为函数的零点转为方程的根进而转化为函数与函数图
象交点的个数，再根据利用二次函数的对称性及对数的运算性质及不等式的性质即可求解.
二、多选题
9．下列命题中的假命题是（ ）
A ．，
B ．， x ∀∈R 121x +>x ∀∈R ()2
10x ->C ．， D ．，
x ∃∈R lg 1x <x ∃∈R 2230x x --<【答案】AB
【分析】根据全称命题和特称命题的定义判断真假后可得结论．
【详解】，因此A 假命题；，因此B 是假命题；取，，C 是真1121-+=2(11)0-=01x =0lg 01x =<命题；时，，故D 真命题. 13x -<<2230x x --<故选：AB ．
10．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后π面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率小数点后第n 位上的数字为y ，下列结论正确的是（ ） πA ．y 不是n 的函数
B ．y 是n 的函数，且该函数定义域为
*N C ．y 是n 的函数，且该函数值域为 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}D ．y 是n 的函数，且该函数在定义域内不单调 【答案】BCD
【分析】根据函数的定义以及函数单调性性质一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由题意可知圆周率小数点后第n 位上的数字y 是唯一确定的，即任取一个正整数n 都有π唯一确定的y 与之对应，
因此y 是n 的函数，且该函数定义域为，值域为，
*N {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}并且y 在每个位置上的数字是确定的，比如取到小数点后面4个数字时为，故函数不具有π 3.1415单调性，
故A 错误，正确, B ,C
,D 故选：
BCD 11．已知函数为奇函数，下列结论正确的是（ ） 2
()31
x f x a =-
-A ．的定义域为 B ．
()f x {}0x x ≠1a =-C ．的值域为 D ．的单调递增区间为
()f x (1,)+∞()f x (,0),(0,)-∞+∞【答案】ABD
【分析】根据函数解析式，求得其定义域，判断A;根据函数为奇函数，可求得参数a 的值，判断B;举反例可判断C;根据指数函数的单调性结合函数奇偶性性质可判断D.
【详解】对于A ，需满足 ，即的定义域为，A 正2
()31
x
f x a =--310,0x x -≠∴≠()f x {}0x x ≠确；
对于B ，为奇函数，即，
2
()31x f x a =-
-22()(),3131
x x f x f x a a --=-∴-=-+--故，即，B 正确；
22232
2231311331
x x x x x a -⨯=+=+=-----1a =-对于C ，，当时，，故C 错误； 2
()131x f x =---1x =2(1)12031f =--
=-<-对于D ，当 时，，且递增，故递减，则递增，
0x >310x ->31x y =-231
x y =-2
()131x f x =---由于为奇函数，故当时，也递增， 2()131x
f x =--
-0x <2
()131
x f x =---即的单调递增区间为，D 正确， ()f x (,0),(0,)-∞+∞故选：.
ABD 12．已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（ ）
()3
2x f x x =+01m n <<<A ．
B ． ()()
n m
f m f n <()()1f m f n +>
C ．
D ．
()()log log m n f n f m >(()f f m n <+【答案】AD
【分析】先判断函数在上为增函数，对于A ，由，可得，从而利用函数的R 01m n <<<1n m m n <<
单调性可判断，对于BC ，举例判断，对于D ，由得，从而利用函数的单01m n <<<m n <+调性可判断
【详解】因为在上为增函数，所以是上的增函数.
32,x y y x ==R ()3
2x f x x =+R 由得，所以，故A 成立；
01m n <<<1n m m n <<()()
n m
f m f n <取，，，故B 不成立； 14m =
54n =()()55144f m f f f n ⎛⎫⎛⎫
+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取，，，故C 不成立；
1
2m =2n =()()()log 1log m n f n f f m =-=
因为，所以时取等号，而，所以取不到等0,0m n >>m n +≥m n =01m n <<<
号，所以，所以，故D 成立. m n <+(()f f m n <+故选：AD
三、填空题
13．已知集合，.若，则___________.
{}1,2A ={}2
1,B x =-{}1A B ⋂=x =【答案】
1±【分析】根据给定条件可得，由此列式计算作答.
1B ∈【详解】因集合，，且，于是得，即，解得，
{}1,2A ={}2
1,B x =-{}1A B ⋂=1B ∈21x =1x =±所以. 1x =±故答案为：
1±14．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为___________. π24π
3
【答案】
π
6
【分析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长. 【详解】设扇形的半径为r ，由扇形的面积公式得：
，解得，该扇形的弧长为2
π1π3224
r =⨯4r =. ππ4246⨯=故答案为：
. π
6
15．已知函数是奇函数，是偶函数，定义域都是,且，则()f x ()g x R 3()()3+=-x f x g x x _________.
(1)(2)-+-=f g 【答案】
389
【分析】根据奇偶性由，得即3()()3+=-x f x g x x ()3
()()3x f x g x x --+-=--3()()3x f x g x x --+=+，分别相加相减求出函数解析式，即可求解.
【详解】由题：函数是奇函数，是偶函数，定义域都是， ()f x ()g x R 且 ①，
3()()3+=-x f x g x x 所以，即 ②，
()3
()()3x f x g x x --+-=--3()()3x f x g x x --+=+①②两式相加得：，
33()2
x x
g x -+=①②两式相减得：，
333()2
x x
f x x --=-所以.
()()1221138
(1)(2)33133229f g ---+-=-+++=故答案为：
389
【点睛】此题考查函数奇偶性的应用，根据函数的奇偶性求出函数解析式，再求函数值.
16．若函数在区间，上的最大值、最小值分别为，，则的值为
||||
2()x x e x
f x e -=[10-10]M N M N +_____. 【答案】4
【分析】由已知可得函数为奇函数，利用奇函数的性质可以得到其最大值最小值之和为()2y f x =-0，进而根据与原函数的最值的关系得到的值
M N +【详解】解：因为， ||||||
2()2x x x e x x
f x e e -==-所以， ||
()2x x
f x e -=-
因为函数为奇函数， ()2y f x =-所以它的最大值、最小值之和为0， 也即， 220M N -+-=所以， 4M N +=故答案为：4.
四、解答题
17．已知集合.
{}{121,A x a x a B x y =-≤≤+==(1)当时，求； 2a =()R ,A B A B ð(2)若，求实数a 的取值范围.
A B B ⋃=【答案】(1)， {}|15A B x x =-≤≤ (){}R |35A B x x ⋂=<≤ð(2) ()[],20,1-∞-⋃
【分析】（1）根据函数定义域的求法求得集合，由此求得. B ()R ,A B A B ð（2）根据是否为空集进行分类讨论，列不等式来求得的取值范围.
A a 【详解】（1），
()()22230,23310x x x x x x -++≥--=-+≤解得，所以. 13x -≤≤{}|13B x x =-≤≤当时，， 2a ={}|15A x x =≤≤所以，
{}|15A B x x =-≤≤
或，
{R |1B x x =<-ð}3x >所以 (){}R |35A B x x ⋂=<≤ð（2）由（1）得.
{}|13B x x =-≤≤当时，， 121,2a a a ->+<-,A A B B =∅⋃=当时，,
121,2a a a -≤+≥-A ≠∅由得，解得.
A B B ⋃=211213a a a ≥-⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩01a ≤≤综上所述，的取值范围是. a ()[],20,1-∞-⋃18．已知函数，，.
()()22
ax b f x x x +=
≠-()1
02f =()11f =-(1)求实数､的值，并确定的解析式； a b ()f x (2)试用定义证明在上单调递减. ()f x (),2-∞【答案】(1)，，； 2a =1b =-()212
x f x x -=-(2)证明见解析.
【分析】(1)根据，列出关于a 、b 的方程组即可求解； ()1
02
f =
()11f =-(2)设，作差判断的大小即可.
122x x <<()()12、f x f x 【详解】（1）由，，得解得，，∴. ()102f =()11f =-122
11b a b ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪-⎩＋＝，2a =1b =-()212x f x x -=
-（2）， ()()2233
22
2
x f x x x -+=
=+
--设，则， 122x x <<()()()()()
21121212333
2222x x f x f x x x x x --=
-=----∵，， ()()12220x x -->210x x ->∴，即， ()()120f x f x ->()()12f x f x >∴在上单调递减.
()f x (),2-∞19．已知函数的定义域是.
()()2
2log 2f x x ax a =-+R
(1)求实数a 的取值范围； (2)解关于m 的不等式.
2
21
31m m m a a -++->【答案】(1) ()0,1(2) ()(),21,-∞-+∞
【分析】（1）由题意，在R 上恒成立，由判别式求解即可得答案； 220x ax a -+>Δ0<（2）由指数函数在R 上单调递减，可得，求解不等式即可得答案.
x y a =22131m m m -++<-【详解】（1）解：∵函数的定义域是，
()()22log 2f x x ax a =-+R ∴在R 上恒成立， 220x ax a -+>∴，解得， 2440a a ∆=-<01a <<∴实数a 的取值范围为. ()0,1（2）解：∵，
01a <<∴指数函数在R 上单调递减，
x y a =∴，解得或， 22131m m m -++<-1m >2m <-所以原不等式的解集为.
()(),21,-∞-+∞ 20．某商场为回馈客户，开展了为期10天的促销活动，经统计，在这10天中，第x 天进入该商场的人次（单位：百人）近似满足，而人均消费（单位：元）是关于时间x 的()f x 5
()5f x x
=+
()g x 一次函数，且第3天的人均消费为560元，第6天的人均消费为620元. (1)求该商场的日收入y （单位：元）与时间x 的函数关系式； (2)求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值. 【答案】(1)
()*
251000026110,N y x x x x ⎛⎫=++≤≤∈ ⎪⎝⎭
(2)第天的日收入最少，最小值为元 5360000
【分析】（1）根据人数和人均消费求得日收入的函数关系式. （2）利用基本不等式求得最小值以及对应的. x 【详解】（1）设，
()g x kx b =+
依题意，解得， ()()3356066620g k b g k b ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩
20,500k b ==所以.
()20500g x x =+所以. ()5510020500y x x ⎛⎫=+⨯⨯+ ⎪⎝⎭()*251000026110,N x x x x ⎛⎫=++≤≤∈ ⎪⎝⎭
（2）由（1）得， ()*251000026110,N y x x x x ⎛⎫=++≤≤∈ ⎪⎝⎭
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
2510x x +≥=25,5x x x ==所以第天日收入最少，且最小值为元.
5()100001026360000⨯+=21．已知函数.
()9638x x f x a =⋅-⨯-()a ∈R (1)当时，求函数的零点；
2a =()f x (2)若，求在区间上的最大值.
0a >()f x []1,2()g a 【答案】(1)；
3log 4(2). ()1926,0,218162,.2a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩
【分析】（1）当时，解方程可得函数的零点；
2a =()0f x =()f x （2）令，将问题转化为求函数在区间上的最大值，然后对实数
[]33,9x t =∈()268h t at t =--[]3,9的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可求得的表达式.
a ()h t []3,9()g a 【详解】（1）解：当时，， 2a =()29638x x f x =⋅-⨯-()2
23638x x =⨯-⨯-()()23134x x =+-由可得，，所以.
()0f x =340x -=3log 4x =即当时，函数的零点为.
2a =()f x 3log 4（2）解：令，即求在区间上的最大值.
[]33,9x t =∈()268h t at t =--[]3,9当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. 0a >()268h t at t =--3t a
=①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则； 33a
≤1a ≥()h t []3,9()()98162g a h a ==-②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递336a <≤112a ≤<()h t 33,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
3,9a ⎛⎤ ⎥⎝⎦
增，因为，，，则； ()3926h a =-()98162h a =-()()9372360h h a -=-≥()()98162g a h a ==-③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递369a <<1132a <<()h t 33,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
3,9a ⎛⎤ ⎥⎝⎦增，此时，，则；
()()9372360h h a -=-<()()93h h <()()3926g a h a ==-④当时，即当时，函数在区间上单调递减，所以. 39a
≥103a <≤()h t []3,9()()3926g a h a ==-综上所述. ()1926,0,218162,.2a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩
22．已知.
2()2()R f x x x a a =++∈(1)若时，的值域是，求实数a 的值；
[)1,x ∞∈+()f x [)0,∞+(2)设关于x 的方程有两个实数根为，；试问：是否存在实数m ，使得不等()()()21a x f x ++=1x 2x 式对任意及恒成立？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，124tm x x +≥-[]1,1a ∈-[]1,1t ∈-请说明理由.
【答案】(1)-3；
(2)存在，.
11m -≤≤
【分析】（1）根据二次函数的单调性进行求解即可；
（2）根据任意性的定义，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、构造新函数，利用新函数的单调性分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）由题知函数的对称轴为x ＝－1，函数在上单调递
()22f x x x a =++()f x [)1,x ∞∈+增，
又函数的值域是，∴，∴a ＝－3；
()f x [)0,∞+()130f a =+=（2）由题得，，化简整理得.
()()2212a x x x a ++=++220x ax --=∵，∴方程有两个非零实根，，
280a ∆=+>220x ax --=1x 2x 可得，，则有
12x x a +=122x x =-1
x -=本题等价于是否存在m ，使不等式
4tm +≥对任意a ，恒成立.
[]1,1t ∈-
a 的函数，则①式等价于②
()T a =max 4()tm T a +≥
∵，∴，从而②式转化为，
[]1,1a ∈-()3T a =≤=43tm +≥即③，对恒成立，把③式的左边看作t 的函数，记，
10tm +≥[]1,1t ∈-()1g t tm =+若m ＝0，③式显然成立；
若，是t 的一次函数，要使对恒成立，只要和同时成
0m ≠()g t ()0g t ≥[]1,1t ∈-()10g -≥()10g ≥立即可，解不等式组得且. ()()110,110,g m g m ⎧=+≥⎪⎨-=-+≥⎪⎩
11m -≤≤0m ≠故存在实数m ，使不等式对任意，恒成立，其取值范围是124tm x x +≥-[]1,1a ∈-[]1,1t ∈-.
11m -≤≤【点睛】关键点睛：构造新函数，利用新函数的单调性分类讨论是解题的关键.。