高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数学业分层测评含解析新人教A版选修2_2

1.3.1 函数的单调性与导数
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是( )
A ．(－∞，e －2)
B ．(0，e －2
) C ．(e －2，＋∞) D ．(e 2，＋∞) 【解析】 因为y ＝x ＋x ln x ，所以定义域为(0，＋∞)．
令y ′＝2＋ln x <0，解得0<x <e －2
，
即函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是(0，e －2)，
故选B.
【答案】 B
2．(2016·深圳高二检测)如图1­3­3是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )
图1­3­3
A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数
B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数
C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数
D ．在区间(3,5)上f (x )是增函数
【解析】 由导函数f ′(x )的图象知在区间(4,5)上，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(4,5)上单调递增．故选C.
【答案】 C
3．若函数f (x )＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )
A ．a ≤0
B ．a <1
C ．a <2
D ．a ≤13 【解析】f ′(x )＝3ax 2－1.因为函数f (x )在R 上是减函数，所以f ′(x )＝3ax 2－1≤0
恒成立，所以a ≤0.故选A.
【答案】 A
4．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2.则f (x )>2x ＋4的解
集为( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
【解析】 构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，
则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2.
∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数．
∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)，
∴x >－1.
【答案】 B
5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)
B ．[－3，3]
C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D ．(－3， 3)
【解析】f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3.
【答案】 B
二、填空题
6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为
__________.
【解析】 令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3
<x <π，所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π. 【答案】⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π 7．(2016·佛山高二检测)函数y ＝13
x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________．
【解析】y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1.
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________.。