淮南市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

淮南市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）
A B ．12 C ．1
2
- D ． 2． 过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）
A ．x ﹣2y+7=0
B ．2x+y ﹣1=0
C ．x ﹣2y ﹣5=0
D ．2x+y ﹣5=0
3． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123
n a a a a n =，则35a a +等于（ ） A ．259 B ．2516 C ．6116 D ．3115
4． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A ．1：2：3
B ．2：3：4
C ．3：2：4
D ．3：1：2
5． 函数
是（ ）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
6． 设集合
，则A ∩B 等于（ ）
A ．{1，2，5}
B ．{l ，2，4，5}
C ．{1，4，5}
D ．{1，2，4}
7． 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A ．
B ．12+
C ．
12
2
+ D ．122+ 8． ()()2
2f x a x a =-+ 在区间[]0,1上恒正，则的取值范围为（ ）
A ．0a >
B ．0a <<
C ．02a <<
D ．以上都不对
9． 已知a ，b 是实数，则“a 2b ＞ab 2”是“＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在
体积为
24316
π
同一球面上，则PA =（ ）
A ．3
B ．72
C ．
D ．9
2
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
11．已知集合{| lg 0}A x x =≤，1
={|
3}2
B x x ≤≤，则A B =（ ） A ．(0,3] B ．(1,2]
C ．(1,3]
D ．1
[,1]2
【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力．
12．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11AC 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为
36p ， 则正方体棱长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
二、填空题
13．过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则|
+
|= ．
14．已知点F 是抛物线y 2
=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M ，N ，F 三点不共线，则△MNF 的重心到准线距离为 ．
15．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （﹣3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2，则
= ．
16．已知函数21,0()1,0
x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()21x
g x =-，则((2))f g = ，[()]f g x 的值域为 ．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.
三、解答题
17．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .
（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .
18．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4。

（1）求{a n }的通项公式；
（2）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和T n 。

19．（本小题满分14分）
设函数2
()1cos f x ax bx x =++-，0,2
x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
（其中a ，b R ∈）.
（1）若0a =，1
2
b =-
，求()f x 的单调区间； （2）若0b =，讨论函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上零点的个数.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.
20．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>），点3(1,)2在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率为12．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，A 为椭圆C 的右顶点，直线PA ，QA 分别 交直线：4x =于M 、N 两点，求证：FM FN ⊥．
21．设椭圆C
：
+
=1（a ＞b ＞0）过点（0，4
），离心率为．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0
）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
22．（本题满分15分）
若数列{}n x 满足：
111
n n
d x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，12345
11111
15a a a a a ++++=.
（1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）数列2{}n
n
a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存
在，请说明理由.
【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.
23．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若
p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
淮南市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D 【解析】
试题分析：原式()()cos80cos130sin80sin130cos 80130cos210cos 30180cos30=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒
=． 考点：余弦的两角和公式. 2． 【答案】A 【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0
∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7
∴x ﹣2y+7=0 故选A ． 【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x ﹣
2y+c=0．
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2
123
n a a a a n =，则2
123
1(1)n a a a a n -=-，两式作商，可得2
2
(1)
n n a n =-，所以2235223561
2416
a a +=+=，故选C ．
考点：数列的通项公式． 4． 【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，则圆柱、圆锥的底面半径也为R ，高为2R ，
则球的体积V 球=
圆柱的体积V 圆柱=2πR 3
圆锥的体积V 圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR 3
：： =3：1：2
故选D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．
5． 【答案】B
【解析】解：因为
=
=cos （2x+
）=﹣sin2x ．
所以函数的周期为： =π． 因为f （﹣x ）=﹣sin （﹣2x ）=sin2x=﹣f （x ），所以函数是奇函数．
故选B ．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．
6． 【答案】B
【解析】解：∵集合，
当k=0时，x=1； 当k=1时，x=2； 当k=5时，x=4； 当k=8时，x=5， ∴A ∩B={1，2，4，5}． 故选B ．
【点评】本题考查集合的交集的运算，是基础题．解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
7． 【答案】B 【解析】
试题分析：化简为标准形式()()1112
2
=-+-y x ，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半
径，22
2
11=--=
d ，半径为1，所以距离的最大值是12+，故选B.
考点：直线与圆的位置关系 1 8． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数()()
2
2f x a x a =-+在区间[]0,1上恒正，则
(0)0
(1)0f f >⎧⎨>⎩，即2
020
a a a >⎧⎨-+>⎩，解得02a <<，故选C. 考点：函数的单调性的应用. 9． 【答案】C
【解析】解：由a 2b ＞ab 2得ab （a ﹣b ）＞0， 若a ﹣b ＞0，即a ＞b ，则ab ＞0，则＜成立，
若a ﹣b ＜0，即a ＜b ，则ab ＜0，则a ＜0，b ＞0，则＜成立， 若＜则
，即ab （a ﹣b ）＞0，即a 2b ＞ab 2成立，
即“a 2b ＞ab 2”是“＜”的充要条件， 故选：C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
10．【答案】B
【解析】连结,AC BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连结OE ，则O E
P A ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O
到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 球心，均为222111
8222
PC PA AC PA =
+=+可得2341243(8)3216PA ππ+=，解得7
2
PA =，故选B ．
11．【答案】D
【解析】由已知得{}=01A x x <?，故A B =1
[,1]2
，故选D ．
12．【答案】C
二、填空题
13．【答案】4．
【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|+|=2||，
再根据A为抛物线x2=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），
∴2||=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．
14．【答案】．
【解析】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点，
∴F（1，0），准线方程x=﹣1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，
解得x1+x2=4，
∴△MNF的重心的横坐标为，
∴△MNF的重心到准线距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
15．【答案】（﹣，）．
【解析】解：∵，，
设OC与AB交于D（x，y）点
则：AD：BD=1：5
即D分有向线段AB所成的比为
则
解得：
∴
又∵||=2
∴=（﹣，）
故答案为：（﹣，）
【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，
可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．
-+∞.
16．【答案】2，[1,)
【解析】
三、解答题
17．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD中
点F ，连结PF AF ,，可证明AF PQ //，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明⊥AC 平面SEQ ，即平面⊥SAC 平面SEQ . 试题解析：证明：（1）取SD 中点F ，连结PF AF ,. ∵F P 、分别是棱SD SC 、的中点，∴CD FP //，且CD FP 2
1
=. ∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，
∴CD AQ //，且CD AQ 2
1
=
，即AQ FP //且AQ FP =. ∴AQPF 为平行四边形，则AF PQ //.
∵⊄PQ 平面SAD ，⊂AF 平面SAD ，∴//PQ 平面SAD .
考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理. 18．【答案】
【解析】（1）由a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4得
a 4≥0，a 5≤0，即10+3d ≥0，10+4d ≤0，解得﹣≤d ≤﹣，
∴d=﹣3，
∴{a n }的通项公式为a n =13﹣3n 。

（2）∵b n ==
，
∴T n =b 1+b 2+…+b n =（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）
=。

19．【答案】
【解析】（1）∵0a =，12
b =-， ∴1()1cos 2f x x x =-
+-，1()sin 2f x x '=-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. （2分） 令()0f x '=，得6
x π
=.
当06x π<<时，()0f x '<，当62
x ππ
<<时，()0f x '>，
所以()f x 的单调增区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间是0,6π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. （5分）
若
112a -
<<-π，则()102f a π'=π+<，又()(0)0f f θ''>=，由零点存在定理，00,2θπ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使0()0f θ'=，所以()f x 在0(0,)θ上单调增，在0,2θπ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调减.
又(0)0f =，2
()124
f a ππ=
+. 故当2142a -<≤-π时，2()1024f a ππ=
+≤，此时()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有两个零点； 当241a -<<-ππ时，2()1024f a ππ=
+>，此时()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上只有一个零点.
20．【答案】（１） 22
143
x y +=；（２）证明见解析． 【解析】
试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中c b a ,,的等式关系可得b a ,的值，求得椭圆的方程；（２）可设直线P Q 的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得122634m y y m -+=
+，122
9
34
y y m -=+，得直线PA l ，直线QA l ，求得点 M 、N 坐标，利用0=⋅FN FM 得FM FN ⊥．
试题解析： （1）由题意得222221
91,41,2
,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪
⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩
解得2,
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
又111x my =+，221x my =+， ∴112(4,
)1y M my -，222(4,)1y N my -，则112(3,)1y FM my =-，2
22(3,)1
y FN my =-，
12122
121212
22499111()y y y y FM FN my my m y y m y y ⋅=+⋅=+---++222
22363499906913434
m m m m m -+=+=-=---+++ ∴FM FN ⊥
考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件． 21．【答案】
【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C
的方程得=1，∴b=4，…
由
e=
=，得1
﹣
=，∴a=5，… ∴椭圆C
的方程为
+
=1．…
（2）过点（3，0
）且斜率为的直线为
y=（x ﹣3），… 设直线与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
将直线方程y=（x ﹣3）代入椭圆C 方程，整理得x 2
﹣3x ﹣8=0，…
由韦达定理得x 1+x 2=3，
y 1+y 2=（x 1﹣3）+（x 2﹣3）=（x 1+x 2）﹣
=﹣
．…
由中点坐标公式AB 中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．
22．【答案】（1）1
n a n
=
，（2）详见解析.
当
8n =时911872222015S =⨯+>>，…………13分
∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}
*
|8,n n n N ≥∈，…………15分
23．【答案】
【解析】解：∀x ∈[2，4]，x 2
﹣2x ﹣2a ≤0恒成立，
等价于a ≥x 2
﹣x 在x ∈[2，4]恒成立，
而函数g （x ）=x 2
﹣x 在x ∈[2，4]递增，
其最大值是g （4）=4，
∴a≥4，
若p为真命题，则a≥4；
f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数，
对称轴x=≤，∴a≤1，
若q为真命题，则a≤1；
由题意知p、q一真一假，
当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．。