第九章 9.1 9.1.2 余弦定理2019(秋)数学 必修 第四册 人教B版(新教材)改题型

余弦定理 的公式表达及语言叙述 余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，在这四个量 中知道其中三个量，即可求得第四个量，对任意三角形都适用.
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公式表达
a2＝__b_2_＋__c_2－__2_b_c_c_o_s___A___， b2＝__a_2_＋__c_2_－__2_a_cc_o_s__B___， c2＝___a_2＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s__C____
三角形任何一边的平方，等于 余弦 语言叙述 _其__他__两__边__的__平__方__和__减__去__这__两__边__与__它__们__夹__角__余__弦__的__积__的__2_倍__
定理 推论
b2＋c2－a2 cos A＝______2_b_c______，
a2＋c2－b2 cos B＝______2_a_c______，
＝9＋4－2×3×2×－13＝17， ∴c＝ 17. 答案 D
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题型二 已知三边或三边关系解三角形 【例2】 (1)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，求cos C； (2)在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.
解 (1)由正弦定理得：sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶2∶4. 设a＝3k，b＝2k，c＝4k(k>0). 则 cos C＝9k22＋×43kk2×－21k6k2＝－1@《创新设计》 核心素养
法二 由正弦定理得 sin C＝csibn B＝3 33×12＝ 23， 由b<c，∴C＝60°或120°，
当 C＝60°时，A＝90°，由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋（3 3）2＝6；
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形. ∴a＝b＝3. ∴a＝6，A＝90°，C＝60°或a＝3，A＝30°，C＝120°.
＝2bc·a2＋2ba2b－c2·a2＋2ca2c－b2，
即 b2＋c2＝[（a2＋b2－c2）4＋a2（a2＋c2－b2）]2. ∴b2＋c2＝a2.∴△ABC为直角三角形.
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法二 由正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C＝2R， R为△ABC外接圆的半径，将原式化为 R2sin2Bsin2C＝R2sin Bsin Ccos Bcos C. ∵sin Bsin C≠0，∴sin Bsin C＝cos Bcos C， 即cos(B＋C)＝0.∵0°＜B＋C＜180°， ∴B＋C＝90°.∴A＝90°. ∴△ABC为直角三角形.
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(2)由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4 3，∴c＝ 6－ 2.
由正弦定理，得 sin A＝asicn C＝12， ∵b>a，∴B>A， ∴A为锐角，∴A＝30°，B＝135°.
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A＝5×7
3 2 ＝5143.
因此最大角 A 为 120°，sin C＝5143.
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规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求 解.在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解. (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边 解三角形.
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【训练2】 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长. 解 由余弦定理和条件，得
cos A＝AB2＋2·AABC·2A－CBC2＝922＋×892×－872＝23.
设AC边上的中线长为x，由余弦定理，得
x2＝A2C2＋AB2－2·A2C·ABcos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，∴x＝7. 所以所求AC边上的中线长为7.
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规律方法 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定 理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从 而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系， 通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.
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[微训练] 1.一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一
边长为________. 解析 设另一边长为 x，则 x2＝52＋32－2×5×3×－35＝52，∴x＝2 13. 答案 2 13
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a2＋b2－c2 cos C＝_____2_a_b_______
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教材拓展补遗 [微判断] 1.勾股定理是余弦定理的特例.( √ ) 2.当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形.( ×)
提示 由余弦定理，知 cos A＝b2＋2cb2c－a2>0，所以△ABC 中 A 为锐角，但 B 与 C 不确定，故三角形形状不确定. 3.在△ABC中，若cos A＝cos B，则A＝B.(√ )
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【训练3】 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos B·cos C，试判断△ABC的形状. 解 法一 将已知等式变为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C. 由余弦定理，可得
b2＋c2－b2·a2＋2ba2b－c22－c2·a2＋2ca2c－b22
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题型一 已知 两边及一角 解三角形 用余弦定理都能解决
【例1】 已知△ABC，根据下列条件解三角形： (1)b＝3，c＝3 3，B＝30°； (2)a＝2，b＝2 2，C＝15°.
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解 (1)法一 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
A＝
a3＋a＋b c及正弦定理知
b－c a＝ a3＋a＋b c，
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整理得 b2－a2＝ 3ac＋c2， 即 a2＋c2－b2＝－ 3ac. 故由余弦定理可知 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝－2a3cac＝－ 23， 又 B∈(0，π)，所以 B＝56π.
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教材知识探究
美丽的千岛湖湖形呈树枝型，湖中大小岛千余个.在最高水位时拥有1 078座大于 0.25平方千米的陆桥岛屿.
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问题 已知两岛A与C，B与C之间的距离及夹角∠ACB，如何求A，B之间的距离？ 提示 用余弦定理.
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法二 由正弦定理，原等式可化为 (sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A， ∴sin Bcos B＝sin Acos A，∴sin 2B＝sin 2A， 又A，B∈(0，π)，
∴2B＝2A 或 2B＋2A＝π，∴A＝B 或 A＋B＝π2， 故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
9.1.2 余弦定理
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课标要求
素养要求
1.掌握余弦定理及其变形形式，会运 用余弦定理解斜三角形. 2.会运用余弦定理解决一些与测量及 几何计算有关的实际问题.
会用向量推导余弦定理，提升数学逻 辑推理素养；运用余弦定理及变形求 解三角形问题，提升数学运算素养.
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2.在△ABC 中，a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则△ABC 的最小角为________. 解析 ∵a>b>c，∴C为最小角，
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝72＋（42×3）7×2－4 （3 13）2＝ 23.又∵0＜C＜π，∴C ＝π6.
答案
π 6
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3.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于________. 解析 bcos C＋ccos B＝b·a2＋2ba2b－c2＋c·c2＋2aa2c－b2＝22aa2＝a＝2. 答案 2
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[微思考] 1.利用余弦定理，可以解决哪几类解三角形问题？
提示 ①已知两边及其夹角解三角形；②已知三边求任一角；③已知两边及 其中一边的对角. 2.已知三角形三边，如何判断三角形形状？ 提示 若最长边为a，判断最长边a所对角A的余弦值的符号，即若b2＋c2－a2>0， 则最大角A为锐角，所以为锐角三角形；若b2＋c2－a2＝0，则为直角三角形；若 b2＋c2－a2<0，则为钝角三角形.
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题型四 正、余弦定理的综合运用
要注意三角形本身隐含的性质，如A＋B＋C＝π，sin(A＋B)＝sin C等
【例 4】
△ABC
的内角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c，若sin
B－sin sin C
A＝
a3＋a＋b c，
求角 B.
解
由sin
B－sin sin C
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【训练4】 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且 sin Acos C＝3cos Asin C，求b. 解 法一 在△ABC中，∵sin Acos C＝3cos Asin C， 则由正弦定理及余弦定理有： a·a2＋2ba2b－c2＝3b2＋2cb2c－a2c，
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【训练 1】 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝2，
cos(A＋B)＝13，则 c 等于( )
A.4
B. 15 C.3
D. 17
解析 由三角形内角和定理可知
cos C＝－cos (A＋B)＝－13，
又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C
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(2)∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×532×－572＝－12.
又∵0°<A<180°，∴A＝120°.∴sin A＝sin 120°＝ 23， 由正弦定理sina A＝sinc C，
得
sin
C＝csian
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题型三 判断三角形形状
基本思路：将条件等式转化为边的关系或转化为角的关系
【例3】 在△ABC中，若(a－ccos B)sin B＝(b－ccos A)sin A，判断△ABC的形状.
解 法 一 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 知 ， 原 等 式 可 化 为 a－c·a2＋2ca2c－b2 b ＝ b－c·b2＋2cb2c－a2a， 整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， ∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2， 故三角形为等腰三角形或直角三角形.
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规律方法 余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互化的.在解有 关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程 (组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住 能利用某个定理的信息.
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得 32＝a2＋(3 3)2－2a×3 3×cos 30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6. 当a＝3时，由于b＝3，∴A＝B＝30°，∴C＝120°； 当 a＝6 时，由正弦定理得 sin A＝asibn B＝6×3 12＝1. 又∵0°＜A＜180°，∴A＝90°，∴C＝60°. ∴a＝3，A＝30°，C＝120°或a＝6，A＝90°，C＝60°.
规律方法 已知两边及一角解三角形有以下两种情况： (1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求 边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解. (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利 用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.