广东省深圳市高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量

向量减法运算及其几何意义
知识梳理
1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
2、向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)几何意义：以O为起点，作向量OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b，如图所示，即a －b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
常考题型
题型一、向量的减法运算
例1、化简：(1)(AB－CD)－(AC－BD)； (2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．
1、向量减法运算的常用方法
2、向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差．
变式训练
化简下列各式：
(1)AB－AC－DB； (2)AB＋BC－AD； (3)AB－CD－DB.
题型二、向量的减法及其几何意义
例2、(1)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A．AB－AD＝BD B．AD＋AB＝AC C．AB＝DC D．AD＋CB ＝0
(2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
变式训练
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量：①a－b＋c；②a－b－c.
题型三、利用已知向量表示未知向量
例3、如图，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示DB；(2)用b，c表示DB；(3)用a，b，e表示EC；(4)用d，c表示EC.
用已知向量表示某向量的基本步骤
第一步：观察各向量的位置；
第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；
第三步：运用法则找关系；
第四步：化简结果．
变式训练
如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OF＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)AC；(2)AD；(3)AD－AB；(4)AB＋CF；(5)BF－BD.
课堂小测
1、在三角形ABC中，BC＝a，CA＝b，则AB＝( )
A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b
2、有下列不等式或等式：
①|a|－|b|<|a＋b|<|a|＋|b|；②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；③|a|－|b|＝|a＋b|<|a|＋|b|；④|a|－|b|<|a＋b|＝|a|＋|b|.
其中，一定不成立的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3、如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中OB＝b，OC＝c，则EF等于________．
4、化简AB ＋DA －DB －BC －CA 的结果是________．
5、已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF ＋EF ＝AB ＋DC . 同步练习
1、AB CB -=（ ） A ．0
B ．A
C C ．CA
D ．2AC
2、下列向量的运算中，正确的是 （ ） A ．AB BC AC -= B ．AB BC CA += C ．AB AC CB -= D ．AB AD DC BC --=
3、在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有 （ ） A ．0AD = B ．0AB =或0AD = C ．四边形ABCD 为矩形 D ．四边形ABCD 为正方形
4、已知6AB =，4AC =，则BC 的取值范围为 （ ）
A ．()2,8
B ．[]2,8
C ．()2,10
D ．[]2,10 5、下面四个式子中不能化简成AD 的是（ ） A ．-- B ．+- C ．
()AB DC BC -+
D ．()()
AD BM BC MC -+-
6、如图，,,D E F 分别是△ABC 的边,,AB BC CA 的中点，则 ( ) A ．AD BE CF ++=0 B ．BD CF DF -+=0 C ．AD CE CF +-=0 D ．BD BE FC --=0
7、边长为1的正三角形ABC 中，AB BC -的值为 ( )
A ．1
B ．2
8、下列命题：①0AB BA +=；②相反向量就是方向相反的向量；③AB OA OB =-；④
+≥-a b a b . 其中正确命题的个数是 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 9、若+=0a b ，则a 与b 是一对________向量．
10、现有下列四个结论：①-+=-a b a b ；②-+=+a b a b ；③--=+a b a b ；④
-=-a b a b ，
其中正确结论的序号为________．
11、如图所示，已知O 到平行四边形的三个顶点
A 、
B 、
C 的向量分别为,,a b c ，则
OD =__________.
12、如图，解答下列各题：
(1)用a ，d ，e 表示DB ； (2)用b ，c 表示DB ；(3)用a ，b ，e 表示EC ； (4)用d ，c 表示EC ．
=+.
13、已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：2EF AB DC
-=-+-，试判断14、若O是△ABC所在平面内一点，且满足OB OC OB OA OC OA
△ABC的形状．。