高三数学第一轮复习简单线性规划及应用 试题

高三数学第一轮复习简单线性规划及应用
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、根底知识回忆
1．用二元一次不等式表示平面区域
一般地，二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当在坐标系中画不等式Ax +By +C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，那么把边界直线画成实线．常用以下方法断定二元一次不等式表示平面区域的位置．
在直线Ax +By +C =0的某一侧取一个特殊点(x 0, y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线的哪一侧的平面区域．特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点．
2．用二元一次不等式组表示平面区域
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，也就是各个不等式所表示平面区域的公一共局部．
3．关于线性规划的根本概念
求线性目的函数在线性约束条件下的最大值或者最小值问题，称为线性规划问题，满足线性约束条件的解(x ，y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫可行域．其几何表示就是约束条件所表示的平面区域，在线性约束条件下，使线性目的函数获得最大值和最小值的可行解称为该线性规划问题的最优解． 二、根底训练
〔 〕1、3x+ay-6<0(a>0)表示的平面区域是直线3x+ay-6=0 的点的集合
A 、左上方
B 、右上方
C 、左下方
D 、右下方 〔 〕2、线性目的函数z=2x-y 在线性约束条件⎩
⎨
⎧≤≤1|y |1
|x |下，取最小值时的最优解是 A 、(1，1) B 、(-1，1) C 、(-1，-1) D 、(1，-1)
3、点(-2，t)，在直线2x-3y+6=0的上方，那么t 的取值范围是 。

4、不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧<+>>12y 3x 40y 0x 表示的平面区域内的整点一共有 个。

三、典型例题选讲
例1．线性约束条件10,220,220,20.
x y x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪
⎨--≤⎪⎪++≥⎩(1)在直角坐标系xOy 中，用平面图形表示出该约束条件的可
行域；(2)求上述平面图形的面积．
例2．设x 、y 、z 满足x +y +z =1及不等式组010232x y y z ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪+≥⎩
求F =2x +6y +4z 的最大值和最小值．
例3．〔1〕设f (x )=ax 2
-c ，并且-4≤f (1)≤-1，-1≤f (2)≤5，那么f (3)合适的条件是( )
(A )-7≤f (3)≤26 (B )-4≤f (3)≤5 (C )-1≤f (3)≤20 (D )
328≤f (3)≤3
35
〔2〕a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2
+ax +2b =0的两个实数根，x 1∈(0, 1)，x 2∈(1, 2)．那么2
1
b a --的范围是
( )
(A )1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B )1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C )11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ (D )11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
例4．某人有楼房一幢，室内面积一共180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m 2
，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m 2
，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．假如他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
四、作业 A 组
( )1．实数x ，y 满足00220
y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩
，那么t =1
1y x -+的取值范围是
(A )11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (B )11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (C )1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (D )1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
( )2．点(3, 1)和(4, 6)在直线3x 2y +a =0的两侧，那么a 的取值范围
(A )a <7或者a >24 (B )a =7或者a =24 (C )7<a <24 (D )24<a <7
( )3．(x
2y +1)(x +y 3)<0表示的平面区域为
( )4．给定平面区域(如图)，假设使目的函数z=ax +y (a >0)获得最大值的最优解有无穷多个，那么a 的值是
(A )
41 (B )53 (C )4 (D )3
5 ( )5．6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，那么2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比拟
( )
(A )2枝玫瑰的价格高 (B )3枝康乃馨的价格高 (C )价格一样 (D )不确定 ( )6．假如直线y =kx +1和圆x 2
+y 2
+kx +my
4=0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x +y =0对称，那么
不等式组10
00kx y kx my y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
表示的平面区域的面积是
B (1,1)
x
y
A (5, 2)
O C ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛522,1 (4题图)
x
y O (A ) x
y
O (B )
x
y
O x
y
O (D )
(A )
41 (B )2
1
(C )1 (D )2 ( )7．假如函数y =ax 2
+bx +a 的图象与x 轴没有公一共点，那么点(a ,b )在aOb 平面上的区域(不包含边界)为
( )8．设全集U ={(x , y )|x ∈R , y ∈R }，A ={(x , y )|2x y +m >0}，B ={(x , y )|x +y n ≤0}，那么点P (2,
3)∉(A B )的充要条件是
(A )m >1或者n ≥5 (B )m >
1且n ≤5 (C )m ≤1或者n <5 (D )m ≤1且n <5
( )9．点P (a , b )在不等式组002x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
确定的平面区域内，那么点N (a +b , a b )所在平面区域的面
积为
(A )1 (B )2 (C )4 (D )8
10．假设x 、y 满足3010350x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，设y =kx ，那么k 的取值范围是 ．
11．当x 、y 满足3420y x x x y k ≤⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩
，(其中x , y ∈N *
, k 为常数)，假如z =x +y 的最大值为12，那么k
的取值范围是 ．
12不等式|x-1|+|y-2|≤2表示的平面区域的面积为_______________。

13．某运输公司由7辆载重量为6吨的A 型卡车和4辆载重量为10吨的B 型卡车，有9名驾驶员．在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务．每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次．每辆卡车每天往返的本钱费为A 型卡车160元，B 型卡车252元．每天派出A 型卡车与B 型卡车各多少辆，公司所花的本钱费最低？
b a O (A ) a b O (B ) b a O (C ) b
a O (D )
14．要把一批长为4000mm 的条型钢材截成518mm 和698mm 两种毛坯(损耗不计)，应该怎样合理下料才能使材料利用率最高？
例1解：(1)题设中线性约束条件的可行域在直角坐标系xOy 中表示出来如右图，就是四边形ABCD ． (2)平面图形的面积为S =
2
1
AC
BD =21⨯3⨯3=2
9．
注：(1)线性约束条件通常由假设干个二元一次不等式一共同决定，线性约束条件的可行域在坐标系中对应的平面图形就是各个二元一次不等式所表示平面区域的公一共局部．
(2)计算平面图形的面积应注意平面图形的特点，如本例中平面图形是梯形，也可用梯形的面积公式直接求．对于较复杂的线性约束条件，其平面图形的边数较多，求面积时常用割补法．
例2解：线性约束条件的可行域为右图中△ABC 的内部及其边界．
–t 为直线2x –y –t =0在y 轴上的截距．
当(x ，y )位于点C (–1，–1)时，–t 获得最大值，∴t 获得最小值，t min =–1；
当(x ，y )位于点B (2，–1)时，–t 获得最小值，∴t 获得最大值，t max =5．
例3解：∵x +y +z =1，∴z =1–x –y ．
∴题中不等式组可化为01
02210x y x y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪-+≤⎩
．并且
F =2x +6y +4(1–x –y )=–2x +2y +4．
先画出约束条件的可行域，如图．由F =–2x +2y +4，
y x 2
A
1
B
C
O
t 1=2x –y t 2=2x –y
y =–1
y =x
x +y =1
–1
1
y A
1 x
–1
B
C D O
得y =x +
2
4
-F ． 当(x , y )为A (0,2)时，F max =–2⨯0+2⨯2+4=8； 当(x ，y )为C (1,1)时，F min =–2⨯1+2⨯1+4=4．
例4．f (x )=x 2
+ax +b ，求证：|f (1)|、|f (2)|和|f (3)|中至少有一个不小于
1．
分析：此题实际上是证明线性约束条件
11122114222119322a b a b a b ⎧-<++<⎪⎪⎪-<++<⎨⎪⎪-<++<⎪⎩，即3
1229722219
17322a b a b a b ⎧-<+<-⎪⎪
⎪-<+<-⎨
⎪
⎪-<+<-⎪⎩
． 是不相容的，因此，我们可以选择其中两个作为线性约束条件，另一个作为线性目的函数，通过求解所得范围与上述范围恰好没有公一共值即可．
解：设|f (1)|<
21且|f (2)|<2
1
．即在线性约束条件 11122114222a b a b ⎧-<++<⎪⎪⎨⎪-<++<⎪⎩⇔3
122
97222
a b a b ⎧-<+<-⎪⎪⎨
⎪-<+<-⎪⎩下， 求f (3)=9+3a +b 的范围．
作换元：x =a ，y =b ，得线性约束条件
3122
97222
x y x y ⎧-<+<-⎪⎪⎨
⎪-<+<-⎪⎩． 线性目的函数z =f (3)–9=3x +y ，可行域为平行四边形ABCD 的内部区域．
作直线l ：3x +y =0，并把直线l 向左挪动知：过点B 的直线l 1//l 在y 轴上的截距最大，即f (3)最
大．易求得B ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-21,2，但(x , y )不能是B ，所以
f (3)–9<3⨯(–2)+21=2
11-，故f (3)<27
；
过点D 的直线l 2//l 在y 轴上的截距最小，即f (3)最小．易求得D ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-27,4，
但(x , y )不能是D ，所以f (3)–9>3⨯(–4)+
27=217-，故f (3)>2
1
． 综上所述，得
21<f (3)<27．所以|f (3)|<2
1
不成立． 故在|f (1)|<
21和|f (2)|<21成立的条件下，不可能有|f (3)|<2
1． ∴|f (1)|、|f (2)|和|f (3)|中至少有一个不小于2
1
． 注：此题假如用线性表示法做，可以更为快捷．
设f (3)–9=x [f (1)–1]+y [f (2)–4]，即9a +b =x (a +b )+y (2a +b )．
比拟系数，得⎩⎨⎧=+=+192y x y x ，解之得⎩
⎨⎧=-=87
y x ．
∴f (3)–9=–7 [f (1)–1]+8 [f (2)–4]，即7f (1)–8f (2)+f (3)=–16． 但在条件|f (1)|<
21、|f (2)|<21和|f (3)|<2
1
同时成立时，有 16=|7f (1)–8f (2)+f (3)|<7⨯
21+8⨯21+2
1
=16， 此为矛盾，说明|f (1)|<
21、|f (2)|<21和|f (3)|<2
1
不能同时成立， 即|f (1)|、|f (2)|和|f (3)|中至少有一个不小于
2
1
． 例4分析：此题是一个线性规划问题，线性约束条件是
⎩⎨
⎧≤≤--≤≤-5)2(11)1(4f f ⇔⎩
⎨⎧≤-≤--≤-≤-5411
4c a c a ，线性目的函数是z =f (3)=9a -c ． 此题除了可以用图象法外，还可以用不等式的性质导出f (3)的范围． 解法1：由条件⎩⎨⎧≤≤--≤≤-5)2(11)1(4f f ，得⎩
⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ．
记 z =f (3)，那么z =9a -c ．那么只需求出z
作变量代换：x =a ，y =c ，那么线性约束条件为：
414145
y x y x y x y x ≤+⎧⎪≥+⎪
⎨
≤+⎪⎪≥-⎩，线性目的函数为z =9x -y ． 作出线性目的函数的可行域， 平行四边形ABCD 及其内部，如图．
作出直线l ：y =9x ，左右平移直线l ，得过点C 的直线l 1//l ，
l 1在y 轴上的截距最小，易求得C (3,7)，此时-z 最小，z 就最大．
z max =9⨯3-7=20．
过点A 的直线l 2//l ，l 2在y 轴上的截距最大，易求得A (0,1)，此时-z 最大，z 就最小．z min =9⨯0-1=-1． 综上所述，得-1≤f (3)≤20．应选(C )．
解法2：∵⎩⎨⎧-=-=c a f c a f 4)2()1(，∴[][]
1(2)(1)3
1(2)4(1)3a f f c f f ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
．
故f (3)=9a -c =3[f (2)-f (1)]-31[f (2)-4f (1)]=38f (2)-35
f (1)．
∵-1≤f (2)≤5，∴-38≤38f (2)≤340．又-4≤f (1)≤-1，∴35≤-35f (1)≤3
20
．
从而-1≤38f (2)-3
5
f (1)≤20，即-1≤f (3)≤20．应选(C )．
注：这里给出了线性规划问题的两种解法，其中解法1为图象法，解法2为不等式法．用不等式的
性质解此类问题的关键是建立等式f (3)=38f (2)-35
f (1)．即用f (1)和f (2)把f (3)线性表示出来，
上面给出了求线性表达式的一种方法，但更常用的方法是下面的待定系数法：
设f (3)=pf (1)+qf (2)，那么9a -c =p (a -c )+q (4a -c )，比拟系数，得 9=p +4q ，-1=-p -q ．解之，得p =-
35，q =38．∴f (3)=38f (2)-3
5
f (1)． 〔2〕解：依题意，得(1)120(0)20(2)4220f a b f b f a b =++<⎧⎪=>⎨⎪=++>⎩⇒210020a b b a b ++<⎧⎪
>⎨⎪++>⎩
，
画出其所表示的平面区域，易知应选 ( A )．
例5分析：这是线性规划应用中的第一类问题．即：在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何安排利用这些资源，能使收到的效益最大．解题的一般步骤为：(1)设出所求的未知数；(2)列出约束条件；(3)建立目的函数；(4)作出可行域；(5)运用图象法求出最优解．
解法1：设隔出大房间x 间，小房间y 间， 每天的收益为z 元，那么
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥≤+≤+00800060010001801518y x y x y x ，即⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
040356056y x y x y x ． 目的函数z =200x +150y ，其中x 、y 是整数． 作出可行域，如图．
作直线l ：200x +150y =0，即直线l ：4x +3y =0，
把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A ，此时z =200x +150y 获得最大值，解方程组
⎩⎨
⎧=+=+40
356056y x y x ，得A ⎪⎭⎫
⎝⎛760,720． 由题意知，最优解中的x 、y 必须是整数，而A 点的坐标不是整数，应找出可行域内使z 获得最大值的整点，作直线x =1,2,…,8，y =1,2,…,12．如图，打出网格，这些网格在可行域内的交点即可行域内的整点．
将直线l 1向左下方平移至时，最先经过可行域上的整点(0,12)和(3,8)，且使z =200x +150y 获得最大值，此时z max =200⨯0+150⨯12=200⨯3+150⨯8=1800．
所以应隔出小房间12间，或者大房间3间、小房间8间能获得最大收益．
注：这种寻找整点最优解的方法可简述为：平移找解法，即打网格，描整点，平移直线l ，找出整数最优解．
解法2：用解法1的方法，打出网格描出可行域内的整点，域内右上侧靠近边界的整点依次为
B (0,12)，
C (1,10)，
D (2,9)，
E (3,8)，
F (4,6)，
G (5,5)，
H (6,3)，L (7,1)，K (8,0)，将这些点的坐标分
y x =7 x +y =9
别代入z =200x +150y ，求出z 的各对应值，经检验可知，在整点B (0,12)和E (3,8)时z 获得最大值．
注：这种寻找整点最优解的方法可简述为：代入验证法，即打网格，描整点，代入算，选优解． 解法3：由解法1可知，点A 不是所求的最优解，但是可以利用点A 的坐标帮助我们较快地找到最
优解，其方法是：将点A 的坐标代入4x +3y =t 中，所得t 的值是t 0=3731
，当t >t 0时，直线4x +3y =t 在
直线l 1的右上方，将分开可行域；当0<t <t 0时，直线经过可行域，在区间(0,t 0)内适当调整t 的取值，在可行域内求不定解方程的整数解，就可求出所求的整点最优解．
当t =37时，即4x +3y =37，也就是y =
3
437x
-(x ∈[0,8]且x ∈N)，当x =0，3，5，6，8时，y 无整数解，当x =1，2，4，7时，y 虽有整数解，但不在可行域内．
当t =36时，即4x +3y =36，当x =0时，y =12；当x =3时，y =8；当x =1，2，4，5，7，8时，y 无整数解；当x =6时，y =4虽是整数解，但不在可行域内，故(0,12)和(3,8)为所求最优整点的坐标．
注：这种寻找整点最优解的方法可简述为：调整优值法，即先求非整点最优解，再求非整点最优值，调整这个最优值，挑选整点最优解． 作业答案 答案：
1．(D ) 2．(C ) 3．(C ) 4．( B ) 5．(A ) 6．(A ) 5．设玫瑰和康乃馨的价格分别为x 元、y 元，
那么⎩
⎨⎧⋯⋯⋯⋯⋯<+⋯⋯⋯⋯⋯>+②①22542436y x y x ．问题转化为在条件①、②的约束下，比拟2x 与3y 的大小．为了
整体地使用①、②，令6x +3y =a ，4x +5y =b ，
联立可解得x =
1835b a -，y =923a b -．∴2x -3y =…=9
1211b
a -． ∵a >24，
b <22，∴11a -12b >11⨯24-12⨯22=0．∴2x >3y ，故应选(A )． 6．直线y =kx +1和x +y =0垂直，∴k =1．又圆心必在直线x +y =0上，得m =1．
容易求得区域的面积为
4
1
，应选(A )． 7.(D ) 8.(C ) 9.(D ) 10.1
,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
11.(21, 20]
12．设每天派出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，
那么应在下面的约束条件下
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤+≤≤≤≤360604894070y x y x y x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤+≤≤≤≤30
5494070y x y x y x ． 求z =160x +252y 的最小值，并且最优解应为整数.
作出约束条件的可行域ABCD ．
可行域内只有(7,1)，(7,2)，(6,2)，(6,3)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(4,3)，(4,4)，(3,4)这10整点，经计算比拟知点(5,2)是最优解，最低费用是：
z =160⨯5+252⨯2=1304(元)，此时x =5，y =2．
13．设截成518mm 长度的为x 根，698mm 的为y 根，依题意，有
⎩⎨⎧≥≥≤+0,04000698518y x y x ． 问题转化为在不等式组所确定的区域内，寻求合适的整数
解．仔细观察区域内坐标为整数的格点，易知最靠近直线
518x +698y =4000的点为(5,2)．
即解为：x =5，y =2．
14．设应分别消费A 、B 产品各x kg 、y kg ，利润z 万元，
那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,03001032005436049y x y x y x y x ，利润目的函数z =7x +12y ． 易知A (20,24)为最优解，此时z max =428．
例2．在线性约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
下，求t =2x –y 的最大值和最小值．
15．某工厂消费A、B两种产品，制造A产品1kg要用煤9t，电力4kw，劳动力(按工作日计算)3个；制造B产品1kg要用煤4t，电力5kw，劳动力10个，又知制造A产品1kg可获利7万元；制造B产品1kg 可获利12万元，现此工厂由于受某种条件限制只有煤360t，电力200kw，劳动力300个，在这种条件下应消费A、B产品各多少kg才能获得最大经济效益？
本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。