【北师大版】九年级数学下期中第一次模拟试题含答案

一、选择题
1．如图所示，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（）
A．5米B．6米C．8米D．10米
2．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（）
A．1个B．2个C．3 D．4个
3．下列相似图形不是位似图形的是（）
A．B．
C．D．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝5O为△ABC三条高的交点，则OA的长度为（）
A ．352
B ．253
C ．5
D ．354
5．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与
22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与
22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为（ ）
A ．()1,4-
B ．()2,4-
C ．()4,2-
D ．()2,1- 6．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，
E 为BC 的中点，连接AE 交BD 于点
F ，若1OF =，则BD 的长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴上，反比例函数()0k y x x =
>的图象经过菱形对角线的交点,A 且与边BC 交于点F ，点C 的坐标为()8,4，则OBF ∆的面积为（ ）
A ．104
B ．83
C ．103
D ．114
8．与点()2,3-在同一反比例函数图象上的点是（ ）
A ．()1.5,4-
B ．()1,6--
C ．()6,1
D ．()2,3-- 9．如图，直线1122y x =+与双曲线26y x
=交于()2A m ，、()6B n -，两点，则当12y y <时，x 的取值范围是()
A ．6x <-或2x >
B ．60x -<<或2x >
C ．6x <-或02x <<
D ．62x -<<
10．若反比例函数()2221m
y m x -=-的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A ．-1或1
B ．小于12
的任意实数 C ．-1 D ．不能确定 11．如图，函数y ＝kx （k ＞0）与函数2y x
=
的图象相交于A ，C 两点，过A 作AB ⊥y 轴于B ，连结BC ，则三角形ABC 的面积为（ ）
A ．1
B ．2
C ．k 2
D ．2k 2
12．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数k y x =
(k ＜0)的图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则下列结论正确的是( )
A ．y 1＜0＜y 2
B ．y 2＜0＜y 1
C ．y 1＜y 2＜0
D ．y 2＜y 1＜0 二、填空题
13．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，AD=AC ，以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 于点E ，连接DE 、BE ，并延长BE 交CD 于点F ，下列结论：①△BAC ≌ △EAD ，②BC+CF=DE+EF ，③∠ABE+∠ADE=∠BCD ，其中正确的有____（填序号）
⊥交CD于点E，连接BD，OB，14．如图，已知CD为O的直径，弦AB CD
AC，若8
AB=，2
DE=，则O的半径为______．
15．如图，ED为△ABC的中位线，点G是AD和CE的交点，过点G作GF∥BC交AC于点F，如果GF＝4，那么线段BC的长是________．
16．如图4，我国现代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？它的题意可以由如图所示获得，井深BC为_________尺．
17．下列y关于x的函数中，y随x的增大而增大的有_____．（填序号）
①y ＝﹣2x+1，②y 1x =，③y ＝（x+2）2+1（x ＞0），④y ＝﹣2（x ﹣3）2﹣1（x ＜0） 18．如图，四边形OABC 和ADEF 均为正方形，反比例函数8y x =
的图象分别经过AB 的中点M 及DE 的中点N ，则正方形ADEF 的边长为___
19．已知反比例函数3y x
=-，当1x >时，y 的取值范围是____ 20．如图，菱形ABCD 的两个顶点A 、B 在函数k y x
=
(x>0)的图像上，对角线AC//x 轴．若AC=4，点A 的坐标为（2，2），则菱形ABCD 的周长为_____．
三、解答题
21．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，//DE BC ，若4AE =，2DB =，2AD CE =，求AD 的长．
22．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
（1）在图①中以线段AD 为边画一个三角形，使它与ABC 相似．
（2）在图②中画一个三角形，使它与ABC 相似（不全等）．
（3）在图③中的线段AB 上画一个点P ，使23AP PB =． 23．如图，反比例函数(0,0)k y k x x
=≠<经过ABO 边AB 的中点D ，与边AO 交于点C ，且:1:2AC CO =，连接DO ，若AOD △的面积为
78，则k 的值为_______．
24．如图，一次函数y ＝ax +b 的图象与反比例函数的图象交于A （﹣4，2）、B （2，n ）两点，且与x 轴交于点C ．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB 的面积；
（3）根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值x 的取值范围．
25．如图，已知一次函数1332
y x =
-与反比例函数2k y x =的图象相交于点A (4，n )和M(m ，﹣6)，与x 轴相交于点B ．
（1）求m ，n 的值； （2）观察图象，当y 2≥﹣6且y 2≠0时，自变量x 的取值范围为 ，若y 1﹣y 2＜0时自变量x
的取值范围为 ；
（3）若P 点为x 轴上一点， Q 点为平面直角坐标系中的一点，以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形，求Q 点的坐标．
26．如图，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ：AB ＝3：1，CE 垂直y 轴于点E ．
（1）求证：CDE DAO ∽△△；
（2）直接写出点B 和点C 的坐标．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出比例式即可解答．
【详解】
解：如图，假设没有墙，电线杆AB 的影子落在E 处，
∵同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例，
∴CD ：DE=1：0.5=2：1，
∴AB ：BE=2：1，
∵CD=2，BE=BD+DE，
∴BE=3+1=4，
∴AB：4=2：1，
∴AB=8，即电线杆AB的高为8米，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用、比例的性质，解答的关键是理解题意，将实际问题转化为相似三角形中，利用同一时刻，物体的实际高度和影长成正比例列出方程求解．
2．C
解析：C
【分析】
根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．
【详解】
矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件；
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件；
菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件．综上，外框与原图一定相似的有3个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了相似图形的概念，注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．
3．D
解析：D
【分析】
根据位似变换的概念判断即可．
【详解】
解：D中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形，
A、B、C中的图形符合位似变换的定义，是位似图形，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
4．A
解析：A
【分析】
设BC边上的高为AD，结合三角形高线的性质及等腰三角形的性质证明△OBD∽△BAD，
可得BD:AD=OD:BD ，利用勾股定理可求解AD 的长，进而可求解OD 的长．
【详解】
解：如图，设BC 边上的高为AD ，
∵点O 为△ABC 三条高的交点，
∴AD ⊥BC ，BO ⊥AC ，
∴∠ADB=90°，∠OBC+∠C=90°，
∴∠CAD+∠C=90°，
∴∠OBD=∠CAD ，
∵AB=AC ，∴D 为BC 的中点，∠BAD=∠CAD ，
∴∠OBD=∠BAD ，
∴△OBD ∽△BAD ，∴BD:AD=OD:BD ，
∵BC=25∴5
在Rt △ABD 中，AB=5，∴()22225525AB BD -=-= ∴5255OD =，解得152 ∴OA=AD−OD=1352552=， 故选A ．
【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的高线，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合运用 ．
5．B
解析：B
【分析】
根据位似变换的概念得到△A 1OB 1∽△A 2OB 2，△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】
解：∵△A 1OB 1与△A 2OB 2位似，
∴△A 1OB 1∽△A 2OB 2，
∵△A 1OB 1与△A 2OB 2的周长之比为1：2，
∴△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，
∵A 1的坐标为（-1，2），△A 1OB 1与△A 2OB 2在原点O 的两侧，
∴点A 1的对应点A 2的坐标为（2，-4），
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．
6．B
解析：B
【分析】
根据平行四边形的性质知AD=2BE ，BC ∥AD ，BO=OD ，设BF=a ，得DF=a+2，由BC ∥AD 知△BEF ∽△DAF ，据此得
=BF DF 12
=BE DA ,得出BF 的长，从而得出BD 的长． 【详解】
解：∵点E 是BC 中点，
∴BC=2BE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD ，BC ∥AD ，BO=OD ，
∴AD=2BE ，
设BF=a ，
∵OF=1，
∴BO=DO=a+1，
则DF=a+2，
∵BC ∥AD
∴△BEF ∽△DAF ， 12∴
==BF BE DF DA ∴1,22
=+a a 解得a=2，
经检验a=2是原方程的解
∴BF=2，
∴BO=DO=3，
∴BD=6
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．
7．C
解析：C
【分析】
根据菱形的性质可求出点A 坐标，将点A 的坐标代入到反比例函数解析式可求得k 值，即可确定函数的解析式，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点C 作CN ⊥x 轴于点N ，如图，首先在Rt △CNB 中，根据勾股定理建立方程求出OB 的长，进而可求得点B 的坐标，然后利用待定系数法可求得直线BC 的解析式，再联立直线和双曲线的解析式求出交点F 坐标，然后根据三角形的面积公式求解可．
【详解】
解：∵四边形OBCD 是菱形，
∴OA ＝AC ，
∵C （8，4），∴A （4，2），
把点A （4，2）代入反比例函数()0k y x x =>，得到k ＝8，
∴反比例函数的解析式为y ＝8x
； 过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点C 作CN ⊥x 轴于点N ，如图，
设OB ＝x ，则BC ＝x ，BN ＝8﹣x ，
在Rt △CNB 中，x 2﹣（8﹣x ）2＝42，解得：x ＝5，
∴点B 的坐标为（5，0），
设直线BC 的函数表达式为y ＝ax +b ，把点B （5，0），C （8，4）代入得：
∴5084a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：43203a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴直线BC 的解析式为42033
y x =-， 解方程组420338y x y x
⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得：18x y =-⎧⎨=-⎩或643x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点F 的坐标为F （6，
43）， 作FH ⊥x 轴于H ，连接OF ，∴S △OBF ＝
12OB •FH ＝14105233
⨯⨯=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、利用待定系数法求函数的解析式、两个函数的交点问题以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
根据在同一反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等即可解答．
【详解】
解：∵点()2,3-
∴k=2×（-3）=-6
∴只有A 选项：-1.5×4=-6．
故答案为A ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图像的性质，掌握同一反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等是解答本题的关键．
9．C
解析：C
【解析】
试题
根据图象可得当12y y <时，
x 的取值范围是：x <−6或0<x <2.
故选C.
10．C
解析：C
【分析】
根据反比例函数的定义列出方程221m -=-且210m -<求解即可．
【详解】
解：22(21)m y m x -=-是反比例函数，
∴221m -=-，210m -≠，
解之得1m =±．
又因为图象在第二，四象限，
所以210m -<， 解得12
m <
，即m 的值是1-． 故选：C ． 【点睛】 对于反比例函数()0k y k x
=≠．（1）0k >，反比例函数图像分布在一、三象限；（2）
k 0< ，反比例函数图像分布在第二、四象限内．
11．B
解析：B
【分析】
设点A 坐标2,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据点A ，C 关于原点对称，可得出点C 坐标，最后根据三角形的面积计算即可．
【详解】
设点A 坐标2,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点C 坐标2,x x ⎛⎫--
⎪⎝⎭， ∵AB ⊥y 轴， ∴()114222ABC A C S AB y y x x
=⋅-=⋅=， 故选B ．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握双曲线是关于原点对称，两个分支上的点也是关于原点对称是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
首先根据系数判定函数的图象在二、四象限，再根据x 1＜0＜x 2，可比较出y 1、y 2的大小，进而得到答案．
【详解】 解：由反比例函数k y x
=
(k ＜0)，可知函数的图象在二、四象限， ∵x 1＜0＜x 2，
∴A （x 1，y 1）在第二象限，y 1＞0，B （x 2，y 2）在第四象限，y 2＜0，
∴y 2＜0＜y 1，
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握是解题的关键. 二、填空题
13．①②③【分析】先由已知条件利用SAS 证明△BAC ≌△EAD 得到①；由全等得到BC=DE 然后再通过证明△ABE ∽△ACD 得到∠ABE=∠ACD=∠AEB 进而再得到CF=EF 得到BC+CF=DE+EF 即
解析：①②③
【分析】
先由已知条件利用SAS 证明△BAC ≌ △EAD ，得到①；由全等得到BC=DE ，然后再通过证明△ABE ∽△ACD ，得到∠ABE=∠ACD=∠AEB ，进而再得到CF=EF ，得到BC+CF=DE+EF ，即②正确；由∠ABE=∠ACD ，∠BCA=∠EDA ，可得到∠ABE+∠ADE=∠BCD ，即③正确．
【详解】
解：由题意可知，∠BAC=∠CAD ，AB=AE ，
在△BAC 和△EAD 中，
AB AE BAC CAD AC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠
∴△BAC ≌ △EAD ，故①正确；
∵△BAC ≌ △EAD ，
∴BC=ED ，∠BCA=∠EDA ，
由于AB=AE ，AC=AD ，∠BAC=∠CAD ， ∴AB AE AC AD
=， ∴△ABE ∽△ACD ，且△ABE 和△ACD 都为等腰三角形，
∴∠ABE=∠ACD=∠AEB ，
∵∠AEB=∠CEF ，
∴∠ECF=∠CEF ，
∴CF=EF ，
∴BC+CF=DE+EF ，故②正确；
由以上过程知道∠ABE=∠ACD ，∠BCA=∠EDA ，
∴∠ABE+∠ADE=∠ACD+∠BCA=∠BCD ，故③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确找到全等三角形是解题的关键．
14．5【分析】设的半径为则由垂径定理得证明根据对应边成比例列式求出r 的值【详解】解：∵∴∵∴∴设的半径为则∵∴∴解得故答案是：5【点睛】本题考查圆的性质和相似三角形的性质和判定解题的关键是掌握圆周角定理 解析：5
【分析】
设O 的半径为r ，则22CE r =-，由垂径定理得142
AE BE AB ===，证明AEC DEB ，根据对应边成比例列式求出r 的值．
【详解】 解：∵AB CD ⊥，
∴90ACE DBE ∠=∠=︒，
∵AEC DEB ∠=∠，
∴
AEC DEB ， ∴AE EC DE EB
=， 设O 的半径为r ，则22CE r =-，
∵AB CD ⊥， ∴142AE BE AB ==
=， ∴42224
r -=，解得=5r ． 故答案是：5．
【点睛】
本题考查圆的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握圆周角定理和垂径定理，以及相似三角形对应边成比例的性质．
15．12【分析】先判断点G 为△ABC 的重心得到AG=2GD 再证明△AGF ∽△ADC 然后利用相似比求出CD 的长从而得到BC 的长【详解】解：∵ED 为△ABC 的中位线∴DE//ACDE=ADCE 为△ABC 的中
解析：12．
【分析】
先判断点G 为△ABC 的重心得到AG=2GD ，再证明△AGF ∽△ADC ，然后利用相似比求出CD 的长，从而得到BC 的长．
【详解】
解：∵ED 为△ABC 的中位线，
∴DE//AC ，DE=
12
AC ，AD 、CE 为△ABC 的中线， ∴△DEG ∽△ACG ∴12
DG DE AG AC == ∴AG=2GD ，
∵GF ∥BC ，
∴△AGF ∽△ADC ， ∴23
GF AG CD AD ==， ∴CD=
32GF=32
×4=6， ∴BC=2CD=12．
故答案为12．
【点睛】 本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查
了三角形中位线和相似三角形的判定与性质．
16．575【分析】由题意可得△AFB ∽△ADC 根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸【详解】解：由题意可知：△AFB ∽△ADC ∴可设BC=x 则有解之可得：BC=575（尺）故答案为575【点睛】
解析：57.5
【分析】
由题意可得△AFB ∽△ADC ，根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸．
【详解】
解：由题意可知：△AFB ∽△ADC ，∴
AB FB AC DC =， 可设BC=x ，则有
50.455x =+，解之可得：BC=57.5（尺）， 故答案为57.5．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键 ． 17．③④【分析】根据一次函数二次函数反比例函数的性质即可一一判断
【详解】解：y 随x 的增大而增大的函数有③④故答案为③④【点睛】本题主要考查一次函数二次函数反比例函数的性质解决本题的关键是熟练掌握一次函数
解析：③④
【分析】
根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质即可一一判断.
【详解】
解：y 随x 的增大而增大的函数有③④，
故答案为③④．
【点睛】
本题主要考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质，解决本题的关键是熟练掌握一次函数,二次函数,反比例函数图像性质.
18．【分析】设正方形的边长为正方形的边长为再由是的中点是的中点可知再代入反比例函数求出的值即可【详解】解：设正方形的边长为正方形的边长为是的中点是的中点反比例函数的图象分别经过的中点及的中点解得故答案为
解析：2-+
【分析】
设正方形OABC 的边长为a ，正方形ADEF 的边长为b ，再由M 是AB 的中点，N 是DE 的中点可知(,)2a M a ，(,)2b N a b ，再代入反比例函数8y x
=
求出b 的值即可． 【详解】
解：设正方形OABC 的边长为a ，正方形ADEF 的边长为b ， M 是AB 的中点，N 是DE 的中点，
(,)2a M a ，(,)2
b N a b ． 反比例函数8y x
=的图象分别经过AB 的中点M 及DE 的中点N ， ∴82a
a ，82
b a b ，解得4a =，225b ．
故答案为：2-+
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
19．-3<y<0【分析】根据反比例函数的增减性求解【详解】在反比例函数∴函数图象在第二四象限且在每个象限内y 随x 的增大而增大当x ＞1时函数图象在第四象限且当x=1时y=－3∴当x ＞1时-3<y<0；故答
解析：-3<y<0 【分析】
根据反比例函数的增减性求解．
【详解】
在反比例函数3y x
=-，30k =-<， ∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内y 随x 的增大而增大，
当x ＞1时，函数图象在第四象限且当x=1时，y=－3，
∴当x ＞1时-3<y<0；
故答案为：-3<y<0．
【点睛】
考查反比例函数的增减性，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在y=k x
（k≠0）中，当k ＞0时，在每个象限内y 随x 的增大而减小，当k ＜0时，在每个象限内y 随x 的增大而增大．
20．【分析】连接BD 与AC 交于点O 根据AC=4得出AO=OC=2再根据A 的坐标为（22）求出反比例解析式从而计算出B 点的坐标再根据距离公式算出AB 的长度从而求算周长【详解】如图连接BD 与AC 交于点O ∵A
解析：【分析】
连接BD 与AC 交于点O ，根据AC=4，得出AO=OC=2，再根据A 的坐标为（2，2）求出反比例解析式，从而计算出B 点的坐标，再根据距离公式算出AB 的长度，从而求算周长．
【详解】
如图，连接BD 与AC 交于点O
∵A 的坐标为（2，2）
∴反比例函数的解析式为4y x
=
又∵四边形ABCD 是菱形且AC=4
∴AO=OC=2 ∴B 点坐标为()4,1
∴()()22
42125-+-= ∴菱形ABCD 的周长为：5故答案为：5
【点睛】
本题考查反比例函数与菱形性质相结合，掌握菱形的对角线平分以及反比例图象上的点的特点是解题关键．
三、解答题
21．AD =4
【分析】
设AD =x ，则12CE x =
，根据平行线分线段成比例定理可得关于x 的方程，解方程即可求出答案．
【详解】 解：∵DE ∥BC ，
∴AD AE DB EC
=， 设AD =x ，则12
CE x =， ∴4122
x x =， 解得：x =4或﹣4（舍去），
即AD =4．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理和简单的一元二次方程的解法，熟练掌握上述知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）连接DE ，则DE//BC ，由相似三角形的判定方法可知△ADE ∽△ABC ；
（2）如图②，根据勾股定理和相似三角形的判定方法可知△DEF ∽△ABC ；
（3）连接DE ，BE ，DE 交AB 于点P ，则DE//BC ，根据平行线分线段成比例定理可知23
AP AD PB DC ==． 【详解】
解：（1）如图①；
（2）如图②；
（3）如图③．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的管家．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 23．74
- 【分析】
设点D 的坐标为(),y D D D x ，得12DOB D D S
x y =-，结合题意得：D D x y k =，从而推导得12
DOB S k =-；结合AB 的中点为点D ，得78AOD DOB S S ==，经计算即可完成求解． 【详解】
设点D 的坐标为(),y D D D x
∴12
DOB D D S x y =- ∵D D x y k =
∴()111222
D D DOB S DB OB y x k =⨯=⨯-=-
又∵AB 的中点为点D ∴78AOD DOB S S == ∴1728
k -= 故答案为：74
-
． 【点睛】 本题考查了反比例函数、直角坐标系、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、直角坐标系、一元一次方程、三角形中线的性质，从而完成求解．
24．（1）反比例函数8y x -=
，一次函数y=-x-2；（2）6AOB S ∆=；（3）-4＜x ＜0或x ＞2．
【分析】
（1）先根据点A 的坐标求出反比例函数的解析式，再求出B 的坐标是（2，-4），利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）求出C 点坐标，再利OC 把△AOB 的面积分成两个部分求解；
（3）当一次函数的值＜反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象得出x 的取值范围．
【详解】
解：（1）设反比例函数的解析式为k y x =
，因为经过A （-4，2）， ∴k=-8，
∴反比例函数的解析式为8y x -=
． 因为B （2，n ）在8y x -=上， ∴8
42n ，
∴B 的坐标是（2，-4）
把A （-4，2）、B （2，-4）代入y=ax+b ，得
4224
a b a b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得：12
a b =-⎧⎨=-⎩， ∴y=-x-2；
（2）y=-x-2中，当y=0时，x=-2；
∴直线y=-x-2和x 轴交点是C （-2，0），
∴OC=2
∴112422622
AOB S ∆=⨯⨯+⨯⨯=； （3）由图象可知-4＜x ＜0或x ＞2时一次函数的值＜反比例函数的值．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比例函数综合．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．
25．（1）m =－2，n=3 ；（2）x ≤﹣2或x ＞0；0＜x ＜4或x ＜﹣2； （3）点Q 的坐标为
（4，3）或（43）或（
34，3）或（4，﹣3） 【分析】
（1）把点A 、B 的坐标代入直线的解析式求解即可；
（2）满足条件y 2≥﹣6且y 2≠0时的x 的取值范围即为反比例函数2k y x
=在直线y =﹣6与x 轴之间的图象与第一象限内的图象对应的x 的范围，满足y 1﹣y 2＜0时自变量x 的取值范围即为反比例函数比直线高的图象部分对应的x 的取值范围，据此解答即可；
（3）先求出点B 的坐标，再分三种情况：①AB 、BP 为菱形的边，如图1；②AB 为菱形的对角线，如图2；③AB 为边、BP 为对角线，如图3；分别利用菱形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）把点A (4，n )和M (m , ﹣6)代入一次函数1332
y x =-， 得：34332
n =
⨯-=，3632m -=-， ∴2m =-，3n =； （2）对2k y x
=
，当y 2≥﹣6且y 2≠0时，自变量x 的取值范围为x ≤﹣2或x ＞0； 若y 1﹣y 2＜0即y 1＜y 2时自变量x 的取值范围为0＜x ＜4或x ＜﹣2； （3）对1332
y x =-，可得点B 的坐标为（2，0），
①若AB 、BP 为菱形的边，则AB ==
若点P 在点B 右侧，如图1，则
所以点Q 的坐标为（43）；
若点P 在点B 左侧，同理可得点Q 的坐标为（4，3）；
②若AB 为菱形的对角线，如图2，设点Q 坐标为（n ，3），则BQ=AQ=4－n ， 过点Q 作QF ⊥x 轴于点F ，则BF=2－n ，QF=3，
在Rt △BQF 中，根据勾股定理，得()()222324n n +-=-，解得34n =
， ∴点Q 的坐标为（34
，3）；
③若AB 为边、BP 为对角线，如图3，由菱形的性质知：点Q 、A 关于x 轴对称， ∴点Q 的坐标为（4，﹣3）；
综上，点Q 的坐标为（413，3）或（413+，3）或（
34
，3）或（4，﹣3）． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）B(5，1)，C(2，7)
【分析】
（1）由题意易得∠DCE=∠ADO，根据判定定理可得结论
（2）利用相似三角形的性质求得DE、CE可得C点坐标，从而可得B点的坐标【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠ADC=90°，
∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADO，
∴△CDE∽△ADO．
（2）解：∵△CDE∽△DAO，
∴CE
OD =
DE
OA
=
CD
AD
，
∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，∴OA=3，CD：AD=1
3
，
∴CE=1
3OD=2，DE=
1
3
OA=1，
∴OE=7，
∴C（2，7），
利用平移的性质可得B（5，1）．
．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，熟练掌握三角形相似的判定定理及性质是解决本题的关键。