自动控制原理简明教程2
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0
t
[ f 1 (t )1(t ) f 2 ( ) d ]e st dt
0 0
f 2 ( ) d f 1 (t )1(t )e st dt
0 0
令t , 则 L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
f (t ) L1[ F ( s)] t 1 e t
例3. F ( s )
1 的逆变换 2 s ( s 1) a b c 解：F ( s ) s s 1 ( s 1) 2
则a ( s 1) 2 bs( s 1) cs 1 对应项系数相等得 a 1, b 1, c 1 1 1 1 F (s) s s 1 ( s 1) 2 f (t ) 1 e t te t
1
e st dt lim
0
1 st e s
0
lim
0
2 2 1 1 s s s (1 e ) lim (1 1 ) 1 s 1! 2! 0 s
（3）例3.求指数函数f(t)= 的拉氏变 换 1 ( s a ) t 1 at st ( a s ) t F ( s) e e dt e dt e 0 0 sa sa 0 几个重要的拉氏变换
3.表示形式
a.时域：微分方程（连续系统），差分方程（离 散系统），状态方程 b.复数域：传递函数，结构图 c.频域：频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统 传递函数 拉氏微分方程 傅氏 频率特性 变换 变换
注：同一个系统，可以选用不同的数学模 型，研究时域响应时可以用传递函数， 研究频域响应时则要用频率特性。
第二章 控制系统的数学模 型
§2.1 §2.2 §2.3 引言 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型
Hale Waihona Puke §2.4§2.5控制系统的结构图及其等效变换
信号流图及梅逊公式
2.1 引言
一.数学模型
1.定义 控制系统的输入和输出之间关系的数学 表达式即为数学模型。数学模型是分析 和设计自动控制系统的基础。
L[ f (t )] e
s
F ( s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a， at 原函数应乘以 e 即：
L[e f (t )] F (s a)
at
(7)时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍， 则象函数及其自变量都增加（或减小）同 t 样倍数。即： L[ f ( a )] aF (as) 证： L[ f ( t )] f ( t )e st dt
f(t) δ (t) 1(t) t F(s) 1 1/s f(t) sinwt coswt
2
e
at
F(s)
w (s 2 w2 )
s
(s 2 w2 )
1s
e sin wt
e at cos wt
at
e
at
1/(s+a)
w ( s a) 2 w 2 sa ( s a) 2 w 2
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0) s F (s) sf (0) f (0)
2.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
1
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这 些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。
例1： F ( s)
1 1 1 1 ( ) ( s a )( s b) b a s a s b
e at e bt 则f (t ) ba 1 例2：求 F ( s ) 2 的逆变换。 s ( s 1) 1 1 1 1 解： F ( s) 2 2 s ( s 1) s s s 1
A A F ( s) Ae dt e 1 s s 单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。 (2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
st st 0 0
F ( s) (t )e st dt lim
0
0 0
4.建立方法
机理分析法
依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导 来得到数学模型的方法 。
实验辨识法
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当 的数学模型去逼近系统的输入输出特性。这种方法也称为 系统辨识。 本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流图。
二.拉氏变换
1.常用函数的拉氏变换 (1)例1.求阶跃函数f(t)=A· 1(t)的拉氏变换。
cn c1 c2 F ( s) s p1 s p2 s pn
式中pi (i 1,2,, n)是D( s) 0的根, ci是常数 M ( s) ci [ ( s pi )]s pi D( s ) 1 例1 : F ( s ) ( s 1)(s 2)(s 3) c3 c1 c2 s 1 s 2 s 3
2
F ( s) f (0) L[ f (t )dt] s s
1
1 1 ( 1) 1 ( 2 ) L[ f (t )dt ] 2 F ( s ) 2 f (0) f (0) s s s
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 1 n 则有 L[ f (t )dt ] n F ( s)
lim f ( t ) 注：若 t 时f(t)极限 不存 t 在，则不能用终值定理。如对正弦函数和 余弦函数就不能应用终值定理。 (5)初值定理：lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
证明方法同上。只是要将 s 取极限。 (6)位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 s 迟 ，则其象函数应乘以 e
1 C j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实 部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉 氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是 一种能直接查到的原函数的形式。
2
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f n1 (0)
(3)积分性质
若 L[ f (t )] F ( s )
1
F ( s) f (0) L[ f (t )dt] s s 1 式中 f (0) 为积分 f (t )dt 当t=0时的值。 h h ( t ) f ( t ) dt 证：设 则有 (t ) f (t )
则
由上述微分定理，有
L[h(t )] sL[h(t )] h(0)
1 1 1 1 L[h(t )] L[h(t )] h(0) L[ f (t )] h(0) s s s s 1 1 1 F ( s ) f ( 0) s s
即：
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为
st 0
等式两边对s趋向于0取极限
st 左边 lim f ( t ) e dt lim f ( t ) e dt s 0 s 0 0
f (t ) dt f (t ) 0 lim f (t ) f (0) t
0
右边 lim [ sF ( s ) f (0)] lim sF ( s ) f (0) s 0 s 0 lim f (t ) lim sF ( s ) t s 0
2.为什么要建立数学模型？
我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统 的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上 对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先 要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。
另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统， 其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我 们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即 可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任 何系统，因此需建立控制系统的数学模型。比如机械平移系 统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的 数学模型。
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 t 1 2 t 1 3t f (t ) e e e 6 15 10
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
st 0 0 0
t
t
t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0 t
L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
a
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e sa ad aF (as)
0
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) F ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
0 t
f 2 ( ) d f 1 ( )e
0 0
s ( )
d d F2 ( s ) F1 ( s )
f 2 ( )e
0
s
d f 1 ( )e
0
s
即得证。
三.拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算 1 称为拉氏反变换。记为 L [ F ( s )] 由F(s)可按下式求出
s
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 n 函数除以 s 。
（4）终值定理
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s 0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 证：由微分定理，有 st
0
L[ f (t )] f (t )e dt sF ( s) f (0)
t
[ f 1 (t )1(t ) f 2 ( ) d ]e st dt
0 0
f 2 ( ) d f 1 (t )1(t )e st dt
0 0
令t , 则 L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
f (t ) L1[ F ( s)] t 1 e t
例3. F ( s )
1 的逆变换 2 s ( s 1) a b c 解：F ( s ) s s 1 ( s 1) 2
则a ( s 1) 2 bs( s 1) cs 1 对应项系数相等得 a 1, b 1, c 1 1 1 1 F (s) s s 1 ( s 1) 2 f (t ) 1 e t te t
1
e st dt lim
0
1 st e s
0
lim
0
2 2 1 1 s s s (1 e ) lim (1 1 ) 1 s 1! 2! 0 s
（3）例3.求指数函数f(t)= 的拉氏变 换 1 ( s a ) t 1 at st ( a s ) t F ( s) e e dt e dt e 0 0 sa sa 0 几个重要的拉氏变换
3.表示形式
a.时域：微分方程（连续系统），差分方程（离 散系统），状态方程 b.复数域：传递函数，结构图 c.频域：频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统 传递函数 拉氏微分方程 傅氏 频率特性 变换 变换
注：同一个系统，可以选用不同的数学模 型，研究时域响应时可以用传递函数， 研究频域响应时则要用频率特性。
第二章 控制系统的数学模 型
§2.1 §2.2 §2.3 引言 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型
Hale Waihona Puke §2.4§2.5控制系统的结构图及其等效变换
信号流图及梅逊公式
2.1 引言
一.数学模型
1.定义 控制系统的输入和输出之间关系的数学 表达式即为数学模型。数学模型是分析 和设计自动控制系统的基础。
L[ f (t )] e
s
F ( s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a， at 原函数应乘以 e 即：
L[e f (t )] F (s a)
at
(7)时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍， 则象函数及其自变量都增加（或减小）同 t 样倍数。即： L[ f ( a )] aF (as) 证： L[ f ( t )] f ( t )e st dt
f(t) δ (t) 1(t) t F(s) 1 1/s f(t) sinwt coswt
2
e
at
F(s)
w (s 2 w2 )
s
(s 2 w2 )
1s
e sin wt
e at cos wt
at
e
at
1/(s+a)
w ( s a) 2 w 2 sa ( s a) 2 w 2
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0) s F (s) sf (0) f (0)
2.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
1
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这 些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。
例1： F ( s)
1 1 1 1 ( ) ( s a )( s b) b a s a s b
e at e bt 则f (t ) ba 1 例2：求 F ( s ) 2 的逆变换。 s ( s 1) 1 1 1 1 解： F ( s) 2 2 s ( s 1) s s s 1
A A F ( s) Ae dt e 1 s s 单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。 (2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
st st 0 0
F ( s) (t )e st dt lim
0
0 0
4.建立方法
机理分析法
依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导 来得到数学模型的方法 。
实验辨识法
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当 的数学模型去逼近系统的输入输出特性。这种方法也称为 系统辨识。 本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流图。
二.拉氏变换
1.常用函数的拉氏变换 (1)例1.求阶跃函数f(t)=A· 1(t)的拉氏变换。
cn c1 c2 F ( s) s p1 s p2 s pn
式中pi (i 1,2,, n)是D( s) 0的根, ci是常数 M ( s) ci [ ( s pi )]s pi D( s ) 1 例1 : F ( s ) ( s 1)(s 2)(s 3) c3 c1 c2 s 1 s 2 s 3
2
F ( s) f (0) L[ f (t )dt] s s
1
1 1 ( 1) 1 ( 2 ) L[ f (t )dt ] 2 F ( s ) 2 f (0) f (0) s s s
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 1 n 则有 L[ f (t )dt ] n F ( s)
lim f ( t ) 注：若 t 时f(t)极限 不存 t 在，则不能用终值定理。如对正弦函数和 余弦函数就不能应用终值定理。 (5)初值定理：lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
证明方法同上。只是要将 s 取极限。 (6)位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 s 迟 ，则其象函数应乘以 e
1 C j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实 部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉 氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是 一种能直接查到的原函数的形式。
2
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f n1 (0)
(3)积分性质
若 L[ f (t )] F ( s )
1
F ( s) f (0) L[ f (t )dt] s s 1 式中 f (0) 为积分 f (t )dt 当t=0时的值。 h h ( t ) f ( t ) dt 证：设 则有 (t ) f (t )
则
由上述微分定理，有
L[h(t )] sL[h(t )] h(0)
1 1 1 1 L[h(t )] L[h(t )] h(0) L[ f (t )] h(0) s s s s 1 1 1 F ( s ) f ( 0) s s
即：
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为
st 0
等式两边对s趋向于0取极限
st 左边 lim f ( t ) e dt lim f ( t ) e dt s 0 s 0 0
f (t ) dt f (t ) 0 lim f (t ) f (0) t
0
右边 lim [ sF ( s ) f (0)] lim sF ( s ) f (0) s 0 s 0 lim f (t ) lim sF ( s ) t s 0
2.为什么要建立数学模型？
我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统 的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上 对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先 要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。
另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统， 其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我 们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即 可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任 何系统，因此需建立控制系统的数学模型。比如机械平移系 统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的 数学模型。
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 t 1 2 t 1 3t f (t ) e e e 6 15 10
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
st 0 0 0
t
t
t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0 t
L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
a
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e sa ad aF (as)
0
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) F ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
0 t
f 2 ( ) d f 1 ( )e
0 0
s ( )
d d F2 ( s ) F1 ( s )
f 2 ( )e
0
s
d f 1 ( )e
0
s
即得证。
三.拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算 1 称为拉氏反变换。记为 L [ F ( s )] 由F(s)可按下式求出
s
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 n 函数除以 s 。
（4）终值定理
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s 0
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 证：由微分定理，有 st
0
L[ f (t )] f (t )e dt sF ( s) f (0)