2015年北师大版平行线分线段成比例定理讲义及习题练习

平行线分线段成比例定理讲义与习题练习

问题：一组等距离的平行线截直线a 所得的线段相等吗？，那么在直线b 上所截的线段有什么关系呢？

总结：一组等距离的平行线在直线a 所截得的线段相等，那么在直线b 上所截得的线段也相等. 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。 ∵直线a // b // c ，AB = BC ∴A'B' = B'C'。

平行线分线段成比例定理：

1.三条平行直线L 1//L 2//L 3截直线AE 上的线段AC 、CE 长度之间（除相等外）存在着什么关系呢？同样截直线BF 上的线段BD 、DF 长度之间存在着什么关系呢？ 板书：由L 1//L 2//L 3可得：

32=CE AC ；32=DF BD 所以：3

2

==DF BD CE AC

2.平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

观察上图我们容易发现下面结论成立. 1．应用定理，等分线段

（1）已知线段AB ，你能它三等分吗？依据是什么？ 已知：线段AB （如图7）。 如图7

求作：线段AB 的三等分点。

选择题:(1)如右图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中错误 的是：（ ）

A ．

DF BD CE AC = B.BF BD

AE AC = C. BF DF AE CE = D.AC

BD

BF AE = (2)如右图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中成立 的是：（ ）

A B L 1

C D L 2

E F L 3 A B L 1

C D L 2

A B L 1

C D L 2

E F L 3

A B L 1

C D L 2

E F L 3

c

b a C

B A A'B'C'

A

B

A ．

BC CE DF AD = B.AF BC

BE AD =

C. BC AD DF CE =

D.CE

BE

DF AF =

根据学生的回答情况对定理内容最进行一 次总结，重点是对应两字.

例题：如图，已知L 1//L 2//L 3, 证明：DF

AC

EF BC DE AB =

=.

2．已知：如图13，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点， AE 的延长线交AC 于F 。 求证：FC = 2AF 。

推论：观察下图形后填空：

在图3和图4中，都有

=BC

AB

( ) 推论： 于三角形一边的直线截其他两边(或 )，所得的 线段成比例．

几何语言：∵BE ∥CF （或AD ∥CF ）

∴EF

AE

BC AB =…… A D L 1

E B L 2

L 3 F C

A B

C

D

E

F l 3l 4

l 5

l 1l 2l 3l 4

l 5

l 1l 2

l 3l 4

l 5

l 1

l 2F

D

C

B

A F

E

D

C B A F

E C

B

A

F

E

D C

B

A F E

D

C B

A

令A 、D 两点重合

令B 、E 两点重合

将有关 线擦掉

将有关 线擦掉

（BE ∥CF ，BE 截AC 、AF 两边）

（AD ∥CF ，AD 截CB 、FB 两边的延长线）

图3

图4

D

B

A

E

B

A

l 1l 2l

3

F

E D

C

B A F

D

C

B

A

例．已知：如图，AD ∥CF ，AB =3，BC =5，DB =4.5，求BF .

2．已知：如图，3//2//1l l l ，AB =a ，BC =b ，DF =c ，求EF .

推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。

平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段的比相等(或成比例)，那么这条直线平行于三角形的第三边

【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

例2如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且

E

D

C

B

A

1

4

AE AB =

， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则

BC

CD

=_______. 例3如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，

AD 与CE 相交于F ，则

EF AF

FC FD

+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.3

2

D.2

如图：AD 为△ABC 的中线，E 为AC 边上的一个三等分点,BE 和AD 交于F ，则AF/FD=____.

练习：1如图，已知直线a∥b∥c，直线m 、n 与直线a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC=4，CE=6，BD=3，

则BF=____.

2已知，线段a ，b 、c ，求作：线段a ，b 、c 的第四比例项d 。

3如图，平行四边形ABCD 中，BC 与AD 的中点分别为E,F,且BF,DE 与对角线AC 交于点H,G.求证：AH=HG=GC.

作业：1．判断题

（1）三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ）

（2）一条直线交△ABC 的边AB 于点D ，交AC 边于点E ，如果

AB ＝9，BD ＝5，AC ＝3.5，AE ＝2，那么DE ∥BC ．（ ）

（3）如图1，321////l l l ，则

BF

AE

DF

CE

BD AC ==（ ） （4）如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，则

BC

DE

EC AE DB

AD

==（ ）

2．选择题

（1）如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列 不能成立的比例式一定是（ ） A ．

EC

AE

DB AD = B ．

AE

AC

AD AB = C ．

DB EC

AB AC = D ．

BC

DE

DB AD =

(1)

M

E

D

C B

A

(2)

F

E

D C

B

A

图1

图2