2015年北师大版平行线分线段成比例定理讲义及习题练习
平行线分线段成比例定理的运用
O
∵AD∥BE.
B
A D E
•
• 即OB2=OA· OC.
C
•
∴OB是OA和OC的比例中项.
三、平行线分线段成比例定理的主要知识点：
• 1 平行线分线段成比例定理：
•
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
Q l1 // l 2 // l3 ,
A
AD AE \ = , LL EC
A D
• 2 三角形一边的平行线的判定定理：
E
•
n
B m
A 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延 A l2 l2 D E 长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线 l3 l3 B C B . C C 平行于三角形的第三边
B A O D N
C
• 证明：∵AD∥BC, MN∥AD.
• •
∴ MN∥BC.
MO AO \ = . BC AC
NO DO \ = . BC DB
在△ABC中， ∵MO∥BC. 在△DBC中， ∵ON∥BC.
AO DO 又Q = . AC DB
MO NO \ = . BC BC
•
即MO=ON.
例4. 已知：如图△ABC中，D、E分别是AB、AC上两点， DE、BC的延长线相交于F. AD=CF. A 求证：
m n
l1
E
D
l1
若 DE // BC,则
AD DE AE = = . AB BC AC
1 平行线分线段成比例定理： 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延 长线），所得的对应线段成比例.
北师大版九上数学4.2平行线分线段成比例知识点精讲
平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。
推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。
1简介编辑平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线段，称其为平行线等分线段。
[1]图12定理证明编辑设三条平行线与直线 m 交于 A、B、C 三点，与直线 n 交于 D、E、F 三点。
连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得 S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF，∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。
由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。
3定理推论编辑过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
01平行线分线段成比例的基本事实1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.符号表示：如图02平行线分线段成比例的基本事实的推论1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
2.符号表示：如图【知识梳理】1. 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
(完整版)平行线分线段成比例经典例题与变式练习(含标准答案)
平行线分线段成比例知识梳理1. 平行线分线段成比例定理2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果 AD AE DE3. 平行的判定定理：如上图，如果有 A A D B A A C E B D C E ，那么DE ∥ BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图， DE ∥ BC ，且 DB AE ,若AB 5，AC 10，求 AE 的长。
如下图，如果 l 1∥ l 2∥ l 3，则BC ACAB DEAC DFABDE AC 1 2DFEFDFDE ∥ BC ，则A A DB A A EC BD C E例2】如图，已知 AB / /EF //CD ，若 AB a ，CD b ，EF c ，求证：1 1ca【巩固】如图， AB BD ，CD BD ，垂足分别为 B 、 D ，AC 和 BD 相交于点 E ，EFBD ，垂足为 F .证明： A 1B C 1D E 1F .【例3】如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥CD ， AB 12，CD 9 ，过对角线交点 O 作EF ∥ CD 交AD ，BC 于E ，F ，求 EF 的长。
AE巩固】如图，找出 S ABDS BEDS BCD 之间的关系，并证明你的结论1 b【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， AD a ，BC b ，E ，F 分别 是AD ，BC 的中点， AF 交 BE 于 P ， CE 交 DF 于 Q ，求 PQ 的长。
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】（ 2007 年北师大附中期末试卷）1（1）如图（ 1），在 ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 AE 1AB ，4的值为（ ）5A. B.1 C.2 【例5】（ 2001 年河北省中考试卷）如图，在 AC 边上的任意一点， BE 交 AD 于点O . （1）当 AE 1时，求 AO的值；AC 2 AD3 / 14连接 EM 并延长， 交 BC 的延长线于 D ，则 BCCD2）如图（ 2），已知 ABC 中， AE : EB 1:3 ， B D :DC 2:1 ， AD 与CE 相交于 F ，则 EF FC AFFDD.2A2）当AE 1、1时，求AO的值；AC 3 4 AD3）试猜想AE 1时AO的值，并证明你的猜想AC n 1 AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：AF 1；FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，AF 1 AE成立，若E是AD上任意一点（E与A、D FC 2 ED 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE AC ，延长BE 交AC 于 F 。
专题11平行线分线段成比例(2个知识点2种题型1种中考考法)(原卷版)-九年级数学上册学练(北师大)
专题11平行线分线段成比例（2个知识点2种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.平行线分线段成比例的基本事实（重点）知识点2.平行线分线段成比例的推论（重点）【方法二】实例探索法题型1.运用平行线分线段成比例及推论求值题型2.利用平行线分线段成比例的推论进行证明【方法三】仿真实战法考法.平行线分线段成比例【方法四】成果评定法【学习目标】1.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论。
2.能熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论解决相关问题。
【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.平行线分线段成比例的基本事实（重点）平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的线段对应成比例。
数学表达式：如图：,,.a b c AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AB DE∴=== ，简单记为：.===上上上上下下，，下下全全上上平行线分线段成比例速记口诀！！！平行线分线段，成比例是关键。
先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。
【例1】如图，已知直线l 1、l 2、l 3分别截直线l 4于点A 、B 、C ，截直线l 5于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3．（1）如果AB ＝4，BC ＝8，EF ＝12，求DE 的长．（2）如果DE ：EF ＝2：3，AB ＝6，求AC的长．【变式】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G ，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A.12 B.2 C.25 D.35知识点2.平行线分线段成比例的推论（重点）平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的对应线段成比例。
数学表达式：如上图1,,.DE BC AD AE AD AE DB EC AB AC DB EC AB AC∴=== ，【例2】如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE BC ∥，23AE EC =∶∶，DE BC =∶．【变式】如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，且DE ∥BC ，AD ＝3，AB ＝4，AC ＝6，求EC ．【例3】如图，12//l l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，求:AE EC的值．【变式】如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =．A DC B EF【方法二】实例探索法题型1.运用平行线分线段成比例及推论求值1.如图，ABC ∆中，//DE BC ，3AE =，4DE =，2DF =，5CF =，求EC 的长．AB CD EF2.如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 被l 1、l 2、l 3所截．若AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，EF ＝4cm ．（1）求DE 、DF 的长；（2）如果AD ＝40cm ，CF ＝80cm ，求BE的长．题型2.利用平行线分线段成比例的推论进行证明3.如图，DE ∥BC ，EF ∥CG ，AD ：AB ＝1：3，AE ＝3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG＝AF•AB．4.如图，P为ABCDY对角线BD上任意一点．求证：PQ PI PR PS⋅=⋅．5.如图，ABCDY中，过D的直线交AC，AB及CB的延长线于E，F，G．求证：2=⋅．DE EF EG6.如图：△ABC中，MD AB，MN AE．求证：CDCB＝CN CE．7.在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP．8.如图，在ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，点H为AD中点，延长BH交AC边于点E，求证：AE BD CE BC=．9.如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，BAC ∠的平分线交BD 于G ，交BC 于F ，求证：12OG CF =．【方法三】仿真实战法考法.平行线分线段成比例1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD ＝3，则的值是（）A．B．C．D．2．（2022•临沂）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（）A．B．C．D．3．（2021•阿坝州）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（）A．4B．6C．7D．124．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．5．（2021•郴州）如图是一架梯子的示意图，其中AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，且AB ＝BC ＝CD ．为使其更稳固，在A ，D 1间加绑一条安全绳（线段AD 1）量得AE ＝0.4m ，则AD 1＝m ．6．（2022•襄阳）如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，△ABC 的角平分线AE 交BD 于点F ，若BF ：FD ＝3：1，AB +BE ＝3，则△ABC 的周长为．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，D 在AC 边上，:1:2AD DC ==，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于点E ，若1BE =，则EC 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．42．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BE 上的点，若:1:3BF FD =，12AD =，则EC 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．93．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考开学考试）如图，在ABC 中，DE AB ∥，且23CD BD =，则CE CA 的值为（）A ．25B ．23C ．45D ．324．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，DE BC ∥交AC 边于点E ，若:2:3AD BD =，10AC =，则线段CE 的长为（）A ．6B ．5C ．4D ．35．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，DE BC ∥，DF AC ∥，则下列比例式中正确的是（）A ．BD DF AD AC =B ．BF AE FC EC =C ．BF DF FC AC =D ．BF CE FC AE=6．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在ABC 中，D 、E 分别为AB AC 、边的中点，连接DE ，点F 为BC 边上一点，2BF FC =，连接AF 交DE 于点N ，则下列结论中错误的是（）A ．12AN AF =B ．23DN DE =C ．12AD AC =D ．12NE FC =7．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB CD EF ∥∥，:1:2BD DF =，那么下列结论中，正确的是（）A ．:1:3AC AE =B ．:1:3CE EA =C ．:1:2CD EF =D ．:1:2AB EF =8．（2023秋·河南许昌·九年级统考期末）已知123l l l ∥∥，35AB BC =，9DE =，则DF =（）A ．12B ．18C ．24D ．269．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，直线PQ 是矩形ABCD 的一条对称轴，点E 在AB 边上，将ADE V 沿DE 折叠，点A 恰好落在CE 与PQ 的交点F 处，若43DEC S =△，则AD 的长为（）A ．4B ．2C ．43D ．2310．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =．点F 是AB 中点，连接CF ，把线段CF 沿射线BC 方向平移到DE ，点D 在AC 上．则线段CF 在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE 的周长和面积分别是()A ．16，6B ．18，18C ．16.12D ．12，16二、填空题11．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，AB CD EF ∥∥，如果2AD =，1DF =，5BE =，那么CE =．12．（2023秋·山西大同·九年级统考期末）如图，在ABC 中，10,8,AB AC BC D ===是BC 的中点，G 是AD 的中点，则AE 的长为．13．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM AB ∥交AD 于点M ，若3OM =，4OB =，则BC 的长为．14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，且13DC BC =，DE AC ∥，交AB 于点E ．若3DE =，则BE 的长是．15．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）如图，AB CD ，AC 、BD 相交于点E ，1AE =，2EC =，3DE =，则BD 的长．16．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC 中，CG 平分ACB ∠，过点A 作AH CG ⊥交BC 于点H ，且H 是BC 的中点．若4AH =，6CG =，则AB 的长为．17．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D E ，分别在边AB AC ，上，且23DB AD AE EC ==，，连接BE CD ，，相交于点O ，则ABO 面积最大值为．18．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，连接AE BE AC 、、，AE BE =，BE 交AC 于点F ，若2180CFE ACB ∠+∠=︒，3EF =，则BC 边长为．三、解答题19．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，P 为ABCD Y 对角线BD 上任意一点．求证：PQ PI PR PS ⋅=⋅．20．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，E 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，13AE EC =，BE 的延长线交CD 的延长线于点G ，交AD 于点F ，求:BF FG 的值．21．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）如图，已知直线1l 、2l 、3l 分别截直线4l 于点A 、B 、C ，截直线5l 于点D 、E 、F ，且123l l l ∥∥．如果:2:3DE EF =，6AB =，求AC 的长．22．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，75BAD ∠=︒，30CAD ∠=︒，2AD =，2BD DC =，求AC 的长．23．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，BE AD ⊥于点,E CF AD ⊥于点F ．(1)求证：BE CF =．(2)若90,2BAC AD DE ︒∠==，求BAE ∠的度数．24．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于点P ，DN CP ∥．若6cm AB =，求PN 的长．25．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在ABC 中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ AB ∥，当PQC △的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．26．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别在CB ，AC 的延长线上，且BD CE =，EB 的延长线交AD 于点F ．(1)求AFE ∠的度数；(2)延长EF 至点G ，使FG AF =，连接CG 交AD 于点H ，依题意补全图形，猜想线段CH 与GH 的数量关系，并证明．。
初二数学平行线分线段成比例定理讲义及练习
平行线分线段成比例定理一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）:平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EFBC=, 可以说成“上比下等于上比下"DEAB=, 可以说成“上比全等于上比全"又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG极 EG=3X , DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD10例3求证分析 BC//FE 证明:∵则例4 分别连结E ，DB 分析:首先观察证明：∵点评 （1（3 例5 求证分析 例6 分析在△②—①得-AB AD BF BC 例7 如图11,AD BF ⊥AD 的延长线于交BC 的延长线于M 求证：AE=EM分析 要证AE=EM,可延长BF 交AC 证明：延长BF 交AC ∴△ABF ≌△ANF8． 图,GB AF l l 52,//21=,BC=4CD ， 91011AE 1213① 求证ME=NF② 当EF 向上平移 图（2)各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。
［练习与测试参考解答或提示]1．215;2．18cm ； 3．52,35； 4．9:4; 5．9； 6．10,18； 7．9：1； 8．2； 9．6 10．提示,过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH AEGD AG =，DHEC BD BC =，又AE=EC ，BD=AB,即可得结论。
北师大版九年级数学上册(练习)4.2 平行线分线段成比例
4.2 平行线分线段成比例基础题知识点1 平行线分线段成比例定理1．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，AB ＝4，BC ＝6，DE ＝3，则EF 为( )A ．2B ．4.5C ．6D ．82．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，如果AB ∶BC ＝2∶3，DE ＝4，那么EF 的长是( )A.103 B ．6 C ．4D ．253．(乐山中考)如图，l 1∥l 2∥l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、F.已知AB BC ＝32，则DEDF 的值为( )A.32 B.23 C.25D.354．如图，AB ∥CD ∥EF ，AD ＝4，BC ＝DF ＝3，则BE 的长为________．5．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，DE ＝2，EF ＝4，求AC 的长．6．(成都中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC ，则下列不成立的比例式是( )A.AD DB ＝AE CEB.AD DB ＝DE BCC.AD AB ＝AE ACD.AB DB ＝AC CE8．已知线段a 、b 、c ，求作线段x 使ax ＝bc ，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是( )9．如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE ＝2，CE ＝3，要使DE ∥AB ，那么BC ∶CD 应等于________．10．如图，已知EG ∥BC ，GF ∥DC ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．中档题11．(嘉兴中考)如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点H ，且AH ＝2，HB ＝1，BC ＝5，则DEEF的值为( )A.12B ．2C.25D.3512．(包头中考)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB.若AD ＝2BD ，则CFBF的值为( )A.12B.13C.14D.2313．(扬州中考)如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横格线上，若线段AB ＝4 cm ，则线段BC ＝________cm.14．如图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝EF ＝FC ，BE 交AD 于点G ，则AGAD＝________．15．如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，如果AB ＝6，BC ＝8，DF ＝21，求DE 的长．16．如图，F 是ABCD 的边CD 上一点，连接BF 并延长交AD 的延长线于点E.求证：DE AE ＝DFDC.17．如图，在△ABC 中，DF ∥AC ，DE ∥BC.求证：AE·CB ＝AC·CF.综合题18．如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB ＝AB ，DE 与AB 相交于点F ，AD ＝2，CD ＝1，求AE 及DF 的长．4．2 平行线分线段成比例基础题1．B 2.B 3.D 4.214 5.∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ，即3BC ＝24.∴BC ＝6.∴AC ＝AB ＋BC ＝3＋6＝9. 6.B 7.B 8.A9.53 10.∵EG ∥BC ，∴AE EB ＝AG GC .又∵GF ∥DC ，∴AG GC ＝AF FD .∴AE EB ＝AF FD ，即32＝6FD .∴FD ＝4.∴AD ＝AF ＋FD ＝10. 中档题11．D 12.A 13.12 14.12 15.设DE 为x ，则EF ＝21－x.∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF ，即68＝x 21－x .解得x ＝9.经检验，x ＝9是原分式方程的解，∴DE ＝9. 16.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，AD ∥BC.∴DEAE ＝EF EB .同理可得EF EB ＝DF DC .∴DE AE ＝DF DC . 17.证明：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC .∵DF ∥AC ，∴AD AB ＝CF CB .∴AE AC ＝CF CB.∴AE ·CB ＝AC·CF. 综合题18．∵四边形ABCD 是矩形，且AD ＝2，CD ＝1，∴BC ＝AD ＝2，AB ＝CD ＝1，∠ABC ＝∠C ＝90°，AB ∥DC.∴EB ＝AB ＝1.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2＋BE 2＝ 2.在Rt △DCE 中，DE ＝DC 2＋CE 2＝12＋32＝10.∵AB ∥DC ，∴EF DF ＝EB BC ＝12.设EF ＝x ，则DF ＝2x.∵EF ＋DF ＝DE ，∴x ＋2x ＝10.∴x ＝103.∴DF ＝2x ＝2310.。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果h // I2 // I3，则BCACABDEACDF2.平行线分线段成比例定理的推论:3.平行的判定定理:AB DEAC12DF，EFDF如图，在三角形中，如果ADDE // BC，贝U --ABAEACDEBC 如上图，如果有ADABAEACDEBC，那么DE // BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE // BC，且DB AE,若AB 5, AC 10，求AE的长。
【例2】如图，已知AB//EF//CD，若AB a , CD b , EF c ,求证：111. cab 【巩固】如图，AB BD，CD BD，垂足分别为B、D，AC和【巩固】如图，找出S ABD、S BED、S BCD之间的关系，并证明你的结论BD相交于点E，EF BD，垂足为F .证明:1 1AB CD1EFA连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ， 则CC （2）如图（2），已知 ABC 中，AE:EB 1:3，BD :DC 2:1，AD 与CE 相交于F ，则EF FCAF FD的值为（）A.|B.1C.【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB // CD , AB 12 , CD 9，过对角线交点0作EF // CD 交 AD , BC 于 E , F ，求 EF 的长。
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，AD a ，BC b ，E ，F 分别 是AD ，BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】（2007年北师大附中期末试题）1（1）如图（1），在 ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AE - AB ，43 2D.2A(1)当AE-时，求AO的值；AC2AD(2)当AE 1 1 口」、—求A0的值；AC 3 4AD(3)试猜想AE 1AC n 1时A0的值，并证明你的猜想AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F 是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：圧 -；FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，圧-成立，若E是AD上任意一点（E与A、DFC 2 ED不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE AC，延长BE交AC于F。
北师大版九年级数学《平行线分线段成比例》同步练习2(含答案)
4.2平行线分线段成比例一. 填空题1. 如图，梯形ABCD ，AD//BC ，延长两腰交于点E ，若AD BC AB ===264，，，则ED EC DE DC ==，2. 如图，∆ABC 中，EF//BC ，AD 交EF 于G ，已知EG GF BD ===235，，，则DC =3. 如图，梯形ABCD 中，DC AB DC AB //.，，==235，且MN//PQ//AB ，DM MP PA ==，则MN ＝________，PQ ＝________4. 如图，菱形ADEF ，AB AC BC ===756，，，则BE ＝________5. 如图，EA FC EB FD ////，，则AB 与CD 的位置关系是________6. 如图，D 是BC 的中点，M 是AD 的中点，BM 的延长线交AC 于N ，则AN ：NC ＝________。
二. 选择题1. 如图，H 为平行四边形ABCD 中AD 边上一点，且AH DH =12，AC 和BH 交于点K ，则AK ：KC 等于（ ）A. 1：2B. 1：1C. 1：3D. 2：3 A H DKB C2. 如图，∆ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 上，下列条件中，能判定DE//BC 的是（ ）A. AD AC AE AB ⋅=⋅B. AD AE EC DB ⋅=⋅C. AD AB AE AC ⋅=⋅D. BD AC AE AB ⋅=⋅ AB C D E3. 如图，∆ABC 中，DE//BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE 、BC 交于N 、M，则下列式子中错误的是（）A. DNBMADAB=B.ADABDEBC= C.DOOCDEBC= D.AEECAOOM= ANOB M CD E4. 如图，l l l l1234////，与l5交于点P，PA a AB b BC c===，，，PD d=，DE e=，EF f=，则bf=（）A. abB. bdC. aeD. ce5. 如图，∆ABC中，ADDBAEEC==12，则OE OB:=（）A.12B.13C.14D.15AD EOB C三. 计算题1. 如图，已知菱形BEDF内接于∆ABC，点E、D、F分别在AB、AC和BC 上，若AB BC==1512，，求菱形边长。
北师大版九年级数学上册平行线分线段成比例.
图2（2）
推论
①
上 下
上 =下
②
上 全
上 =全
下
下
③全 = 全
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两 边的延长线)相交，截得的对应线段成比例.
l D B
l
A
l1DE∥ B C
E
∴l2(1).
AD DB
AE EC
(2). AD AE
C AB AC
l3
(3).
么FC的长是多少？
练习：如图所示，如果D，E，F分别在OA，
OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC． 求证：OD OE .
OA OB
证明：∵ DF∥AC，
OD OF . OA OC
∵ EF∥BC
OF OE ， OC OB
OD OE . OA OB
课堂小结
1、平行线分线段成比例定理：
1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ， AB=3，EC=1.求AD和BD.
解∵AC=4，EC=1，∴AE=3. ∵ DE∥BC， ∴ AD AE .
AB AC
∴AD=2.25BC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,
BC=8.求BF和CF的长.
(3). BC EF AC AF
思考
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点B刚 落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的 比会相等吗？依据是什么？
l1
A
B
l2
D l3
E
l4
C
F
l5
图1
D
A
B(E)
C
F
∵ l1∥l2∥l3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行线分线段成比例定理讲义与习题练习问题：一组等距离的平行线截直线a 所得的线段相等吗？，那么在直线b 上所截的线段有什么关系呢？总结：一组等距离的平行线在直线a 所截得的线段相等，那么在直线b 上所截得的线段也相等. 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
∵直线a // b // c ，AB = BC ∴A'B' = B'C'。
平行线分线段成比例定理：1.三条平行直线L 1//L 2//L 3截直线AE 上的线段AC 、CE 长度之间（除相等外）存在着什么关系呢？同样截直线BF 上的线段BD 、DF 长度之间存在着什么关系呢？ 板书：由L 1//L 2//L 3可得：32=CE AC ；32=DF BD 所以：32==DF BD CE AC2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
观察上图我们容易发现下面结论成立. 1．应用定理，等分线段（1）已知线段AB ，你能它三等分吗？依据是什么？ 已知：线段AB （如图7）。
如图7求作：线段AB 的三等分点。
选择题:(1)如右图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中错误 的是：（ ）A ．DF BD CE AC = B.BF BDAE AC = C. BF DF AE CE = D.ACBDBF AE = (2)如右图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中成立 的是：（ ）A B L 1C D L 2E F L 3 A B L 1C D L 2A B L 1C D L 2E F L 3A B L 1C D L 2E F L 3cb a CB A A'B'C'ABA ．BC CE DF AD = B.AF BCBE AD =C. BC AD DF CE =D.CEBEDF AF =根据学生的回答情况对定理内容最进行一 次总结，重点是对应两字.例题：如图，已知L 1//L 2//L 3, 证明：DFACEF BC DE AB ==.2．已知：如图13，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点， AE 的延长线交AC 于F 。
求证：FC = 2AF 。
推论：观察下图形后填空：在图3和图4中，都有=BCAB( ) 推论： 于三角形一边的直线截其他两边(或 )，所得的 线段成比例．几何语言：∵BE ∥CF （或AD ∥CF ）∴EFAEBC AB =…… A D L 1E B L 2L 3 F CA BCDEF l 3l 4l 5l 1l 2l 3l 4l 5l 1l 2l 3l 4l 5l 1l 2FDCBA FEDC B A FE CBAFED CBA F EDC BA令A 、D 两点重合令B 、E 两点重合将有关 线擦掉将有关 线擦掉（BE ∥CF ，BE 截AC 、AF 两边）（AD ∥CF ，AD 截CB 、FB 两边的延长线）图3图4DBAEBAl 1l 2l3FE DCB A FDCBA例．已知：如图，AD ∥CF ，AB =3，BC =5，DB =4.5，求BF .2．已知：如图，3//2//1l l l ，AB =a ，BC =b ，DF =c ，求EF .推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段的比相等(或成比例)，那么这条直线平行于三角形的第三边【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
例2如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且EDCBA14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. 例3如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.32D.2如图：AD 为△ABC 的中线，E 为AC 边上的一个三等分点,BE 和AD 交于F ，则AF/FD=____.练习：1如图，已知直线a∥b∥c，直线m 、n 与直线a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=____.2已知，线段a ，b 、c ，求作：线段a ，b 、c 的第四比例项d 。
3如图，平行四边形ABCD 中，BC 与AD 的中点分别为E,F,且BF,DE 与对角线AC 交于点H,G.求证：AH=HG=GC.作业：1．判断题（1）三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ）（2）一条直线交△ABC 的边AB 于点D ，交AC 边于点E ，如果AB ＝9，BD ＝5，AC ＝3.5，AE ＝2，那么DE ∥BC ．（ ）（3）如图1，321////l l l ，则BFAEDFCEBD AC ==（ ） （4）如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，则BCDEEC AE DBAD==（ ）2．选择题（1）如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列 不能成立的比例式一定是（ ） A ．ECAEDB AD = B ．AEACAD AB = C ．DB ECAB AC = D ．BCDEDB AD =(1)MEDC BA(2)FED CBA图1图2（2）如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE31，AD ＝12，那么CF 的长为（ ）A ．4B ．6C ．3D ．12（3）如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．16（4）如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3（5）如图3，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ， 若AD=4，DB=2，则AE ︰EC 的值为（ ）（A ）0.5 （B ）2 （C ）32 （D ）233．填空题（1）如图8，则＝________，＝________；（2）如图9，321////l l l ，AM ＝2，MB＝3，CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________；（3）如图10，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝___ ___，EG ＝________；（4）如图11，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________，DB ＝________；4．如图， 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ， DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值.5、如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ， 求证：OA ：AN=OB ：MB6、如图，△ABC 中，AF ∶FD ＝1∶5，BD ＝DC ，求：AE ∶EC ．21//l l DE AD ACAB 图6BA CF DE图7E D CBA 图3图4 图5OPNM CBA图11图10 图9 图86、如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，求证：AF·BD ＝ AD ·FD(如图2-2)已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE. 求证：EF：FD=CA：CB.一、选择题（共8小题）1、（2011•肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A、7B、7.5C、8D、8.52、（2011•泰安）如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A、B、 C、D、3、（2011•怀化）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3．则CE的值为（）A、9B、6C、3D、44、（2010•北京）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A、3B、C、6D、85、（2010•鞍山）如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（）A、2：1B、1：C、3：2D、2：36、（2009•上海）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A、B、 C、D、7、（2007•襄阳）如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1、l2、l3于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（）A、BC：DE=1：2B、BC：DE=2：3C、BC•DE=8D、BC•DE=68、（2006•湘西州）如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（）A、B、 C、D、9、如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4 cm，BD=8 cm，DE=5 cm，求线段BF的长．。