2018-2019年人教A版数学选修2-2同步练习：第二章+推理与证明+测评A+Word版含解析

第二章测评A
(基础过关卷)
(时间:90分钟满分:100分)
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列表述正确的是()
①归纳推理是由部分到整体的推理;
②归纳推理是由一般到一般的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理;
④类比推理是由特殊到一般的推理;
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A.②③⑤
B.②③④
C.①③④
D.①③⑤
解析:由归纳推理、演绎推理及类比推理的定义可知①③⑤正确.
答案:D
2.观察下面图形的规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为()
A.■
B.△
C.□
D.○
解析:由每一行中图形的形状及黑色图形的个数,则知A正确.
答案:A
3.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()
A.各正三角形内任一点
B.各正三角形的某高线上的点
C.各正三角形的中心
D.各正三角形外的某点
解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.
答案:C
4.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将
5k+1-2k+1变形为()
A.(5k-2k)+4×5k-2k
B.5(5k-2k)+3×2k
C.(5-2)(5k-2k)
D.2(5k-2k)-3×5k
解析:5k+1-2k+1=5k×5-2k×2=5k×5-2k×5+2k×5-2k×2=5(5k-2k)+3×2k.
答案:B
5.“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故某奇数是3的倍数.”上述推理是()
A.小前提错
B.结论错
C.正确的
D.大前提错
答案:C
6.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,依此类推,则每组内奇数之和S n与其组的编号数n的关系是()
A.S n=n2
B.S n=n3
C.S n=n4
D.S n=n(n+1)
解析:∵当n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33;
∴归纳猜想S n=n3,故选B.
答案:B
7.在等差数列{a n}中,若a n>0,公差d>0,则有a4a6>a3a7,类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b n>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是()
A.b4+b8>b5+b7
B.b4+b8<b5+b7
C.b4+b7>b5+b8
D.b4+b7<b5+b8
解
析:b5+b7-b4-b8=b4(q+q3-1-q4)=b4(q-1)(1-q3)=-b4(q-1)2(1+q+q2)=-b4(q-1)2.
∵b n>0,q>1,∴-b4(q-1)·<0,
∴b4+b8>b5+b7.
答案:A
8.已知x>0,不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,…,可推广为x+≥n+1,则a的值为()
A.2n
B.n2
C.22n-2
D.n n
解析:由x+≥2,x+=x+≥3,
x+=x+≥4,…,
可推广为x+≥n+1,故a=n n.
答案:D
9.如果命题p(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立,又若p(n)对n=2成立,则下列结论正确的是()
A.p(n)对所有自然数n都成立
B.p(n)对所有正偶数n都成立
C.p(n)对所有正奇数n都成立
D.p(n)对所有大于1的自然数都成立
解析:初始值为2,n=k成立能推出n=k+2成立,间隔的两项具备连续性,故p(n)对所有正偶数都成立.
答案:B
10.将石子摆成如图的梯形形状.称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2012项与5的差,即a2012-5=()
A.2018×2012
B.2018×2011
C.1009×2012
D.1009×2011
解析:由已知可得a2-a1=4
a3-a2=5
a4-a3=6
……
a2012-a2011=2014.
以上各式相加得a2012-a1==1009×2011.
∵a1=5,∴a2012-5=1009×2011.
答案:D
二、第Ⅱ卷(非选择题共50分)
填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.已知△ABC中,A=30°,B=60°,求证:a<b.
解：证明:∵A=30°,B=60°,∴A<B,∴a<b.画线部分是演绎推理三段论中的.(填大前提、小前提或结论)
解析:在三角形中大角对大边是大前提;题目中横线部分为小前提.
答案:小前提
12.由图(1)有面积关系:,则由图(2)有体积关系:=.
解析:
=
=.
答案:
13.用数学归纳法证明+…+(n>1且n∈N*),第一步要证明的不等式是.
解析:∵n>1,∴第一步应证明当n=2时不等式成立,
即.
答案:
14.已知函数f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零(填“大”或“小”).
解析:∵f(x)是R上的奇函数,且是增函数,由a+b>0,得
a>-b,∴f(a)>f(-b)=-f(b).∴f(a)+f(b)>0,
同理,得f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0.
三式相加,整理得f(a)+f(b)+f(c)>0.
答案:大
15.观察下图:
则第行的各数之和等于20112.
解析:经观察知,图中的第n行的各数构成一个首项为n,公差为1,共(2n-1)项的等差数列,其各项和为:
S n=(2n-1)n+=(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2.
令(2n-1)2=20112,得2n-1=2011,
故n=1006.
答案:1006
三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题6分)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:.
解：证明:因为a>b>c,且a+b+c=0,
所以a>0,c<0.
要证明原不等式成立,只需证明a,
即证b2-ac<3a2,从而只需证明(a+c)2-ac<3a2,
即(a-c)(2a+c)>0,
因为a-c>0,2a+c=a+c+a=a-b>0,
所以(a-c)(2a+c)>0成立,故原不等式成立.
17.(本小题6分)已知实数x,且有a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,求证:a,b,c中至少有一个不小于1.
解：证明:假设a,b,c都小于1,即a<1,b<1,c<1,
则a+b+c<3.
∵a+b+c=+(2-x)+(x2-x+1)=2x2-2x+=2+3,
且x为实数,
∴2+3≥3,
即a+b+c≥3,这与a+b+c<3矛盾.
∴假设不成立,原命题成立.
∴a,b,c中至少有一个不小于1.
18.(本小题6分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a1,a2∈R,且a1+a2=1,求证:.
解：证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+.因为对一切x∈R,恒
有f(x)≥0,所以Δ=4-8()≤0,从而得.
(1)若a1,a2,…,a n∈R,且a1+a2+…+a n=1,请写出上述结论的推广式;
(2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.
解：(1)解若a1,a2,…,a n∈R,
a1+a2+…+a n=1,
则+…+.
(2)证明:构造函数
f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2
=nx2-2(a1+a2+…+a n)x++…+
=nx2-2x++…+.
因为对一切x∈R,都有f(x)≥0,
所以Δ=4-4n(+…+)≤0,
从而证得+…+.
19.(本小题7分)用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)(n∈N*).
解：证明:(1)当n=1时,左边=12,右边=×1×(4×1-1)=1,
左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1),
则当n=k+1时,12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2
=k(4k2-1)+(2k+1)2
=k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2
=(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]
=(2k+1)(2k2+5k+3)
=(2k+1)(k+1)(2k+3)
=(k+1)(4k2+8k+3)
=(k+1)[4(k+1)2-1],
即当n=k+1时,等式成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式成立.。