研究生数学建模房地产行业的数学模型

研究生数学建模-房地产行业的数学模型
题目房地产行业的数学模型
摘要:
本文以商品房为例,建立了房地产行业住房需求的BP神经网络模型、住房供给的GM(1,1)模型、房地产行业与国民经济其他行业关系的灰色关联度模型和房价预测的Markov模型.
对于住房需求问题,选取商品房年度销售面积作为反映住房需求的指标,把年底城镇总人口数等七个变量作为影响需求的因素,建立了BP神经网络模型,对住房需求进行了很好的预测.
对于住房供给问题,选取商品房年竣工面积作为商品房当年的供给量,建立了GM(1,1)模型,并用残差、关联度和后验差对所得的模型进行了检验,最后对全国房地产市场2011-2015年的商品房年竣工面积进行了合理预测.
对于房地产行业与国民经济其他行业关系问题,运用灰色关联度分析和信息熵对全国房地产市场与其他行业的关联度进行了定量分析,并按其关联性的强弱进行了排序.
对于房价预测问题,首先用三次插值多项式对1991-2009年商品房年销售价格进行模拟,运用Markov过程得到状态转移概率矩阵,建立了Markov模型,并对2010年的商品房年销售价格进行了预测.
然后通过房地产开发综合景气指数的变化对我国近几年房地产市场的发展态势进行了分析,再用房屋销售价格环比指数对房地产政策的成效进行了评价,提出了房地产政策严厉度对政策的严厉性进行量化.
最后,对模型的优缺点进行了分析,并对模型进行了评价.
关键词：BP神经网络GM(1,1) 灰色关联度Markov预测
一、问题重述
房地产行业既是国民经济的支柱产业之一,又是与人民生活密切相关的行业之一,同时自身也是一个庞大的系统,该系统的状态和发展对国民经济的整个态势和全国人民的生活水平影响很大.近年来,我国房地产业发展迅速,不仅为整个国民经济的发展做出了贡献,而且为改善我国百姓居住条件发挥了决定性作用.但同时房地产业也面临较为严峻的问题和挑战,引起诸多争议,各方都坚持自己的观点,然而多是从政策层面、心理层面和资金层面等因素来考虑,定性分析多于定量分析.显然从系统的高度认清当前房地产行业的态势、从定量角度把握各指标之间的数量关系、依据较为准确的预见对房地产行业进行有效地调控、深刻认识房地产行业的经济规律进而实现可持续发展是解决问题的有效途径.因此通过建立数学模型研究我国房地产问题是一个值得探索的方向.
利用附录中提供的及可以查找到的资料建立房地产行业的数学模型,建议包括
1．住房需求模型;
2．住房供给模型;
3．房地产行业与国民经济其他行业关系模型;
4．对我国房地产行业态势分析模型;
5．房地产行业可持续发展模型;
6． 房价模型等.
并利用模型进行分析,量化研究该行业当前的态势、未来的趋势,模拟房地产行业经济调控策略的成效.希望在深化认识上取得进步,产生若干结论和观点.如果仅就其中几个问题建立模型也是适宜的,对利用附件给的天津市的数据建模并进行分析同样鼓励.
研究房地产问题并不需要很多、很深的专业知识,问题也不难理解.作者也完全可以独立自主地提出自己希望解决的房地产中的新问题,建立相应的数学模型予以解决,所建的每个模型要系统、深入,至少应该自成兼容系统,数据可靠,结论和观点有较多的数据支撑、有较强的说服力、有实际应用价值.
二、模型假设
1. 城镇房地产市场是中国房地产行业的主要部分;
2. 商品房本年竣工面积作为商品房当年的供给量;
3. 近期内没有经济危机影响房地产行业.
三、符号说明
符号
符号说明
i A
影响住房需求的因素()1,2,
,7i =
()()0x i 商品房年销售面积的原始序列值()1,2,,20i = ()()0ˆx i 商品房年销售面积的估计序列值()1,2,,20i = ()()0y i 商品房年竣工面积的原始序列值()1,2,,17i = ()()0ˆy i 商品房年竣工面积的估计序列值()1,2,
,17i =
()()1y i
商品房年竣工面积原始值的累加生成序列()1,2,
,17i =
()i ε 原始序列()()0y i 与估计序列()()0ˆy
i 的绝对误差()1,2,,17i = ()i δ 原始序列()()0y i 与估计序列()()0ˆy i 的相对误差()1,2,,17i =
()i η
关联度系数()1,2,,17i =
ρ
分辨率()01ρ<< r 关联度
()0Y
原始序列()()0y i 的均值
ε 绝对误差()i ε的均值 i S
方差()1,2i = C 方差比 P
小误差概率
0i ∆ 参考序列与比较序列的绝对差值()1,2,,13i =
i H
信息熵()1,2,
,13i =
i w 评价指标的熵权()1,2,
,13i = t p
商品房年销售价格()1,2,
,19t =
ˆt p 商品房年销售价格预测值()1,2,,19t =
i Ω
状态区域()1,2,,4i =
V 状态转移矩阵 L
房地产政策的严厉度
四、模型的建立与求解
房地产行业是一个庞大的系统,可以从微观和宏观两个角度进行分析,其
中住房是房地产行业的核心部分.从微观角度看,房地产市场上存在住房需求与住房供给的经济运动.从宏观角度看,房地产行业作为国民经济的支柱产业,与整个国家的经济发展密切相关,政府的调控政策对房地产市场的发展也会产生一定影响.以下用住房需求、住房供给、房地产行业与国民经济其他行业关系和房价预测四个模型对房地产业进行分析. 1. 住房需求模型
本节以商品房的住房需求为例,构建BP 神经网络模型,并利用Matlab 神经网络工具箱中的相关函数对住房需求进行预测.
选取商品房本年销售面积()()0x i 作为反映住房需求的指标,把年底城镇总人口数1A 、城镇家庭平均每人可支配收入2A 、人均国内生产总值(现价)3A 、城镇新建住宅面积4A 、城镇固定资产投资5A 、城镇储蓄存款6A 和城镇家庭平均每人全年实际收入7A 七个变量作为影响住房需求的因素 (具体数据见附录) .其中人是住房的最终消费者,人口数量的增长必然会对住房的需求提出更高的要求,所以人口数量是决定住房需求的基本因素.城镇人均可支配收入指城镇居民家庭人均可用于最终消费支出和其它非义务性支出以及储蓄的总和,即居民家庭可以用来自由支配的收入,它从购买力方面影响住房需求.人均国内生产总值是一个国家核算期内实现的国内生产总值与这个国家的常住人口的比值,是衡量人民生活水平的一个标准,它从宏观层面影响住房需求.城镇新建住宅面积和城镇固定资产投资反映了国家的城镇化水平,是城镇吸引力的体现,具有较强吸引力的城镇会吸引周边地区乃至全国范围内的住房购买需求. 城镇储蓄存款和城镇家庭平均每人全年实际收入反映了城镇家庭拥有财富的能力.购买住房就需要支出,所以住房需求受制于家庭的收入.
神经网络是一种模仿人脑结构及其功能的信息处理方法,它通过对样本数据的反复训练实现对未知信息的推理.由于神经网络对数据没有特殊的要求,输出结果能够达到很高的精度,且非常适合用于预测.其预测原理为神经网络的训练是根据样本数据反复进行的,训练过程中,处理单元对数据进行汇总和转换,它们之间的连接被赋予不同的权值.当输出的结果在指定的精度级别上与已知结果相吻合时,对网络的训练就不再进行.通过对神经网络的训练和学习,使网络可以总结出内在的规律,从而对输出变量进行预测.
本节所创建的BP 神经网络的指标分别取:学习速率选取为0.01,网络输入变量为7,隐藏层神经元的个数选为13,网络输出误差精度设为0.001. [1]该神经网络图1所示.
输入层
隐藏层 输出层
图1 神经网络图
假定输入层的第i 个节点得到的输入为i A ,输入到隐藏层的第h 个节点的则为这些值的加权平均
ih
i i
w
A ∑,最终通过传输函数f 从输出层输出
()ih i i
f w A θ-∑,θ为隐藏层神经元的阈值.
由于原始数据的单位不同,造成了指标量纲不统一的情况.为了加快网络的收敛速度,在训练前对数据做了标准化变换.标准化准则为
*,ij j
ij j
A A A σ-=
其中11n j ij i A A n ==∑,1
1()()1n
j ti i tj j t A A A A n σ==---∑.
采用Levenberg-Marquardt 算法对数据进行训练,由下面的训练结果图可以看出,网络训练6次后即可达到误差要求,预测值的均方误差达到了0.000054175,预测效果较好.
图2 训练结果图
下面对给定的商品房年销售面积的原始序列
()()()()()()(){
}
{}00001,2,
,203025.5,4288.9,
,104349X x x x ==
进行估计,得出的估计值()()0ˆx
i 如表1: 表1 销售面积的原始序列及估计序列(单位:万平方米)
年度
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
原始序列()()0
x i 3025.5 4288.9 6688 7230 7906 7900
901
估计序列()()0
ˆx i 3703.3 5189.4 7660 8268 8731 8762
968
4
年度
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
原始序列()()0
x i 12185 14557 18637 22412 26808 33718 38232
估计序列()()0
ˆx i 12767 14875 18729 22209 26337 33241 37544
年度
2005
2006
2007
2008
2009
2010
原始序列()()0
x i 55486 61857 77355 65970 94755 104349
估计序列()()0
ˆx i 54018 60408 75839 65290 92490 100744
图3展示了商品房年销售面积的原始序列及估计序列的曲线,从图中可以看出两个序列的拟合程度较高.
4
时间（年）
销售面积（万平方米）
商品房本年销售面积模型估计值
图3销售面积的原始值及估计值序列图
本节对影响住房需求的影响因素进行了分析,采用BP 神经网络建立了住房需求的预测模型,估计值与原始值之间的均方误差很小,证明了采用神经网络进行住房需求预测的有效性.
2. 住房供给模型
2.1 GM(1,1)模型的建立
根据全国房地产市场1994-2010年的年度商品房本年竣工面积的统计资料,下面采用灰色系统理论,建立灰色GM(1,1)预测模型,对未来五年的商品房销售价格做出合理预测.
对给定的商品房竣工面积的原始序列
()()()()()()(){
}
{}00001,2,
,1711637,14873.85,
,75961Y y y y ==,
作累加生成1—AGO 序列
()()()()101
,1,2,
,17.k
i y k y i k ===∑
详细数据见表2:
年份 1994 1995 1996 1997 1998 1999 原始序列()()0
y i
11637
14873.85 15356.71
15819.7
17566.6
21410.8
生成116326514186576875259666
序列()()1
y i
7 0.85 7.56 7.26 3.86 4.66
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 原始序列()()0
y i
25104.9
29867.4
34975.8
41464.1
42464.9
53417
生成
序列
()()1
y i
121769.56 151636.96 186612.76 228076.86 270541.76 3239
58.76 年份 2006 2007 2008 2009 2010 原始序列()()0
y i
55830.9
60606.7
66544.8
72677.4
75961
生成
序列
()()1
y i
379789.66 440396.36 506941.16 579618.56 6555
79.56
图4为原始序列及1—AGO 生成序列的散点图,图中清晰地展现了每年商品房的竣工面积及其累计和.
01
2
3
4
56
7
5
时间（年）
住房供给量（万平方米）
原始序列生成序列
图4 竣工面积原始序列及1—AGO 生成序列的散点图
采用一阶单变量微分方程进行估计,得到白化形式的GM(1,1)模型
()
()1
1
,dY aY u dt
+= (1) 式中,a u 为待估计参数.
求解白化方程(1),得到GM(1,1)模型的形式为
()()()()10ˆ11,0,1,,16,
ai u u y
i y e i a a -⎛
⎫+=-+= ⎪⎝
⎭
(2)
还原后的预测模型为
()()()()()()011ˆˆˆ11,1,,16,
y i y i y i i +=+-=
(3)
其中()()()()0
ˆ11y
y =. 记参数向量[]ˆT
a
a u =,用最小二乘法求解得 ()1
ˆ.T T N a
B B B Y -= (4) 式中,B 为累加生成矩阵,N Y 为向量,二者的构造为
()()()()(
)()
()()()()
()()()()()
11111111212-19073.92511-34189.20512312-617599.0611161712y y y y B y y ⎡⎤
-+⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦
,
()()()()()()[]0002,3,,1714873.85,15356.71,,75961.N Y y y y ⎡⎤==⎣⎦
将,N B Y 带入(4)式得到[]ˆ0.111213693T
a
=-. 根据以上数据带入式子(3)和(4)可求得商品房竣工面积的GM(1,1)预测模
型为:
()()0.11121ˆ1134780123140,0,1,,16
i y
i e i +=-=
()()()()
()()()()
0.111210.1112000ˆ1134780,1,,16
.
ˆ11i i y i e
e i y x -⎧+=-=⎪⎨=⎪⎩ (5)
由(5)式可得到1994-2010年住房竣工面积的估计值,并将其与原始序列的真实值比较,详见表3:
年份 原始序列
()()
0y i
估计序列()()0ˆy
i
年份 原始序列
()()
0y i
估计序列()()0ˆy
i
1994 11637 11637
2003 41464.1 38582.83
00 1995 14873.85 15851.4776 2004 42464.9 43120.58
26 1996 15356.71 17715.7805 200
5 53417
48192.0234 1997 15819.7 19799.3454 2006 55830.9 53859.91
98 1998 17566.6 22127.9598 2007 60606.7 60194.4213 1999
21410.8
24730.4441
2008
66544.8
67273.92
78
2000 25104.9 27639.0083 2009 72677.4 75186.0598 2001 29867.4 30889.6507 201
75961 84028.7430 2002
34975.8
34522.6033
图5展示了实际值与估计值这两个序列,从图中可以看出,两个序列之间拟合的程度高.
12
3
4
5
6
78
94
时间（年）
住房供给量（万平方米）
实际值估计值
图5竣工面积实际值及估计值序列图
2.2 模型检验
下面从残差、关联度和后验差三个方面对所得的模型进行检验. （1） 残差检验
计算原始序列()()0y i 与估计序列()()0ˆy i 的绝对误差()i ε及相对误差()i δ,其中
()()()()()()()()
()()
0000ˆ,1,2,,17,100%,1,2,
,17.
i y i y
i i i i i y i εεδ=-==
⨯=
(2)关联度检验
关联度系数定义为
()()()()()
()()()
min max ,1,2,,17.max i i i i i i ερεηερε+=
=+
其中ρ为分辨率且01ρ<<,本例中取0.5ρ=.
运用Matlab 求解,得到的结果详见表4:
年份 绝对误差()
i ε
相对误差()
i δ
关联度系数()
i η
1994
0 0 1 1995 977.6276 6.5728% 0.8049 1996 2359.0705 15.3618% 0.6310 1997 3979.6454 25.1563% 0.5034 1998 4561.3598 25.9661% 0.4693 1999 3319.6441 15.5045% 0.5486 2000 2534.1083 10.0941% 0.6142 2001 1022.2507 3.4226% 0.7978 2002 453.1967 1.2957% 0.8990 2003 2881.2700 6.9488% 0.5833 2004 655.6826 1.5441% 0.8602 2005 5224.9766 9.7815% 0.4357 2006 1970.9802 3.5303% 0.6718 2007 412.2787 0.6803% 0.9073 2008 729.1278 1.0957% 0.8469 2009 2508.6598 3.4518%
0.6166
2010 8067.7430 10.6209%
0.3333
由于关联度系数的信息较为分散,不便于比较.为此,综合各个时刻的关联度系数,得到关联度r .
通常0.5ρ=时,0.6r >便可认为关联度可以满意[2]. 关联度r 定义为
()1
1.n
i r i n η==∑
本例中,()1
10.6778n
i r i n η===∑.
(3)后验差检验
首先计算原始数列的()0Y 的均值()0Y 及均方差1S ,其定义为
()
()()001
1,n
i Y y i n ==∑ ()()()()
20
1
1.1
n
i y i Y S n =-=
-∑
然后计算绝对误差()i ε的均值ε及方差2S ,其定义为
()1
1,n
i i n εε==∑
()(
)
2
1
2.1
n
i i S n εε
=-=
-∑
计算方差比21C S S =及小误差概率(){}
10.6745P i S εε=-<. 确定模型级别,方法如表5.
表5 模型级别 等级 好
合格 勉强合格
不合格
取值
P
C P C P
C P
C 0.95>
0.35<
0.8> 0.5< 0.7> 0.65<
0.7≤ 0.65≥
将实际数据代入计算,得到后验差检验结果如表6.
项目
()0Y
1S
ε
2S
C P
模型级
别
结果 43.856410⨯ 84.825210⨯
32.450410⨯
64.86110⨯ 0.0093 1
好(I 级)
由模型的检验可知,关联度0.6778r =,
大于0.6,,C P 的取值均满足I 级模型的要求,说明模型的精确度较高,可用于实际预测.
利用公式(5)对全国房地产市场2011-2015年的商品房竣工面积进行预测,得到表7:
年份
2011 2012 2013 2014 2015
预测值()()0ˆy
i 93911 104960 117300 131100 146510
3. 房地产行业与国民经济其他行业关系模型
本节以《中国统计年鉴2011》国民经济核算中的分行业增加值为基础数
据,运用灰色关联度分析并结合信息熵对房地产相关行业进行权重赋值的方法,对全国房地产业与其他行业的关联度进行定量分析,进一步确定了全国房地产业与其他行业的关联程度,为制定合理的政策和战略提供参考.
下面对灰色关联度模型的理论作一下简单阐述.
设系统有n 个待优选的评价对象,对每个对象又有m 个评价因素,每个评价对象在相应各个评价因素下的属性值构成如下属性矩阵:
1112121
2221
2
1,2,,.1,2,n n ik m m mn x x x x x x i m X k n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥= , ⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
这里的ik x 表示第k 个评判对象在第i 个评判因素下的指标属性.根据实际情况确定参考因素和比较因素.设:参考序列为0()x k ,且1,2,
,k n =;
比较序列为
()i x k ,且1,2,,i m =和1,2,,k n
=.
根据国民经济体系的行业分类,选取以下13个行业:A 农林牧渔业,B 工业,C 建筑业,D 交通运输、仓储和邮政业,E 信息传输、计算机服务和软件业,F 批发和零售业,G 住宿和餐饮业,H 金融业,I 租赁和商务服务业,J 科学研究、技术服务和地质勘查业,K 居民服务和其他服务业,L 卫生、社会保障和社会福利业,M 公共管理和社会组织.全国房地产业与以上行业的国内生产总值增加值如表8所示:
行年份
业2005 2006 2007 2008 2009 A 22420 24040 28627 33702 35226
B 77230.
7790
91310.
9363
110534.
8760
130260.
2387
135239.
9499
C 10367.
3150
12408.
6053
15296.4
816
18743.2
000
22398.8
267
D 10666.
1630
12182.
9846
14601.0
394
16362.5
032
16727.1
098
E 4904.0
687
5683.4
519
6705.58
07
7859.67
31
8163.78
61
F 13966.
1750
16530.
7223
20937.8
353
26182.3
390
28984.4
658
G 4195.7
166
4792.5
857
5548.11
37
6616.07
129
7118.16
71
H 6086.8
262
8099.0
822
12337.5
493
14863.2
505
17767.5
262
I 3129.1
388
3790.7
693
4694.85
40
5608.21
77
6191.35
98
J 2163.9
875
2684.7
859
3441.33
98
3993.35
14
4721.73
11
K 3127.9
886
3541.6
999
3996.48
29
4628.04
85
5271.48
26
L 2987.3034 3326.2433 4013.7670 4628.7477 5082.5559 M 7361.1579 8836.6491 10830.4327 13783.7177 15161.7375 X
8516.4324
10370.4560
13809.7463
14738.6993
18654.8
792
上表最后一行为房地产业的国内生产总值,作为参考序列0X .由行A M →构成比较序列()1,2,
,i X i m =,也就是上面提到的属性矩阵ik X .
根据房地产行业与相关行业的关系,采用公式
min 1,2,,1,2,,max min ik ik
i
ik ik ik
i i
x x i m Z k n x x ⎛⎫-=
⎪= , ⎪=-⎝⎭
(6)
对指标进行归一化处理.
由公式(6)对ik X 进行无量纲化处理结果如表9.
行
业 年份 2005 2006 2007
2008 2009
A 0 0.1265 0.4847 0.8810 1
B 0 0.2427 0.5741 0.9142 1
C 0 0.1697 0.4097 0.6962 1
D 0 0.2503 0.6492 0.9398 1
E 0 0.2391 0.5527 0.9067 1
F 0 0.1708 0.4642 0.8134 1
G 0 0.2042 0.4628 0.8282 1 H
0.1723 0.5351 0.7514
1
I 0 0.2161 0.5113 0.8096 1 J 0 0.2036 0.4994 0.7152 1 K 0 0.1930 0.4052 0.6998 1 L 0 0.1618 0.4899 0.7834 1 M 0 0.1892 0.4447 0.8233 1 X
0.1829 0.5221 0.6137
1
需要说明的是,后面我们会用到所有其他行(比较序列)与参考序列的差计算绝对差值序列,所以这里把参考序列也放入属性矩阵中进行归一化,如上表9中的X 行.表9即为归一化后的矩阵ik Z (参考序列不包括在内).
绝对差值序列是参考序列与比较序列的绝对差值
00()().
i i z k z k ∆=- (7)
运用公式(7),得到绝对差序列详见表10.
表10 全国房地产业的国内生产总值增加值的绝对差值序列i
∆
行
业 年份 2005 2006 2007
2008 2009
A 0 0.0564 0.0374 0.2673 0
B 0 0.0599 0.0520 0.3004 0
C 0 0.0132 0.1124 0.0824 0
D 0 0.0674 0.1271 0.3261 0
E 0 0.0562 0.0306 0.2930 0
F 0 0.0121 0.0579 0.1997 0
G 0 0.0214 0.0593 0.2145 0 H
0.0106 0.0130 0.1376
I 0 0.0332 0.0108 0.1958 0 J 0 0.0207 0.0227 0.1015 0 K 0 0.0101 0.1169 0.0861 0 L 0 0.0211 0.0322 0.1697 0 M
0.0063 0.0774 0.2096
根据上式(公式7)可以得出min ∆和max ∆分别为绝对差值的最小值和最大
值.其中
min 0max 0,,min ()(),max 1,2,
,.1,()()2,,,.
i i i k
i k
z k z k z k i k n z m k ∆=-∆===-
由上式可得,min max 0,0.3261.
∆=∆=
()i Y k 对0()Y k 的灰色关联度系数如下
min max
0max
().
i k ρηρ∆+∆=
∆+∆
(8)
式中ρ是分辨率,本文取0.5ρ=.
利用公式(8),灰色关联度系数矩阵如表11所示.
表11 灰色关联度系数()k η
行
业 年份 2005
2006
2007
2008
2009
A 1 0.7431 0.8134 0.3789 1
B 1 0.7315 0.7582 0.3518 1
C 1 0.9251 0.5919 0.6642 1
D 1 0.7076 0.5619 0.3333 1
E 1 0.7436 0.8422 0.3576 1
F 1 0.9309 0.7380 0.4495 1
G 1 0.8842 0.7332 0.4319 1
H 1 0.9390 0.9260 0.5423 1
I 1 0.8309 0.9379 0.4543 1
J 1 0.8871 0.8778 0.6163 1
K 1 0.9415 0.5824 0.6545 1
L 1 0.8854 0.8351 0.4900 1
M 1 0.9629 0.6782 0.4375 1
由于灰色关联度系数仅表示各年度数据间的灰色关联程度,为了进一步对整个序列进行比较,即()i Z k 和0()Z k 的比较,根据信息论知识可知,某项指标值变化程度越大,信息熵越小,该指标权重就应该越大,反之也成立.所以,可根据各个指标的变化情况,利用客观赋值法中的信息熵法计算出评价因素权重,以便能够更加准确和科学地计算灰色关联度.
按照熵思想,人们在决策中获得信息的多少和质量,是决策的精度和可靠性大小的决定因素之一.所以熵在应用于不同决策过程中的评价或案例的效果评价时是一个很理想的尺度. [3]
评价指标的信息熵如下面公式所示,
1
ln .
n
i ij ij j H K f f ==-∑
在此,我们得到的信息熵值为
()0.7479,0.7936,0.7617,0.7984,0.7915,0.7660,0.7766,
0.7744,0.7854,0.7826,0.7693,0.7662,0.7698.
i H =
假定,0ij f =时,ln 0ij ij f f =;其中,1
ij
ij n
ij
j z f z
==
∑,1
ln K n
=
.计算得0.6213K =.
评价指标的熵权i w 公式
11i i m
i
i H w m H =-=
-∑.
计算得到
()0.0864,0.0708,0.0817,0.0691,0.07150,0.0802,0.0766,
0.0774,0.0736,0.0745,0.0791,0.0802,0.0789.
w =
灰色关联度的计算公式为
1().
m
i k i r w i η==∑
带入数据,得到
()0.3401,0.2719,0.3416,0.2490,0.2819,0.3304,0.3102,
0.3409,0.3107,0.3266,0.3305,0.3376,0.3219.
r =
对0()Z k 和评价因素()i Z k ,其关联度分别为()1,2,,i r i m =,按从大到小的
顺序,即得灰色关联度顺序,例如设12m r r r >>
>,
表明1Z 和0Z 的关联度最大,
或者对0Z 的影响最大,
2Z 次之.由上面得到的灰色关联度如图6.
卫生福居民服批发零科研技公共管租赁商住宿餐信息软工业交通邮建筑金融农林牧
图6 灰色关联度条形图
根据以上对全国的房地产业与相关产业的关联度的计算和分析可以看出:全
国房地产业与建筑业的关联程度最大,关联度为0.3416;此处房地产业与金融业、农林牧渔业、卫生、社会保障和社会福利业、居民服务和其他服务业、 批发和零售业、科学研究、技术服务和地质勘查业和公共管理和社会组织的关联度也较大,灰色关联度分别为
0.3409,0.3401,0.3376,0.3305,0.3304,0.3266,0.3219.
可见,房地产业的发展将对相关产业的发展起到很强的拉动作用,同时对国民经济的发展也具有重大的影响. 4. 房价预测模型
Markov 链是时间和状态均为离散变量的随机过程.它的特点是无后效性,即在0t 时刻的状态为已知时,它在时刻0t t >的状态与其在0t 之前的状态无关[4].Markov 模型能充分利用历史数据给予的信息,为随机波动较大的数据预测工作提供了一种新的方法,提高预测的精度.因此本文采用Markov 模型对房价进行预测.
依据附录中1991-2009年商品房年销售价格{},1,2,,19t p t =,其中2010年商
品房年销售价格从中国统计年鉴中查到,详细数据见表12:
年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 20
00
销售价格t
p
786
995
1291 1409 1591 1806 1997 2063 2053 21
12
年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 20
09
销售价格t
p
2170 2250 2359 2778 3168 3367 3864 3800 46
81
将时间1991-2009年离散为时间序列1-19,商品房年销售价格t p 用三次插值多项式进行拟合,得到其拟合曲线为
32ˆ 1.431136.2213394.6141387.8186,1,2,,19.t p
t t t t =-++=
运用Markov 模型预测2010年商品房的销售价格.首先对商品房年销售价格
t p 的数据序列进行状态区间划分,为保证预测的准确度和计算的方便性,并结合近几年商品房销售价格的具体情况,将数据序列化分为四个状态,分别记为
,1,2,,4i i Ω=,这里i Ω的划分按与拟合曲线ˆt p
的变化趋势相一致的准则,即以ˆt p 为基准曲线,作四条平行于ˆt p
的曲线而得到四个条形区域,每一个条形区域代表一个状态,即使i Ω所属于的一个状态区域,如图7示:
t
p
t
实际值拟合曲线状态分割线
↑Ω1
↑Ω2
Ω3↓
Ω4
↓
图7 状态分割曲线
其中每个区域的上、下界见如下的状态划分标准表:
状态
1Ω 2Ω 3Ω 4Ω 状态下界 ˆ300t p - ˆ150t p - ˆt p
ˆ150t p
+ 状态上界 ˆ150t p
- ˆt p ˆ150t p
+ ˆ300t p + 从图7中可以得到1991-2009年商品房年销售价格t p 的Markov 转移情况,得到表14:
状态1Ω 状态2Ω 状态3Ω 状态4Ω 合计 状态1Ω 0 0 2 0 2 状态2Ω 1 3 2 0 6 状态3Ω 0 3 3 2 8 状态4Ω
1
1
2
继而得到状态转移概率矩阵
010*******.03314120120V ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由图7可知2009年商品房年销售价格19p 处于状态区间3Ω,根据状态转移矩阵知19p 转移到20p 时分别以概率3处于状态区间2Ω、38处于状态区间3Ω和14处于状态区间4Ω,故根据Markov 模型估计的2010年的商品房年销售价格
()()()()2020202020202020ˆˆˆˆˆˆ15015015030033145
ˆ5145.6.8282422p p p p p p p p
-++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
查《中国统计年鉴2011》[5]可知:2010年商品房年销售价格为5230元,两者的绝对误差1.61%.
五、房地产发展态势与政策成效分析
1. 房地产市场发展态势分析
本节首先运用房地产开发综合景气指数的变化对我国近几年的房地产市场的发展态势进行分析.
房地产开发景气指数,指对企业景气调查中的定性经济指标通过定量方法加工汇总,综合反映某一特定调查群体或者发展趋势的一种指标.房地产开发景气指数是反映房地产业发展景气状况的综合指数.1998年1月至2011年七月的房地产开发景气指数详见图8,其中2009-2011年1月的数据缺失,为了便于分析,文中采用相邻样本均值插补法对缺失值进行插补,插补后的数据分别为95.6、104.57和102.35.
9294
96
98
2000—07
2008—01
2005—07
2003—01
1998—01
2011—08
2010—07
图8 房地产开发综合景气指数
近年来,国务院对房地产业出台了一系列调控政策.1998年,国务院发布了
《城市房地产开发经营管理条例》,我国开始进行住房制度的改革.由上图可以看出,从1998年到2001年末,房地产开发综合景气呈上升趋势.2002年,建设部等六部委发布了《关于加强房地产市场宏观调控促进房地产市场健康发展的若干意见》,国家开始遏制房价过快上涨势头,以促进房地产业和国民经济健康发展,当时的调控手段比较单一,主要通过土地和金融政策类约束开发商的投资或居民的购房需求.2006年5月29日,国务院办公厅转发建设部等九部门《关于调
整住房供应结构稳定住房价格的意见》,国家开始对房地产市场的供应结构进行调整和规范.2008年受经济危机影响,我国房地产市场进入低迷时期.由于为应对经济危机超发的货币和调控政策的松动,2009年房地产市场迅速由低迷变为亢奋,房地产开发综合景气指数迅速上升.2010年4月,为了切实解决城镇居民住房问题,国务院发布了《国务院关于坚决遏制部分城市房价过快上涨的通知》(简称“新国十条”).该通知加大了调控力度,要求实行更为严格的差别化住房信贷政策,发挥税收政策对住房消费和房地产收益的调节作用.多种调控方式取得了一定效果,由图中可以看出2010年房地产开发综合景气指数大体呈下降趋势.2011年1月,国务院发布了《关于进一步做好房地产市场调控工作有关问题的通知》(简称“新国八条”),房地产开发综合景气指数在小幅上涨后又回落.
房地产价格走势涉及到人民群众切身利益,关系到经济健康发展好社会和
谐稳定.拥有住房是人民正常生活的重要条件,通过上面的分析可以看出,国
务院对房地产市场实施调控的决心是坚定的, 并取得了一定成效,通过国家
政策可以对房地产市场进行宏观调控,进而改善人民生活状况.
2. 房地产政策的成效分析
下面通过房屋销售价格环比指数对房地产政策的成效进行评价,并提出
了房地产政策严厉度对政策的严厉性进行量化.
房屋销售价格指数是反映一定时期房屋销售价格变动程度和趋势的相对数,它是通过百分数的形式来反映房价在不同时期的涨跌幅度, 直接反映了
房价的变动情况.房屋销售价格环比指数是以上月价格为100的基准数得到的
指数. 国务院出台政策调控房地产市场的目的是把遏制房价上涨, 房地产政
策严厉度L用房地产政策发布后引起房屋销售价格环比指数的变化量来描述.严厉度越大,表明国家对房地产市场监管的越严格,政策取得的成效越大.
房屋销售价格环比指数的数据取自于国家统计局官方网站[6],2010年和2011年的房屋销售价格环比指数详见图9和10:其中2011年的房屋销售价格环比指数采用的是七十个大中城市新建住宅和二手住宅销售价格环比指数的平均值.
2010—12010—32010—52010—72010—92010—11
图9 2010年房屋销售价格环比指数
如图所示,2010年4月“新国十条”发布后,房屋销售价格环比指数明显下降.从2010年5月到2010年8月期间,房屋销售价格环比指数累计减少了1.4,达到了抑制房价快速上涨的目的,故此时严厉度1L 为1.4.
99.9
100
100.1
100.2
100.3
100.4
100.5
100.6
100.7
2011—2
2011—4
2011—6
2011—8
图10 2010年房屋销售价格环比指数
由图10可知:2011年1月“新国八条”发布后,房屋销售价格环比指数持续下降,但下降的幅度较小.从2011年2月到2010年8月,房屋销售价格环比指数累计减少了0.7157,所以“新国八条”的严厉度20.7157L =.
从政策的内容来看,“新国十条”通过提高贷款首付比例和贷款利率来限制贷款投机性购房,对定价过高、涨幅过快的房地产开发项目进行重点清算和稽查, 大幅度增加公共租赁住房、经济适用住房和限价商品住房供应.“新国八条”的目的在于进一步做好房地产市场调控工作,调整完善相关税收政策,继续有效遏制投资投机性购房[7].从前面的严厉度数据得出12L L >,所以“新国十条”也被称。