高中数学北师大版选修1-1第三章《导数的四则运算法则》ppt课件1

◎求 f(x)＝(1－ x)1＋ 1x的导数．
【错解】 f′(x)＝(1－ x)′1＋ 1x′ ＝－21x－12·－12x－32＝14x－2.
【错因】 上面的解法在于错用乘法法则： [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
又 y′＝2ax＋b，曲线过点 P(2，－1)的切线的斜率为
4a＋b＝1.
曲线过点(2，－1)，所以有 4a＋2b＋c＝－1.
联立a4＋ a＋b＋ b＝c＝1，1， 4a＋2b＋c＝－1，
解之，得ab＝ ＝3－，11， c＝9，
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
1．可导函数的和、差、积、商的可导性 如果函数 u(x)，v(x)在点 x 处可导，则 u(x)±v(x)，u(x)·v(x)， Cu(x)(C 为常数)都在点 x 处可导，另当 v(x)≠0 时，vuxx在点 x 处也可导．
(4)∵y＝x3＋1＋x12，
∴y′＝3x2－2x－3＝3x2－x23(x≠0)．
• 已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l： yy＝0)(kxx0≠，0且)，直求线直l与线曲l的线方C程相及切切于点点坐(x标0，．
直线 l 通过点(0,0)，可用两点连线的斜率公式求出 k， 再由导数的几何意义建立方程求 x0 即可．
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
C．1＋x12
D．1＋1x
解析： y′＝(x)′＋1x′＝1－x12
答案： A
2．下列结论：①若
y＝
1 ，则 x
y′|x＝π2＝－1；③若 y＝ex，则 y′＝ex.正确的个
数是( )
A．0
• C解．2析： 选C. • 答案：
B．1
正确的D．是3②③，共有2个，故
(2)方法一：y′＝xx－ ＋11′＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212 方法二：∵y＝xx＋ －11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′＝－2′x＋1x＋－122x＋1′ ＝x＋212.
正解二：∵f(x)＝(1－
x)1＋

1x＝1－
x＋ 1x－1
＝－
x＋
1， x
∴f′(x)＝－

x＋ 1x′＝－12x－12－12x－32＝－2x＋ x 1x.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
(3)y′＝(x·tanx)′＝xcsoisnxx′ ＝xsinx′coscxo－s2xxsinxcosx′ ＝sinx＋xcocsxosc2xosx＋xsin2x ＝sinxccooss2xx＋x.
(1)y＝2 xsin x＋1xcos x；
(2)y＝2＋xlo4 gax；
(3)y＝1－1
x＋1＋1
； x
(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
(1)熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四 则运算法则，是求导函数的前提．
(2)先化简再求导，是化难为易，化繁为简的基本原则和 策略．
[解题过程]
(1)y′＝(2
xsin
x)′＋1xcos
x′

＝x－12sin x＋2 xcos x＋－x21cos x＋(－sin x)1x
＝(2x－2)′＋(3x－3)′
＝－4x－3－9x－4
(2)
＝－x43－x94
先进行化 简，再利 用加、减 法法则
序号 (3)
解题过程
理由
因为 f(x)＝1＋sinsinx x
所以
f′(x)＝cos
x1＋sin x－sin 1＋sin x2
xcos
x
利用了导数
＝1＋cossinxx2
的除法法则
【正解】
正 解 一 ： f′(x) ＝ (1 －
x )′ 1＋

1 x
＋
(1
－
x)·1＋

1x′＝－12x
－
1 2
1＋

1 x
＋
(1
－
x)·－12x－32＝－12x
－12－12x－1－12x－32＋12x－1＝－12x－12－12x－32＝－2x＋ x 1x.
(1)
类
比
：
(uv)′
＝
u′v
＋
uv′
，
u v
′
＝
u′v－uv′ v2
(v≠0)，注意差异，加以区分．
(2)uv′≠uv′′且uv′≠u′v＋v2 uv′(v≠0)．
• 6．求导运算的技巧
• 在求导数中，有些函数虽然表面形式上 为函数的商或积，但在求导前利用代数或 三角恒等变形可将函数先化简(可能化去了 商或积)，然后进行求导，可避免使用积、 商的求导法则，减少运算量．
C
•解析3．：已y知′函＝数(2xy)′＝ln2xxl＋n 2xx，(ln则x)′y′＝ _＝__2_xl_n_2_ln_.x＋2xx
答案： 2xln2ln x＋2xx
4．求下列函数的导数． (1)y＝x4－x3－x＋3；(2)y＝x22＋x33； (3)y＝x·ax(a>0)；(4)lnxx(x>0)． 解析： (1)y′＝(x4－x3－x＋3)′ ＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
；
• (2)[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)；
• (3)[f(x)·g(x)]′＝
；
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(4)gfxx′＝
f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)
．
1．函数 y＝x＋1x的导数是(
)
A．1－x12
B．1－1x
4．两函数商的求导法则的特例 gfxx′＝f′xgxg－2xfxg′x(g(x)≠0)， 当 f(x)＝1 时，g1x′＝1′·gxg－2x1·g′x＝－gg′2xx (g(x)≠0)． 这是一个函数导数的求导法则．
5．两函数积与商求导公式的说明
；
• (6)若f(x)＝cot x，则f′(－xs)i＝n12x
axln a
• (7)若f(x)＝ax，则f′(x)＝
ex
(a>0)；
• (8)若f(x)＝ex，则f′(x)＝xln1；a
1
• (9)若f(x)＝logax，则f′(xx)＝
(a>0 ，
且a≠1)；
• 导数的运算法则
• (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
2.求下列函数的导数： (1)f(x)＝xl＋ n x1－2x(x>0)； (2)f(x)＝xx2＋＋33； (3)f(x)＝( x＋1) 1x－1(x>0)； (4)y＝xx2＋1x＋x13(x≠0)．
解析： (1)f′(x)＝1xx＋1－x＋lnx1·2x＋1′－2xln 2
解答本题可先确定式子的形式，再用基本初 等函数的导数公式和四则运算法则求解．
• [解题过程]
序号 (1)
解题过程
y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′
＋6′ y′＝＝x225′x4＋－9x33x′2－10x
理由
加法法则 及减法法 则
(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
求下列函数的导数 (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝x22＋x33； (3)f(x)＝1＋sinsixnx；(4)f(x)＝xlg x.
[解题过程] ∵直线 l 过原点，则 k＝yx00(x0≠0)， 由点(x0，y0)在曲线上，得 y0＝x03－3x02＋2x0， ∴yx00＝x02－3x0＋2， ∵y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3x02－6x0＋2， 又 k＝yx00，∴3x02－6x0＋2＝x02－3x0＋2， 整理得 2x02－3x0＝0. ∵x0≠0，∴x0＝32，此时 y0＝－38，k＝－14， ∴直线 l 的方程为 y＝－14x，切点的坐标为32，－38.
•§ 4 导数的四则运算 法则
• 基本初等函数的导数公式
• (1)若f(x)＝c(常数)，则f′(x)＝；
0
• (2)若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝
；
αxα－1
• (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝
；
• (4)若f(x)＝cos x，则f′(xco)s＝x
；
－sin x
1
• (5)若f(x)＝tan x，则f′(xco)s＝2x
＝(x－12－x－1)sin x＋(2x12－x－2)cos x. (2)y′＝4x32＋2＋lolgoagxax－2xlxn4 a
＝8x3＋24＋x3llooggaaxx－2 lnx3a
＝8－2ln＋1al＋og4axlo2gaxx3.
(3)∵y＝1－1 x＋1＋1 x＝1－2 x， ∴y′＝－211－－xx2′＝1－2 x2. (4)∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11.
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2(x>0)；
(2)f′(x)＝x＋3′x2＋3x2＋－3x＋2 3x2＋3′
＝x2＋3x－2＋x3＋23·2x＝－xx22－＋63x＋2 3(x>0)；
(3)∵f(x)＝1＋
1－ x
x－1＝
1－ x
x＝x－12－x12
∴f′(x)＝－12x－32－12x－12(x>0)；
• [题后感悟] 利用导数的几何意义 解决切线问题的关键是判断已知点是 否是切点，若已知点是切点，则该点 处的切线斜率就是该点处的导数；如 果已知点不是切点，则应先设出切点， 再借助两点连线的斜率公式进行联 系．
• 3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)， 且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、 b、解析c的：值因．为 y＝ax2＋bx＋c 过点(1,1)，所以 a＋b＋c＝1.
2．函数四则运算的求导法则 (1)和(或差)的导数：(u±v)′＝u′±v′， 推广：(u1±u2±…±un)′＝u′1±u′2±…±u′n. (2)积的导数：(u·v)′＝u′v＋uv′， 特别地：(cu)′＝cu′. (3)商的导数：uv′＝u′v－v2 uv′(v≠0)
3．两函数和差求导法则的推广 (1)[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)， 此法则可推广到有限个可导函数的情形， [f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′ ＝f1′(x)±f2′(x)＋f3′(x)±…±fn′(x)． (2)[af(x)±bg(x)]′ ＝af′(x)±bg′(x)(a，b 为常数)．
(2)方法一：∵y＝2·x－2＋3·x－3， ∴y′＝(2x－2＋3x－3)′ ＝(2x－2)′＋(3x－3)′ ＝－4x－3－9x－4＝－x34＋－x49＝－x43－x94. 方法二：y′＝x22＋x33′＝x22′＋x33′ ＝2′x2－x4x2′·2＋3′·x3－x6x3′·3＝－x43－x94.
f′(x)＝(x)′lg x＋x(lg x)′
(4)
＝lg x＋x·xln110
＝lg x＋ln110
利用了导数 的乘法法则
1.求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (2)y＝xx－＋11； (3)y＝x·tanx.
解析： (1)方法一： y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9. 方法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9.