高三数学上学期期中试题理22

湖滨中学2021---2021学年第一学期期中考
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日
高三数学〔理〕试卷
考试时间是是： 2018年11月 10 日
一．选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分. 1．集合(){|lg 21}A x x =-<，集合1
{|
28}2
x B x =<<，那么A B ⋂等于〔 〕 A. ()2,12 B. ()1,3- C. ()2,3 D. ()1,12-
z 满足(1)32z i i +=-+〔i 为虚数单位〕，那么z 的实部是〔 〕
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
()()
2
2
33
2()2log (1)x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥-⎪⎩，假设()1f a =，那么a 的值是〔 〕 A ．2 B ．1 C ．1或者2 D ．1或者﹣2 4. 数列}{n a 的前n 项和为}{n S ，且)1(2+=n n a S ，那么5a = 〔 〕 A ．16- B ．32-
C ．32
D ．64-
:",ln 0"p x e a x ∀>-< 为真命题的一个充分不必要条件是〔 〕
A. 1a ≤
B. 1a <
C. 1a ≥
D. 1a >
6．角α终边上一点P 的坐标为(),3a a 〔0a ≠〕，那么
cos sin sin cos αα
αα
-+的值是〔 〕
A. 2
B. -2
C. 12
D. 1
2
-
7. 7平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0,1a b ==，那么2a b +等于〔 〕 A ．23 B ．4 C ．12 D ．16 8. 抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为
3
π
的直线与抛物线相交于两点
,A B 两点，假设8AB =，那么抛物线的方程为〔 〕
A. 2
3y x = B. 2
4y x = C. 2
6y x = D. 2
8y x =
9.?九章算术?有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为〔 〕 A ．6 B ．9 C ．12 D ．15
10K 函数()cos()(0)f x A x ωϕω=+>的局部图象如下图，下面结论错误的选项是〔 〕 A ．函数()f x 的最小正周期为
23
π
B ．函数()f x 的图象可由()cos()g x A x ω=的图象向右平移
12
π
个单位得到 C ．函数()f x 的图象关于直线12
x π
=对称
D ．函数()f x 在区间(
,)42
ππ
上单调递增 11.函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，且
2)4(-=-f ，当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有
0)
()(2
121>--x x x f x f ．那么给出以下命
题：
① 2)2008(-=f ； ②函数)(x f y =图象的一条对称轴为6-=x ； ③函数)(x f y =在[﹣9，﹣6]上为减函数； ④方程0)(=x f 在[﹣9，9]上有4个根； 其中正确的命题个数为〔 〕
A.1
B.2
C.3
D.4
12.()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，那么〔 〕
A ．4(1)(2)f f <
B ． 4(1)(2)f f >
C ．
(1)4(2)f f <
D ． (1)4(2)f f '<
二．填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.
13．假设
1
1
(2)3ln 2(1)a
x dx a x
+=+>⎰
，那么a 的值是___________.
14．α是第三象限角，且cos(α＋π)＝4
5
，那么tan 2α＝________．
ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 2=，AC s AB r CD +=，那么s r +=________.
{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，那么12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .
三．解答题：
17.〔12分〕在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. 〔1〕求cos ADB ∠；
〔2〕假设22DC =，求BC .
18.〔12分〕等比数列{}n a 中，11a =，且()24331a a a +=+． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕设32333431log log log log n n b a a a a +=+++⋅⋅⋅+，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和．
19.〔10分〕在直角坐标系
中，曲线的参数方程为
〔为参数〕，直线的参数
方程为
〔为参数〕.
〔1〕求曲线和直线的直角坐标方程； 〔2〕假设曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
20. 〔12分〕如图，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱
PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA ＝AC ＝4，AB ＝2.
(1)求证：MN ∥平面BDE ；(2)求二面角C ­EM ­N 的正弦值.
21.〔12分〕函数(1)
()ln ()a x f x x a R x
-=-
∈． 〔1〕求函数()f x 的单调区间；
〔2〕求证：∀(1,2)x ∈，不等式111ln 12
x x -<-恒成立．
22.〔12分〕在直角坐标系xoy中，曲线C：y=
2
4
x
与直线y kx a
=+(a＞0)交与M,N两点，
〔1〕当k=0时，分别求曲线C在点M和N处的切线方程；
〔2〕y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
湖滨中学2021---2021学年第一学期期中考
高三数学〔理〕试卷
一．选择题：
1．集合(){|lg 21}A x x =-<，集合1
{|
28}2
x B x =<<，那么A B ⋂等于〔 〕 A. ()2,12 B. ()1,3- C. ()2,3 D. ()1,12- 【答案】C 【解析】
()lg 21,20x x -∴- 且210,212x x -<∴<< ，所以集合
{|212}A x x =<< .
1
28,132
x x <<∴-<< , 所以集合(){|13},2,3B x x A B =-<<∴⋂=,应选C. 复数z 满足(1)32z i i +=-+〔i 为虚数单位〕，那么z 的实部是〔 〕 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A
【解析】∵(1)32z i i +=-+，∴32113i
z i i
-+=
-=+，∴z 的实部是1. ()()
22
33
2()2log (1)x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥-⎪⎩，假设()1f a =，那么a 的值是〔 〕 A ．2 B ．1 C ．1或者2 D ．1或者﹣2 【答案】A
【解析】假设2a <，那么由()1f a =得，231a -=，∴2a =．此时不成立．
假设2a ≥，那么由()1f a =得，2
3log (1)1a -=，∴2a =，应选A ．
4. 数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)1(2+=n n a S ，那么5a = 〔 〕 A ．16- B ．32- C ．32 D ．64- 【答案】B ．
【解析】当1n =时，111122,2a S a a ==+∴=-．当2n ≥时，由22n n S a =+得
1122n n S a --=+，两式作差得：12n n a a -=，∴数列{}n a 是以2-为首项，2为公比的等比
数列，∴4
52232a =-⨯=-，应选B ．
5.命题:",ln 0"p x e a x ∀>-< 为真命题的一个充分不必要条件是〔 〕 A. 1a ≤ B. 1a < C. 1a ≥ D. 1a > 【答案】B 【
解
析
】
由
题
意
得
()min ln ,ln 11
a x x e x a ∴>∴≤ ,因为
()(]()(],1,1,,1,1-∞⊂-∞-∞≠-∞ ,因此一个充分不必要条件是1a <,选B.
6．角α终边上一点P 的坐标为(),3a a 〔0a ≠〕，那么cos sin sin cos αα
αα
-+的值是〔 〕
A. 2
B. -2
C. 12
D. 12
- 【答案】D
7.平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0,1a b ==，那么2a b +等于〔 〕 A ．23 B ．4 C ．12 D ．16 【答案】A 【解析】
222
224424412cos 6012a b a b a b +=++⋅=++⨯⨯⨯=，因此223a b +=，选A.
8.抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为
3
π
的直线与抛物线相交于两点
,A B 两点，假设8AB =，那么抛物线的方程为
A. 2
3y x = B. 2
4y x = C. 2
6y x = D. 2
8y x = 【答案】C
【解析】设直线方程为:32p l y x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
，代入抛物线2
2(0)y px p =>可得22
33504
x px p -+
=，记()()1122,,,A x y B x y ，那么由抛物线的定义可得125
833
AB x x p p p p =++=+=⇒=，那么抛物线方程为26y x =，应选答案C.
9. ?九章算术?有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为〔 〕 A ．6 B ．9 C ．12 D ．15
【命题意图】此题主要考察等差数列的通项公式与前n 项和公式，是根底题. 【答案】D
【解析】由题知该女每天所织尺数等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，那么
7S =
177()
2
a a +=47a =21，所以4a =3，因为258a a a ++=53a =15，所以5a =5，所以公差54d a a =-=2，所以10a =55a d +=15，应选D.
10. 函数()cos()(0)f x A x ωϕω=+>的局部图象如下图，下面结论错误的选项是〔 〕 A ．函数()f x 的最小正周期为
23
π
B ．函数()f x 的图象可由()cos()g x A x ω=的图象向右平移12
π
个单位得到 C ．函数()f x 的图象关于直线12
x π
=对称
D ．函数()f x 在区间(
,)42
ππ
上单调递增
【答案】D
11.函数)(x f y =是R 上的偶函数，对于R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，且
2)4(-=-f ，当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有
0)
()(2
121>--x x x f x f ．那么给出以下命
题：
② 2)2008(-=f ； ②函数)(x f y =图象的一条对称轴为6-=x ； ③函数)(x f y =在[﹣9，﹣6]上为减函数； ④方程0)(=x f 在[﹣9，9]上有4个根； 其中正确的命题个数为〔 〕
A.1
B.2
C.3
D.4 【答案】D 【解析】
试题分析：令3x =-，由)3()()6(f x f x f +=+得(3)0f -=，又函数)(x f y =是R 上的偶函数，所以(3)(3)0f f =-=.(6)()f x f x +=.即函数
)(x f y =(2008)(33464)(4)f f f =⨯+=.又2)4(-=-f ，所以(4)2f =-，从而2)2008(-=f ；又函数关于y 轴对称.周期为6，所以函数)(x f y =图象的一条对称轴为
6-=x ；又当]3,0[,21∈x x ，且21x x ≠时，都有
0)
()(2
121>--x x x f x f ，设12x x <，那么
12()()f x f x <.故易知函数)(x f y =在[0,3]上是增函数.根据对称性，易知函数)
(x f y =在[3,0]-上是减函数，又根据周期性，函数)(x f y =在[﹣9，﹣6]上为减函数；因为
(3)(3)0f f =-=，又由其单调性及周期性，可知在[﹣9，9]，有且仅有
(3)(3)(9)(9)0f f f f =-==-=，即方程0)(=x f 在[﹣9，9]上有4个根.综上所述，
四个命题都正确.
12.()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，那么〔 〕
A ．4(1)(2)f f <
B ． 4(1)(2)f f >
C ． (1)4(2)f f <
D ． (1)4(2)f f '<
【答案】B 【解析】
试题分析：设函数2
()
()f x g x x
=
(0)x >，那么243
()2()()2()
()0x f x xf x xf x f x g x x x ''--'==<，所以函数()g x 在(0,)+∞为减函数，所
以(1)(2)g g <，即
22(1)(2)
12
f f >，所以4(1)(2)f f >，应选B ． 二．填空题： 13．假设
1
1
(2)3ln 2(1)a
x dx a x
+=+>⎰
，那么a 的值是___________.
【答案】2a = 【解析】
试题分析：由
22
11
1(2)(ln )|ln 13ln 2a
a x dx x x a a x +=+=+-=+⎰
，得213ln ln 2
a a ⎧-=⎨
=⎩，所以2a =．
14．α是第三象限角，且cos(α＋π)＝4
5
，那么tan 2α＝________.
解析：由cos(α＋π)＝－cos α＝45，得cos α＝－4
5，又α是第三象限角，所以sin α
＝－35，tan α＝34，故tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝24
7
.
答案：247
ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 2=，AC s AB r CD +=，那么s r +=________.
【答案】0
【解析】由题设，2222
()3333
CD CB AB AC AB AC =
=-=- 又AC s AB r CD +=，所以22
r ,033
s r s ==-⇒+=.
16.设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，那么12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 . 【答案】64
【解析】由()241313105a a qa qa q a a q +=+=+==，得1
2
q =
. 又()2
22
131111111102a a a a q a q a ⎡⎤⎛⎫+=+=+=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，得18a =.
故()1
4
*
11822n n n a n --⎛⎫
⎛⎫==∈ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
N .
解法一：由1n a ，得4
112n -⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，得4n
，且41a =.故当3n =或者4时，12n a a a 获
得最大值， 即()321
12
1231234max
11164222n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
解法二：()
()21172
012122
12
1
182
2n n n n n n n
n a a a a q
--+++++-⎛⎫==⋅= ⎪
⎝⎭
.故当3n =或者4时，
12n a a a 获得最大值6264=.
三．解答题：
17.在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. 〔1〕求cos ADB ∠；
〔2〕假设22DC =BC .
解析：〔1〕在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin BD AB
A ADB
=
∠∠ . 即
52
sin 45sin ADB
=
∠ 所以2
sin 5
ADB ∠=
由题设知，90ADB ∠<，所以223cos 1sin 5
ADB ADB ∠=-∠=. 〔2〕由题设及〔1〕知，2cos sin 5
BDC ADB ∠=∠= 在BCD ∆中，由余弦定理得
2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠
2
2582522255
=+-⨯⨯⨯
= 所以5BC =.
18. 等比数列{}n a 中，11a =，且()24331a a a +=+． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕设32333431log log log log n n b a a a a +=+++⋅⋅⋅+，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和． 【答案】〔1〕13n n a -=；〔2〕21
n
n +． 【解析】
试题解析：〔1〕设数列{}n a 的公比为q ，由()24331a a a +=+， 得()
3231q q q +=+，∴3
2
330q q q +--=，
∴()()221310q q q +-+=，∴3q =，所以13n n a -=
〔2〕()
3233311log log log 1232
n n n n b a a a n ++=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=
故
()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
12111111111122211223111n n b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为21n n +．
19. 在直角坐标系
中，曲线的参数方程为
〔为参数〕，直线的参数方程为
〔为参数〕.
〔1〕求曲线和直线的直角坐标方程； 〔2〕假设曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【答案】〔1〕当时，的直角坐标方程为，当
时，的直角
坐标方程为
．〔2〕
【解析】〔1〕曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当
时，的直角坐标方程为
．
〔2〕将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，那么
．
又由①得
，故
，于是直线的斜率
．
20. 如图，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，
BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA ＝AC ＝4，AB ＝2.
(1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)求二面角C ­E M ­N 的正弦值.
解：由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→
，
AP ―→
方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如下图的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，
B (2，0,0)，
C (0,4,0)，P (0,0,4)，
D (0,0,2)，
E (0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)．
(1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→
＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 那么⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·DE ―→＝0，
n ·DB ―→＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
2y ＝0，
2x －2z ＝0.
不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)． 又MN ―→＝(1,2，－1)，可得MN ―→
·n ＝0. 因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE .
(2)易知n 1＝(1,0,0)为平面CE M 的一个法向量． 设n 2＝(x 1，y 1，z 1)为平面E MN 的法向量， 又EM ―→＝(0，－2，－1)，MN ―→
＝(1,2，－1)， 那么⎩⎪⎨
⎪⎧
n 2·EM ―→＝0，
n 2·MN ―→＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2y 1－z 1＝0，
x 1＋2y 1－z 1＝0.
不妨取y 1＝1，可得n 2＝(－4,1，－2)．
因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－4
21
，
于是sin 〈n 1，n 2〉＝
10521
. 所以二面角C ­E M ­N 的正弦值为
105
21
. 21. 函数(1)
()ln ()a x f x x a R x
-=-
∈． 〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间；
〔Ⅱ〕求证：∀(1,2)x ∈，不等式
111ln 12
x x -<-恒成立．
【答案】〔Ⅰ〕0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，0a >时，当(0,)x a ∈时，()f x 在
(0,)a 单调递减．()f x 在(,)a +∞单调递增；〔Ⅱ〕证明见解析．
【解析】
〔Ⅰ〕()f x 的定义域为(0,)+∞，
/2()x a
f x x -=
①假设
/
0,()0a f x ≤>，()f x 在(0,)+∞上单调递增 ②假设0a >，当(0,)x a ∈时，/
()0f x <，()f x 在(0,)a 单调递减． 当(,)x a ∈+∞时，/
()0f x >，()f x 在(,)a +∞单调递增．
〔Ⅱ〕
111
1 2 ln 12x x x <<∴
-<
-等价于(1)ln 2(1)0x x x +-->
令()(1)ln 2(1)F x x x x =+--，那么
/(1)1
()ln 2ln 1x F x x x x x +=+
-=+-
由〔Ⅰ〕知，当1a =时
min ()(1)0f x f ==，()(1)f x f ∴>，即
1
ln 10x x +
-≥.
所以/
()0F x ≥，那么()F x 在(1,2)上单调递增，所以()(1)0F x F >=
即
111
1 2 ln 12x x x <<-<-有时
22. 在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2
4
x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，
〔Ⅰ〕当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
〔Ⅱ〕y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】
0y a --=
0y a ++=〔Ⅱ〕存在 【解析】
〔Ⅰ〕由题设可得)M a
，()N a -
，或者()M a -
，)N a .
∵1
2
y x '=，故24x y =在x
=
C
在,)a 处的切线方程为
(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.
故2
4x y =在x =-22a 处的到数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为
(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.
故所求切线方程为0ax y a --=或者0ax y a ++=. ……5分
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日。