高中数学北师大版选修2-1课时作业3.1.4 椭圆的简单性质(2) Word版含解析

第三章§课时作业
一、选择题
．设(，)是椭圆＋＝上的一个动点，定点()，则的最大值是( )
．．
．．
解析：＝(－)＋＝(－)＋－＝－＋＝(－)＋
∵－≤≤，∴当＝－时，＝.
答案：
．已知、分别是椭圆＋＝的左、右焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠＝∠，则这个椭圆的离心率是( )
．－．＋
．．
解析：由题意可知△构成直角三角形
且∠＝°，∠＝°，＝，
则＝，＝，
所以由椭圆的定义知，
＋＝，即＋＝，
得离心率＝＝－.故选择.
答案：
．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为，，则椭圆＋＝的离心率>的概率是( ) ．．
．．
解析：＝>⇒<⇒>，
符合>的情况有：
当＝有＝四种情况；
当＝时，有＝两种情况，
总共有种情况，则概率为＝.故选择.
答案：
．如图所示，椭圆中心在坐标原点，离心率为，为椭圆左焦点，直线与交于点，则∠的正切值是( )
．－．－
．．＋
解析：设椭圆的方程为＋＝(>>)，则(，)，(－)，(，－)，(－)．
∵＝，＝－，
∴∠＝＝＝.
∵＝＝，∴＝，∴＝，
∴∠＝＝.
答案：
二、填空题
．已知椭圆＋
＝的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为．
解析：∵椭圆方程为＋＝，∴＝，＝，＝.
若直角三角形的直角顶点为，当在短轴两个端点位置时，∠最大，此时∠＝＝>，即∠最大时为锐角．
∴直角顶点在或上，不妨设⊥，
设(－，)，则＋＝，∴＝，∴＝.
答案：
．已知椭圆＋
＝，为椭圆的左焦点，()为椭圆内的点，是椭圆上任意一点，则－的最大值为．解析：的坐标为(－)，点在椭圆上移动，若与、不共线，则在△中，－<，当点与、共线时，且点在的延长线上时，－＝，此时－取最大值，即为的值，由、的坐标，得＝.
答案：
．已知点(－)，()是椭圆＋＝的两焦点，为椭圆上的点，∠＝α，当α＝时，△的面积最大，则＝，＝.
解析：如图所示，点在椭圆上变化时，△＝··，∴当取最大时，
即点为椭圆短轴端点时，△最大，则∠＝，＝，
＝＝＝，＝＝＝，由已知＝，＝，解得＝，＝.
答案：
三、解答题
．如图所示，已知椭圆＋＝，在椭圆上求一点，使到直线：－＋＝的距离最小，并求。