人教版初中数学九年级上册第三次月考试题(湖南省长沙市雨花区广益实验中学

2011-2012学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（上）第三次月考数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡
中填涂符合题意的选项．本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（）
A．内切B．相交C．外切D．外离
2．（3分）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）
A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+4
3．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A的度数等于（）
A．60°B．50°C．40°D．30°
4．（3分）与图中的三视图相对应的几何体是（）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径长为（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0 7．（3分）若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（）
A．80°B．60°C．70°D．150°
8．（3分）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（）
A．逐渐变短B．逐渐变长
C．先变短后变长D．先变长后变短
9．（3分）如图，某游乐场一滑梯长为l，滑梯的坡角为α，那么滑梯的高h的长为（）
A．B．l•tanαC．l•cosαD．l•sinα10．（3分）如图，已知∠ACP＝∠ABC，AC＝4，AP＝2，则AB的长为（）
A．8B．3C．16D．4
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若圆锥的母线长为3cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面展开图的面积cm2．
12．（3分）如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°﹣α）的值为．13．（3分）抛物线y＝ax2过点（1，﹣1），则抛物线的解析式为．14．（3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A＝．
15．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则∠B的度数是．16．（3分）顺次连接三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是．
17．（3分）如图，身高为1.6米的学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2米，BC＝8米，则旗杆的高度是米．
18．（3分）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出++
+…+＝．
三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：4sin30°﹣（π﹣3.14）0+tan45°﹣2cos60°
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝BC，过点B作BD⊥AC，AB＝5，AC＝8，求sin∠DBC，tan A的值．
四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）如图，甲船在港口P的北偏西60°方向，距港口80海里的A处，沿AP方向以10海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．（1）此时，甲乙两船相距多远？
（2）求乙船的航行速度．（结果保留根号）
22．（8分）如图，直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC＝∠AEB．
（1）求证：△ADF∽△CAE；
（2）当AD＝8，DC＝6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求BC的长？
五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DC＝3，tan∠DAC＝，求⊙O的面积（结果保留π）．
24．（9分）浏阳市某花炮厂销售某种传统产品所得累计利润s1从2011年1月份为11万元时开始与销售时间t（月）成直线下降，且每月比上一个月减少1万元．此前，为了顺应市场要求，技术部研制开发了一种新产品，这种新产品2011年年初上市后，为该厂创造利润经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该厂年初以来销售新产品所得累积利润s2（万元）与销售时间t（月）之间的关系．（注意：累计利润就是前t个月的利润的总和）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求s1、s2（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）截止到几月末花炮厂销售新产品的累积利润可达到30万元？
（3）求第8个月公司新产品所获利润是多少万元？
六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM ＝4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，
垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连接DE，DF．
（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由；
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
26．（10分）已知抛物线y＝﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2011-2012学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年
级（上）第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡
中填涂符合题意的选项．本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（）
A．内切B．相交C．外切D．外离
【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．
外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
【解答】解：根据题意，得
R+r＝5+1＝6＝圆心距，
∴两圆外切．
故选：C．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．
2．（3分）把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）
A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+4
【分析】抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．
【解答】解：把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2+4．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，
故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A的度数等于（）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，
∴∠A＝∠BOC＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
4．（3分）与图中的三视图相对应的几何体是（）
A．B．
C．D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、主视图为长方形上面一个三角形，左视图为长方形上面一个三
角形，俯视图为两个同心圆及圆心，错误；
B、主视图为长方形上面一个三角形，左视图为长方形上面一个三角形，俯视图
为正方形里面有一个圆及圆心，正确；
C、主视图为长方形上面一个长方形，左视图为长方形上面一个长方形，俯视图
为正方形里面有一个圆，错误；
D、主视图为长方形上面一个长方形，左视图为长方形上面一个长方形，俯视图
为两个同心圆，错误．
故选：B．
【点评】本题考查了根据几何体的三种视图得到实物．
5．（3分）如图，⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的半径长为（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】首先过点O作OC⊥AB于C，连接OA，由垂径定理，即可求得AC的长，然后在Rt△AOC中，利用勾股定理即可求得⊙O的半径长．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，连接OA，
∴OC＝3cm，AC＝AB＝×8＝4（cm），
∴在Rt△AOC中，OA＝＝5cm．
故选：C．
【点评】此题考查了垂径定理．此题比较简单，解题的关键是利用垂径定理的知识构造直角三角形，然后利用勾股定理求解．
6．（3分）二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠0
【分析】利用kx2﹣6x+3＝0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，
即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．
故选：D．
【点评】考查二次函数与一元二次方程的关系．
7．（3分）若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（）
A．80°B．60°C．70°D．150°
【分析】由如图所示的两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得答案．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝150°，
∵∠B′＝∠B＝60°，∠C′＝∠C＝80°，
∴∠α＝360°﹣∠A′﹣∠B′﹣∠C′＝70°．
故选：C．
【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等定理的应用．
8．（3分）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（）
A．逐渐变短B．逐渐变长
C．先变短后变长D．先变长后变短
【分析】根据中心投影的特点：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．进行判断即可．【解答】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，所以他在地上的影子先变短后变长．
故选：C．
【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：
①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离
点光源远的物体它的影子长；
②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点
光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
9．（3分）如图，某游乐场一滑梯长为l，滑梯的坡角为α，那么滑梯的高h的长为（）
A．B．l•tanαC．l•cosαD．l•sinα
【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【解答】解：∵sin a＝，
∴h＝•sinα．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键．
10．（3分）如图，已知∠ACP＝∠ABC，AC＝4，AP＝2，则AB的长为（）
A．8B．3C．16D．4
【分析】根据相似三角形的判定推出△ACP∽△ABC，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵∠ACP＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
∴＝，
∵AC＝4，AP＝2，
∴＝，
∴AB＝8，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，能根据相似三角形的判定定理推出△ACP∽△ABC是解此题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）若圆锥的母线长为3cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面展开图的面积6πcm2．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，其半径等于圆锥的母线长．即：r＝3 cm．扇
＝×3×4π＝形的弧长等于圆锥底面周长．周长l＝4πcm，所以S
侧
6πcm2．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
12．（3分）如果α是锐角，且sinα＝，那么cos（90°﹣α）的值为．【分析】根据一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sin A＝cos（90°﹣∠A）求解可得．
【解答】解：∵α是锐角，
∴sinα＝cos（90°﹣α），
则cos（90°﹣α）＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查互余两角三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sin A＝cos（90°﹣∠A）．
13．（3分）抛物线y＝ax2过点（1，﹣1），则抛物线的解析式为y＝﹣x2．【分析】由二次函数图象上一点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，此题得解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2过点（1，﹣1），
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2．
故答案为：y＝﹣x2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．14．（3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A＝．
【分析】在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解．【解答】解：在直角△ABD中，BD＝1，AB＝2，
则AD＝＝＝，
则sin A＝＝＝．
故答案是：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为
对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
15．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝，则∠B的度数是30°．【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：
∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝，
∴tan B＝＝＝，
故∠B＝30°．
故答案为：30°．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．16．（3分）顺次连接三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是1：2．
【分析】根据三角形中位线定理和相似三角形的性质定理得到构成的三角形与原三角形相似，相似比是1：2，根据相似三角形的性质解答．
【解答】解：根据中位线的性质可知，顺次连接三角形三边的中点所成的线段，都是对应边的一半．
所以所构成的三角形与原三角形相似，且相似比是1：2，
所以新三角形与原三角形的对应高的为：1：2，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查是相似三角形的性质、三角形中位线定理，解题的关键是掌握相似三角形的对应边上的高的比等于相似比．
17．（3分）如图，身高为1.6米的学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2米，BC＝8米，则旗杆的高度是8米．
【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
【解答】解：设旗杆高度为h，
由题意得＝，
解得：h＝8米．
故答案为：8．
【点评】本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
18．（3分）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、
B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出++ +…+＝1﹣．
【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
【解答】解：∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，
且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C的面积为1×．
∴四边形A1ABB1的面积＝△ABC的面积﹣△A1B1C的面积＝＝1﹣；
∴四边形A2A1B1B2的面积＝△A1B1C的面积﹣△A2B2C的面积＝﹣＝．…，
∴第n个四边形的面积＝＝．
故+++…+＝（1﹣）+（﹣）+…+（）＝1﹣．故答案为：，1﹣．
【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：4sin30°﹣（π﹣3.14）0+tan45°﹣2cos60°
【分析】直接利用零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：4sin30°﹣（π﹣3.14）0+tan45°﹣2cos60°
＝4×﹣1+1﹣2×
＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝BC，过点B作BD⊥AC，AB＝5，AC＝8，求sin∠DBC，tan A的值．
【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的解法解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝BC，过点B作BD⊥AC，
∴AD＝DC＝4，∠DBA＝∠DBC，
在Rt△ABD中，BD＝，
∴sin∠DBC＝sin∠DBA＝，tan A＝．
【点评】此题考查解直角三角形，关键是根据等腰三角形的性质解答．
四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）如图，甲船在港口P的北偏西60°方向，距港口80海里的A处，沿AP方向以10海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．（1）此时，甲乙两船相距多远？
（2）求乙船的航行速度．（结果保留根号）
【分析】（1）2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，作PQ⊥BC于Q，由已知可得BC⊥PQ，∠BPQ＝60°，∠CPQ＝30°，BP＝80﹣20＝60海里，解直角三角形求出BQ，QC即可
（2）要求乙船的航行速度，即是求PC的长，可先在直角三角形BPQ中利用三角函数求出PQ，然后利用三角函数求出PC即可．
【解答】（1）解：2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，作PQ⊥BC于Q，则BP＝80﹣2×10＝60海里，
在Rt△PQB中，∠BPQ＝60°
∴PQ＝BP cos60°＝60×＝30，BQ＝30，
在Rt△PQC中，∠QPC＝45°，
∴PQ＝QC＝30，
∴BC＝BQ+CQ＝（30+30）海里．
答：甲乙两船相距（30+30）海里．
（2）设乙船速度为x海里/时，
∵PQ＝PC•cos45°＝•2x＝x
∴x＝30，
∴x＝15．
答：乙船的航行速度约为15海里/时．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（8分）如图，直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC＝∠AEB．
（1）求证：△ADF∽△CAE；
（2）当AD＝8，DC＝6，点E、F分别是BC、AC的中点时，求BC的长？
【分析】（1）由题意可得∠DAC＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，即可证△ADF∽△CAE；
（2）由勾股定理可求AC＝10，由△ADF∽△CAE可得，即可求EC的长度，即可求BC的长度．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC
∴∠DAC＝∠ACE
∵∠DFC＝∠AEB
∴∠AFD＝∠AEC且∠DAC＝∠ACE
∴△ADF∽△CAE
（2）∵AD＝8，DC＝6，∠ADC＝90°
∴AC＝＝10
∵点F是AC中点
∴AF＝5
∵△ADF∽△CAE
∴
即
∴CE＝
∵点E是BC中点
∴BC＝2CE＝
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键．
五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DC＝3，tan∠DAC＝，求⊙O的面积（结果保留π）．
【分析】（1）由题意可得∠DAC＝∠ACO，即OC∥AD，可得∠ADC＝∠OCD ＝90°，即可证DE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥AC于点F，由题意可求AD和AC的长度，可证△ADC∽△AFO，即可求AO的长度，即可求⊙O的面积．
【解答】证明：（1）连接OC
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA
∵AC平分∠DAO
∴∠DAC＝∠CAO
∴∠DAC＝∠ACO
∴AD∥OC
∴∠ADC＝∠OCD＝90°
∵∠OCD＝90°，OC是半径
∴DE是⊙O的切线
（2）如图：过点O作OF⊥AC于点F
∵DC＝3，tan∠DAC＝＝，
∴AD＝4
在Rt△ADC中，AC＝＝5
∵OF⊥AC
∴AF＝AC＝
∵∠DAC＝∠CAO，∠ADC＝∠AFO＝90°∴△ADC∽△AFO
∴即
∴AO＝
∴⊙O的面积＝π×AO2＝π
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
24．（9分）浏阳市某花炮厂销售某种传统产品所得累计利润s1从2011年1月份为11万元时开始与销售时间t（月）成直线下降，且每月比上一个月减少1万元．此前，为了顺应市场要求，技术部研制开发了一种新产品，这种新产品2011年年初上市后，为该厂创造利润经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该厂年初以来销售新产品所得累积利润s2（万元）与销售时间t（月）之间的关系．（注意：累计利润就是前t个月的利润的总和）．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）分别求s1、s2（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）截止到几月末花炮厂销售新产品的累积利润可达到30万元？
（3）求第8个月公司新产品所获利润是多少万元？
【分析】（1）根据已知条件得到s1与时间t（月）之间的函数关系式，由已知图象上的三点坐标，设二次函数解析式为s2＝at2+bt+c，列方程组，求解析式；（2）求二次函数最大值，可以用公式法或者配方法；
（3）第8个月公司所获利润＝第8个月公司累积利润﹣第7个月公司累积利润．【解答】解：（1）设s1＝kt+b，
把（1，11），（2，10）代入得，，
解得：，
∴s1（万元）与时间t（月）之间的函数关系式为：s1＝﹣t+12；
设二次函数解析式为s2＝at2+bt+c，
∵图象经过（0，0），（4，0），（2，﹣2）
由题意，得，
解得，
∴s2＝t2﹣2t（t≥0）；
（2）当s＝30时，30＝t2﹣2t，
解得t1＝﹣6（不合题意，舍去），t2＝10，
∴截止到10月末花炮厂累积利润达30万元；
（3）当t＝8时，s1＝×82﹣2×8＝16（万元）
当t＝7时，s2＝×72﹣2×7＝10.5（万元）
∴第8个月公司利润为s1﹣s2＝16﹣10.5＝5.5（万元）．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM ＝4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连接DE，DF．
（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由；
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求
出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
【分析】（1）有AB∥DG，即可直接得到两个三角形相似．
（2）两个三角形的周长之和是定值．利用勾股定理可求出BM＝3，又因为Rt △BEF∽Rt△BAM，令BE＝x，那么根据相似比，可用含x的代数式分别表示EF，BF，同样在△CEG中，令CE＝y，可用含y的代数式表示CG，EG，又x+y＝10，那么能求出两三角形的周长和是（x+y）＝24．
（3）利用相似比、勾股定理可得EF＝x，CG＝（10﹣x），那么利用三角形的面积公式，可得到y与x的关系式，再根据二次函数求最大值来求即可．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DG，
所以∠B＝∠GCE，∠G＝∠BFE，
所以△BEF∽△CEG．
（2）解：△BEF与△CEG的周长之和为定值．
理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．
所以FH＝CG，FG＝CH，
因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，
∵∠B＝∠B，∠AMB＝∠BHC＝90°
∴△ABM∽△CBH，
∴
由BC＝10，AB＝5，AM＝4，
可得CH＝8，
∴BH＝6，
所以BC+CH+BH＝24；
理由二：由AB＝5，AM＝4，可知：
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：EF＝BE，BF＝BE，GE＝EC，GC＝CE，所以，△BEF的周长是BE，△ECG的周长是CE，
又BE+CE＝10，因此△BEF与△CEG的周长之和是24．
（3）解：设BE＝x，则EF＝x，GC＝（10﹣x），
所以y＝EF•DG＝•x[（10﹣x）+5]＝﹣x2+x，
配方得：y＝﹣（x﹣）2+．
所以，当x＝时，y有最大值．
最大值为．
【点评】本题利用了被两条平行线所截的两个三角形相似，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，二次函数求最大值的问题．26．（10分）已知抛物线y＝﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线y＝﹣ax2+2ax+b的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与x轴的另一交点与A关于对称轴对称，因而交点就可以求出．
（2）AB的长度可以求出，连接PC，在直角三角形OCP中，根据勾股定理就可以求出C点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式．（3）本题应分AC或BC为对角线和以AB为对角线三种情况进行讨论，当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．就可以求出点M的坐标．当以AB为对角线时，点M在x轴下方易证△AOC≌△BNM，可以求出点M的坐标．
【解答】解：（1）对称轴是直线：x＝1，点B的坐标是（3，0）．（2分）
说明：每写对1个给（1分），“直线”两字没写不扣分．
（2）如图，连接PC，
∵点A、B的坐标分别是A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4．
∴PC＝AB＝×4＝2
在Rt△POC中，
∵OP＝P A﹣OA＝2﹣1＝1，
∴OC＝，
∴b＝（3分）
当x＝﹣1，y＝0时，﹣a﹣2a+＝0
∴a＝（4分）
∴y＝﹣x2+x+．（5分）
（3）存在．（6分）理由：如图，连接AC、BC．
设点M的坐标为M（x，y）．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．由（2）知，AB＝4，
∴|x|＝4，y＝OC＝．
∴x＝±4．
∴点M的坐标为M（4，）或（﹣4，）．（9分）
说明：少求一个点的坐标扣（1分）．
②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．
过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90度．
∵四边形AMBC是平行四边形，
∴AC＝MB，且AC∥MB．
∴∠CAO＝∠MBN．
∴△AOC≌△BNM．
∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．
∵OB＝3，
∴0N＝3﹣1＝2．
∴点M的坐标为M（2，﹣）．（12分）
综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．
其坐标为M1（4，），M2（﹣4，），M3（2，﹣）．
说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分
【点评】本题主要考查了抛物线的轴对称性，是与勾股定理相结合的题目．难度较大．。