高中数学《导数及其应用》同步练习新人教A版选修

第三章 导数及其应用 单元测试
A 组题（共100分） 选择题（每题7分）
1.函数x x x f 62)(3
-=的“临界点”是 A ．1
B.1- C ．1-和1
D. 0
2．函数x x x x f --=2
3
)(的单调减区间是 A ．（)3
1
,-∞-
B.),1(∞ C ．（)31
,-∞-，),1(∞ D.)1,3
1(-
3.0x 为方程0)(='x f 的解是0x 为函数f(x)极值点的
A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是
5.福建炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x 小时时，原油温度（单位：)0
C 为)50(83
1)(23
≤≤+-=x x x x f ，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是 A ．8
B.
3
20
C ．1-
D. 8-
二．填空（每题6分） 6．函数221ln )(x x x f -
=在[]2,2
1
上的极大值是 . 7．函数))2,0((cos 5)(π∈++=x x x x f 的单调增区间是 . 8．函数])2,0[(82
3)(2
3
∈+-
=x x x x f 的最小值是 . 9．已知函数)0(2)(3>+=a x ax x f ,则)(x f 单调递增区间是 . 三．解答题（13+14+14）
10．已知函数1
)(3
+=x x x f ，定义域为（-2，-1）,求)(x f 的极小值.
11．已知0>m ，函数mx x x f -=3
)(在),2[∞上是单调函数，求m 的取值范围
.
A
B
C
D
12. 2007年9月5日生效的一年期个人贷款利率为7.29%,小陈准备购买一部汽车,购车一年后一次性付清车款,这时正好某商业银行推出一种一年期优惠贷款业务,年利率为x ，且 x ∈（0.045,0.062）,贷款量与利率的平方成正比,因此,小陈申请这种一年期优惠贷款. (1)写出小陈应支付的利息)(x h ;
(2) 一年期优惠利率x 为多少时,利息差最大?
B 组题（共100分）
一．选择题（每题7分）
13．若函数)(x f 在R 上是一个可导函数，则0)(>'x f 在R 上恒成立是)(x f 在区间
),(∞-∞内递增的
A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
14．某产品的销售收入1y (万元)是产量x (千台)的函数：2
117x y =，生产总成本2y (万元)也是产量x (千台)的函数；)0(22
3
2>-=x x x y ，为使利润最大，应生产 A ．6千台
B. 7千台 C ．8千台
D.9千台
15．函数x
e x
x f -
=)( ()1<<b a ,则 A ．)()(b f a f = B. )()(b f a f <
C ．)()(b f a f > D.)(),(b f a f 大小关系不能确定
16．函数b bx x x f 36)(3
+-=在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是 A.（0，1） B.（-∞，1） C.（0，+∞） D.（0，
2
1） 17．)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，0)()()()(<'+'x g x f x g x f 且0)()(,0)2(<=-x g x f f 则不等式的解集为 （ ） A ．（－2，0）∪（2，+∞） B ．（－2，0）∪（0，2） C ．（－∞，－2）∪（2，+∞） D ．（－∞，－2）∪（0，2）
二．填空：（每题6分）
18. 设1=x 与2=x 是函数x bx x a x f ++=2
ln )(的两个极值点.则常数a = . 19．函数ax x x f -=3
)(在[1，+∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是____________. 20．在半径为6的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.
21．设某种产品的成本与产量x 的函数关系是5116182
3++-=x x x y ,则产量为 时,该产品的边际成本最小. 三．解答题（13+14+14） 22．已知函数x x
a
ax x f ln 2)(--
=)0(≥a ，
若函数)(x f 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；
23．已知二次函数经过点（2，4），其导数经过点（0，-5）和（2，-1），当（）时，是整数的个数记为。

求数列的通项公式；
24、如图,一水渠的横断面是抛物线形，O 是抛物线的顶点,口宽EF=4米，高3米 建立适当的直角坐标系，求抛物线方程.
现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD ，要求高度不变，只挖土，不填土，求梯形ABCD 的下底AB 多大时，所挖的土最少？
C 组题（共50分）
25.若a ＞3，则函数)(x f =12
3
+-ax x 在(0，2)内恰有________个零点. 26．函数x
x
x f sin )(=
，则 A ．)(x f 在),0(π内是减函数 B. )(x f 在),0(π内是增函数
C ．)(x f 在)2
,2(π
π-
内是减函数
D. )(x f 在)2
,2(π
π-
内是增函数 27.已知b a ,为实数，且e a b >>,其中e 为自然对数的底，求证：a
b
b a > 28. 已知函数x x x f k
ln 2)1()(2
⋅--=)(*
N k ∈。

（1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）k 是偶数时，正项数列}{n a 满足11=a ，n
n n a a a f 3
)('21-=+，求}{n a 的通项公式；
参考答案
A 组题（共100分）
1．C 2.D 3.D 4.D 5.C 6.21-
7. (0,2)π 8.2
15
9.),(∞-∞ 10．极小值
4
27
11.0<12≤m
12.解：（1）由题意，贷款量为2kx (k )0>，应支付利息)(x h =3
2kx x kx =⋅ （2）小陈的两种贷款方式的利息差为 )062.0,045.0(,0729.03
2
∈-=x kx kx y
2
31458.0kx kx y -=' 令y '=0，解得0=x 或0486.0=x 当0)062.0,0468.0(;0)0486.0,045.0(<'∈>'∈y x y x 时，当时，
所以，0468.0=x 时，利息差取得极大值，即一年期优惠利率为4.68%时,利息差最大. B 组题（共100分）
13.A 14.A 15. C 16. D 17.A
18．3
2
-
=a 19. 3 20．9 21.6 22．解： x x
a a x f 2
)(2-+='∴
要使函数)(x f 在定义域),0(+∞内为单调函数，则在),0(+∞内)(x f '恒大于0或恒小于0，
当02
)(0<-
='=x
x f a 时，在),0(+∞内恒成立； 当时，0>a 要使01)11()(2>-+-='a a a x a x f 恒成立，则01
≥-a
a ，解得1≥a
所以a 的取值范围为1≥a 或0=a
23.解：设，将点（2，4）代入后，得4a+2b+c ＝4 ,将点（0，-5）和（2，-1）分别代入，得 b=-5,4a+b=-1 解得，c=10
所以
在（1，2］上的值域为［4，6），所以 在（2，3］上的值域为（，4］，所以 当时，在（n ，n ＋1］上单调递增，其值域为（］ 所以
所以
24.（1）解：如图 以O 为原点，AB
为X 轴，建立平面直角坐标系， 则F （2，3），设抛物线的方程是
x
)0(22>=p py x
因为点F 在抛物线上，所以
3
2,3222=
⨯=p p 所以抛物线的方程是
y x 3
4
2=
……………………4分 (2) 解：等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ，线段AB 的中点O 是抛物线的顶点，AD ，AB ，BC 分别与抛物线切于点M ，O ，N
x y 2
3
=
'，设),(00y x N ，)0(0>x ，则抛物线在N 处的切线方程是 )(23000x x x y y -=-，所以)3,24(),0,21
(0
2
00x x C x B +，……………………8分
梯形ABCD 的面积是
,
262)
2
(3)42(233)4(21min 0000002
00==+=+=⨯++=S x x x x x x x x S 时，当且仅当 ……………………10分 答：梯形ABCD 的下底AB=2米时，所挖的土最少.
C 组题（共50分） 25. 1 26.A
27. 设f (x )=
x x
ln (x ＞e )，则f ′(x )=2
ln 1x x -＜0, ∴函数f (x )在(e ,+∞)上是减函数，又∵e ＜a ＜b ,
∴f (a )＞f (b ),即b
b a a ln ln >
,∴a b ＞b a
. 28．解：
（1）函数)(x f 的定义域是),0(+∞，k 是奇数时，x x x f ln 2)(2
+=，x
x x f 22)('+
=，),0(+∞∈x 时，0)('>x f 。

∴k 是奇数时，)(x f 在区间),0(+∞内是增函数。

k 是偶数时，x x x f ln 2)(2-=，x
x x f 2
2)('-
=，),1(+∞∈x 时，0)('>x f ，)1,0(∈x 时，0)('<x f 。

∴k 是偶数时，)(x f 在区间),1(+∞内是增函数，)(x f 在区间)1,0(内是减函数；
（2）k 是偶数时，x x x f 2
2)('-=，n n n a a a f 3)('21-=+，
∴n
n
n n a a a a 3222
1
-=-+ 化简得12212-=+n n a a ，1)1(22
12+=++n n a a ∴}1{2
+n
a 是以2为首项，公比2=q 的等比数列， ∴n n n
a 222112
=⨯=+- Θ0>n a )(*N n ∈ ∴12-=n n a。