数学(文)专题提分训练：空间几何体的结构、三视图和直观图(含答案解析)

空间几何体的结构、三视图和直观图
高考试题
考点一 空间几何体的结构
1.(2013年辽宁卷,文10）已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12，则球O 的半径为( ） (A ）3
172
(B)210 （C ）132
（D)3
10
解析：如图所示，由题得BC=5,
BO 2=52
，OO 2=6，
则球O 的半径 2
2562⎛⎫+ ⎪⎝⎭
169413
2
. 故选C.
答案:C
2.（2012年福建卷，文4）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( ）
(A ）球 （B ）三棱锥 （C ）正方体 (D ）圆柱 解析：球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A 和C;当三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等时,其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B,不论圆柱如何放置,其三视图的形状都不会完全相同。

答案:D
3.（2010年辽宁卷,文16）如图，网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .
解析：由三视图知多面体为四棱锥，底面为边长为2的正方形，有一条长度为2的侧棱垂直于底面,因此最长的一条棱长为()
222
222
++=23.
答案:23
考点二空间几何体的三视图与直观图
2. (2013年山东卷，文4）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形,其正（主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是（）
（A）45，8 (B）45,8
3
(C)4(5+1）,8
3
(D)8，8
解析:如图所示，四棱锥的直观图,
分别取底边AD、BC中点E、F，则△PEF即对应正视图，由正视图数据知,四棱锥高h=2。

则V=1
3×2×2×2=8
3
,
侧面△PBC底边BC上高5则S△PBC=1
2
×2×55
即四棱锥侧面积为45。

故选B。

答案：B
2.(2013年新课标全国卷Ⅱ，文9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1，0,1)，
(1,1，0）,(0,1,1)，（0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以
为( )
解析:在空间直角坐标系中作出四面体OABC的直观图如图所示,作顶点A、C在zOx平面的投影是A′，C′,可得四面体的正视图。

故选A.
答案：A
3。

(2013年四川卷，文2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（)
(A）棱柱
（B）棱台
(C)圆柱
（D）圆台
解析:由正视图、侧视图可排除选项A、C,由俯视图可排除B.故选D.答案：D
4.（2013年湖南卷，文7）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )
（A)3
2（B）1 (C）21
2
(D）2
解析:由题意正方体的侧视图与正视图是全等的矩形，则正视图的面积也等于2。

故选D。

答案：D
5。

(2012年湖南卷,文4)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( ）
解析：根据几何体的三视图知识求解。

由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线,因此俯视图不可能是选项D。

答案:D
6。

（2012年陕西卷,文8）将正方体（如图（1）所示)截去两个三棱锥,得到如图(2）所示的几何体,则该几何体的左视图为（)
解析：还原正方体后,将D1，D,A三点分别向正方体右侧面作垂线。

D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.
答案:B
7。

(2011年新课标全国卷,文8）在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为（）
解析：由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D.
答案：D
8。

（2011年浙江卷，文7)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析:由题意知,选项A、C中所给的几何体的正视图、俯视图不符合要求,选项D中所给几何体的侧视图不符合要求。

故选B.
学必求其心得，业必贵于专精
答案:B
9。

（2010年课标全国卷,文15)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的（填入所有可能的几何体前的编号）.
①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥
⑥圆柱
解析：①显然三棱锥满足条件；②四棱锥，若底面是矩形，有一侧棱垂直于底面可以得正视图为三角形；③三棱柱,把侧面水平放置，底面正对着视线得正视图为三角形;④四棱柱,不论从哪个方向看都得不出三角形;⑤圆锥的底面水平放置，正视图是三角形;⑥圆柱从不同方向看是矩形或圆,不可能是三角形.
答案：①②③⑤
考点三根据几何体的三视图求其表面积
1。

（2013年重庆卷,文8）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
(A)180 （B）200 (C）220 （D）240
解析：由三视图知该几何体是四棱柱,底面为梯形，梯形的两腰长均
×（2+8)×4=40，4个侧面的面为5，两个底面的面积之和为2×1
2
积和为（2+5+5+8)×10=200,所以几何体的表面积为240。

故选D.答案：D
2。

（2012年北京卷，文7)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( ）
（A）28+65
(B）30+65
(C)56+125
（D)60+125
解析:根据几何体的三视图画出其直观图,利用直观图的图形特征求其表面积.
由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示,
其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD,且CD=4，BD=5，BE=2，ED=3，AE=4。

∵AE=4，ED=3，∴AD=5.
又CD⊥BD,CD⊥AE,则CD⊥平面ABD，
故CD⊥AD,所以AC=41且S△ACD=10.
在Rt△ABE中，AE=4,BE=2，故AB=25.
在Rt△BCD中,BD=5，CD=4，
故S△BCD=10，且BC=41.
在△ABD中,AE=4,BD=5，故S△ABD=10.
在△ABC中,AB=25，BC=AC=41，
×56=65。

则AB边上的高h=6,故S△ABC=1
2
因此，该三棱锥的表面积为5
答案：B
3.（2011年安徽卷,文8）一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ）
（A)48 (B)32+817
(C）48+817（D）80
解析:由三视图知该几何体的直观图如图所示,该几何体的下底面是边长为4的正方形;上底面是长为4、宽
为2的矩形;两个梯形侧面垂直于底面,上底长为2,下底长为4,高为4;另两个侧面是矩形，宽为4，长为22
=17,所以S表
41
×2+4×17×2=48+817。

=4×4+4×2+(2+4）×4×1
2
答案：C
考点四根据简单几何体的三视图求其体积
1.（2013年江西卷，文8）一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ）
（A)200+9π(B)200+18π
（C)140+9π(D)140+18π
解析：该几何体是半圆柱和长方体的组合体，
V半圆柱=1
2
×π×32×2=9π,
V长方体=10×4×5=200.故选A.
答案：A
2.（2013年浙江卷,文5）已知某几何体的三视图（单位：cm)如图所示,则该几何体的体积是( ）
（A)108 cm3（B)100 cm3
(C）92 cm3（D)84 cm3
解析:根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个
三棱锥,∴几何体的体积V=6×6×3—1
3×1
2
×4×4×3=100(cm3).故选
B。

答案:B
3.（2013年广东卷，文6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）
(A)1
6
（B）1
3
(C)2
3
(D)1
解析:三棱锥其底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为
2,V=1
3×1
2
×1×1×2=1
3。

故选B.
答案：B
4。

(2012年新课标全国卷，文7）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,由此几何体的体积为（）
（A)6 （B）9 （C)12 （D)18
解析：由题意知，此几何体是三棱锥，其高h=3，相应底面面积为
S=1
2×6×3=9,∴V=1
3
Sh=1
3
×9×3=9。

答案：B
5.（2012年安徽卷,文12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于.
解析：由几何体的三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，其体积为1
2
×(2+5）×4×4=56.
答案：56
6.（2013年辽宁卷,文13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.
解析:由三视图画出其直观图，如图所示,知几何体为圆柱体挖去一个正四棱柱,则该几何体体积为V=4·π·22—2×2×4=16π-16。

答案:16π—16
模拟试题
考点一空间几何体的结构
1.(2013四川省树德中学3月阶段性考试）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )
(A3
(B）3
2
(C）3
4
(D）1
解析:由正视图和俯视图可以确定，该几何体为正三棱锥,其中高为3,
底面是边长为1的正三角形,其侧视图是边长为3
2
,该边上的高为3
的三角形,所以侧视图的面积为1
2×3
2
×3=3
4。

答案:C
2. (2013安徽黄山三校联考)已知一几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是
(写出所有正确结论的编号)。

①矩形；②不是矩形的平行四边形;③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体;④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。

解析:由三视图可知,该几何体是一个正四棱柱,直观图如图所示,当选
择的四点共面时为矩形，①正确;没有
不是矩形的平行四边形;选择D1、A、D、C时,其中△D1AD、△DAC、△D1DC为直角三角形，△D1AC为等腰三角形,四面体D1DAC符合，故③正确;取B、D、A1、C1时，四面体BDA1C1的每个面都是等腰三角形，④正确;不存在每个面都是直角三角形的四面体。

答案：①③④
3。

（2011北京市海淀区高三上学期期末考试)三棱锥D ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示,则棱BD的长为.
解析:由主视图和左视图可知,DC⊥平面ABC,DC=4,取AC中点E，连接BE，可知BE⊥AC，且3
∴BC=()2
2
223
+∴2.
答案：2
考点二空间几何体的三视图
1.（2013重庆高三期末）如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体,则该几何体的主视图为( ）
解析:还原正方体，如图所示,由题意可知，该几何体的主视图是选项B。

答案:B
2。

（2012福建莆田模拟）如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( ）
解析:由俯视图排除选项B、C;由主视图、侧视图可排除选项A,应选D。

答案:D
考点三根据几何体的三视图求其表面积
1.（2013福建厦门高三上学期质检)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积为.
解析:该几何体是底面直径为2,高为3的圆柱,
∴S侧=2π×1×3=6π.
答案:6π
2。

(2012广东省中山市高三上学期期末统考)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于。

解析：由题意可知,正三棱柱的底面边长是2，高是1,故其表面积×2×3×2=6+23。

S=2×1×3+1
2
答案：6+23
3。

(2013安徽黄山三校联考)一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的表面积为,体积为。

解析:由三视图可知,该几何体是底面半径为2，高为2的圆锥的一半，其母线长为22
22
=22。

∴S表=1
2π×2×22+1
2
π×22+1
2
×4×2
=（22+2）π+4
V=1
2×1
3
×π×22×2=4
3
π.
答案：(22+2)π+4 4π
3
考点四根据几何体的三视图求其体积
(2013山东济宁高三阶段性检测）若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（)
（A）1
3（B）2
3
(C)1 (D）2
解析:由三视图可知,该几何体是直三棱柱,侧棱长为2，底面是一直角三角形，两直角边分别为1、2，∴V=1
2
×2×1×2=1。

故选C.
答案：C
综合检测
1。

(2012湖南衡阳模拟)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为（）
(A)π
4(B）π
2
（C）2π
2
（D)2π
4
解析：此几何体是底面半径为1
2
，母线长为1的圆锥，其侧面积S=
πrl=π×1
2×1=π
2
,故选B.
答案：B
2。

（2012洛阳二模）如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为23，且有一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形,那么这个几何体的体积为( ）
（A）43
3（B）8
3
（C)83
3（D)16
3
解析：据三视图可知,该几何体为一个八面体，直观图如图所示.
∵正视图(直观图中的四边形ABCD)是面积为3,且有一个内角为60°的菱形，
∴该菱形的边长为2,
即BD=2，
∴△ABD的BD边上的高为3.∴该八面体的高AC=23，
∴该八面体的体积为V=1
3×22×23=83
3。

答案：C
3。

(2011山东临沂高三教学质检）具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为（)
(A)13 （2
（C）7π
2
(D)14
解析：由题意可知,当侧视图是边长为1的正方形时,该几何体的体积最大,此时S表=3×1×4+1×1×2=14.
答案:D
4。

(2012北京朝阳二模)有一个棱长为1的正方体,按任意方向正投影,其投影面积的最大值是（)
(A)1 32
（C23
解析:如图所示是棱长为1的正方体，当投影线与平面A1BC1垂直时，∵平面ACD1∥平面A1BC1，
∴此时正方体的正投影是一个正六边形,设其边长为a,
32,
∴a=6
3
∴投影面的面积为6326
3
⎝⎭
答案：D。